Theorem nn0ge0d 9351

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	|- ( ph -> A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	|- ( ph -> 0 <_ A )

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
2		nn0ge0 9320	. 2 |- ( A e. NN0 -> 0 <_ A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   0cc0 7925   <_ cle 8108   NN0cn0 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-iota 5232  df-fv 5279  df-ov 5947  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-inn 9037  df-n0 9296

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10442  zmodfz  10491  addmodid  10517  modifeq2int  10531  modaddmodlo  10533  modsumfzodifsn  10541  addmodlteq  10543  expnnval  10687  nn0le2msqd  10864  facwordi  10885  faclbnd  10886  faclbnd6  10889  facavg  10891  geolim2  11823  mertenslemi1  11846  eftabs  11967  efcllemp  11969  efaddlem  11985  eftlub  12001  oexpneg  12188  divalglemnn  12229  divalglemnqt  12231  divalglemeunn  12232  divalg2  12237  bitsfzolem  12265  bitsmod  12267  dfgcd2  12335  gcdmultiple  12341  gcdmultiplez  12342  dvdssqlem  12351  nn0seqcvgd  12363  mulgcddvds  12416  isprm5lem  12463  nn0sqrtelqelz  12528  nonsq  12529  phibndlem  12538  dfphi2  12542  modprm0  12577  pythagtriplem3  12590  pythagtriplem10  12592  pythagtriplem6  12593  pythagtriplem7  12594  pythagtriplem12  12598  pythagtriplem14  12600  pcge0  12636  pcprmpw2  12656  pcmptdvds  12668  fldivp1  12671  pcbc  12674  qexpz  12675  pockthlem  12679  pockthg  12680  mul4sqlem  12716  4sqlem12  12725  4sqlem14  12727  4sqlem16  12729  2expltfac  12762  ennnfoneleminc  12782  logbgcd1irraplemexp  15440  wilthlem1  15452  perfectlem2  15472  lgsval2lem  15487  lgsval4a  15499  gausslemma2dlem0c  15528  gausslemma2dlem0d  15529  lgseisenlem1  15547  lgseisenlem2  15548  lgsquadlem1  15554  2lgslem1a1  15563  2sqlem3  15594  2sqlem7  15598  2sqlem8  15600