Theorem nn0ge0d 9627

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	|- ( ph -> A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	|- ( ph -> 0 <_ A )

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
2		nn0ge0 9592	. 2 |- ( A e. NN0 -> 0 <_ A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 <_ A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   0cc0 8179   <_ cle 8361   NN0cn0 9567

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-inn 9307  df-n0 9568

This theorem is used by:  flqmulnn0  10747  zmodfz  10796  addmodid  10822  modifeq2int  10836  modaddmodlo  10838  modsumfzodifsn  10846  addmodlteq  10848  expnnval  10992  nn0le2msqd  11171  facwordi  11192  faclbnd  11193  faclbnd6  11196  facavg  11198  sshashneg  11295  geolim2  12295  mertenslemi1  12318  eftabs  12439  efcllemp  12441  efaddlem  12457  eftlub  12473  oexpneg  12660  divalglemnn  12701  divalglemnqt  12703  divalglemeunn  12704  divalg2  12709  bitsfzolem  12737  bitsmod  12739  dfgcd2  12807  gcdmultiple  12813  gcdmultiplez  12814  dvdssqlem  12823  nn0seqcvgd  12835  mulgcddvds  12888  isprm5lem  12936  nn0sqrtelqelz  13002  nonsq  13003  phibndlem  13014  dfphi2  13018  modprm0  13053  pythagtriplem3  13066  pythagtriplem10  13068  pythagtriplem6  13069  pythagtriplem7  13070  pythagtriplem12  13074  pythagtriplem14  13076  pcge0  13112  pcprmpw2  13132  pcmptdvds  13144  fldivp1  13147  pcbc  13150  qexpz  13151  pockthlem  13155  pockthg  13156  mul4sqlem  13192  4sqlem12  13201  4sqlem14  13203  4sqlem16  13205  2expltfac  13239  ennnfoneleminc  13351  psrbagcon  15111  logbgcd1irraplemexp  16123  pellexlem1  16148  pellexlem2  16149  wilthlem1  16151  perfectlem2  16198  bcmono  16202  bposlem5  16213  lgsval2lem  16227  lgsval4a  16239  gausslemma2dlem0c  16268  gausslemma2dlem0d  16269  lgseisenlem1  16287  lgseisenlem2  16288  lgsquadlem1  16294  2lgslem1a1  16303  2sqlem3  16334  2sqlem7  16338  2sqlem8  16340  vtxd0nedgbfi  16638