Theorem nn0ge0d 9353

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	|- ( ph -> A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	|- ( ph -> 0 <_ A )

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
2		nn0ge0 9322	. 2 |- ( A e. NN0 -> 0 <_ A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   0cc0 7927   <_ cle 8110   NN0cn0 9297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-cnv 4684  df-iota 5233  df-fv 5280  df-ov 5949  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-inn 9039  df-n0 9298

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10444  zmodfz  10493  addmodid  10519  modifeq2int  10533  modaddmodlo  10535  modsumfzodifsn  10543  addmodlteq  10545  expnnval  10689  nn0le2msqd  10866  facwordi  10887  faclbnd  10888  faclbnd6  10891  facavg  10893  geolim2  11856  mertenslemi1  11879  eftabs  12000  efcllemp  12002  efaddlem  12018  eftlub  12034  oexpneg  12221  divalglemnn  12262  divalglemnqt  12264  divalglemeunn  12265  divalg2  12270  bitsfzolem  12298  bitsmod  12300  dfgcd2  12368  gcdmultiple  12374  gcdmultiplez  12375  dvdssqlem  12384  nn0seqcvgd  12396  mulgcddvds  12449  isprm5lem  12496  nn0sqrtelqelz  12561  nonsq  12562  phibndlem  12571  dfphi2  12575  modprm0  12610  pythagtriplem3  12623  pythagtriplem10  12625  pythagtriplem6  12626  pythagtriplem7  12627  pythagtriplem12  12631  pythagtriplem14  12633  pcge0  12669  pcprmpw2  12689  pcmptdvds  12701  fldivp1  12704  pcbc  12707  qexpz  12708  pockthlem  12712  pockthg  12713  mul4sqlem  12749  4sqlem12  12758  4sqlem14  12760  4sqlem16  12762  2expltfac  12795  ennnfoneleminc  12815  logbgcd1irraplemexp  15473  wilthlem1  15485  perfectlem2  15505  lgsval2lem  15520  lgsval4a  15532  gausslemma2dlem0c  15561  gausslemma2dlem0d  15562  lgseisenlem1  15580  lgseisenlem2  15581  lgsquadlem1  15587  2lgslem1a1  15596  2sqlem3  15627  2sqlem7  15631  2sqlem8  15633