Theorem nn0ge0d 9573

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	|- ( ph -> A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	|- ( ph -> 0 <_ A )

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
2		nn0ge0 9538	. 2 |- ( A e. NN0 -> 0 <_ A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   0cc0 8143   <_ cle 8325   NN0cn0 9513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-inn 9255  df-n0 9514

This theorem is referenced by:  flqmulnn0  10683  zmodfz  10732  addmodid  10758  modifeq2int  10772  modaddmodlo  10774  modsumfzodifsn  10782  addmodlteq  10784  expnnval  10928  nn0le2msqd  11106  facwordi  11127  faclbnd  11128  faclbnd6  11131  facavg  11133  sshashneg  11230  geolim2  12223  mertenslemi1  12246  eftabs  12367  efcllemp  12369  efaddlem  12385  eftlub  12401  oexpneg  12588  divalglemnn  12629  divalglemnqt  12631  divalglemeunn  12632  divalg2  12637  bitsfzolem  12665  bitsmod  12667  dfgcd2  12735  gcdmultiple  12741  gcdmultiplez  12742  dvdssqlem  12751  nn0seqcvgd  12763  mulgcddvds  12816  isprm5lem  12863  nn0sqrtelqelz  12928  nonsq  12929  phibndlem  12938  dfphi2  12942  modprm0  12977  pythagtriplem3  12990  pythagtriplem10  12992  pythagtriplem6  12993  pythagtriplem7  12994  pythagtriplem12  12998  pythagtriplem14  13000  pcge0  13036  pcprmpw2  13056  pcmptdvds  13068  fldivp1  13071  pcbc  13074  qexpz  13075  pockthlem  13079  pockthg  13080  mul4sqlem  13116  4sqlem12  13125  4sqlem14  13127  4sqlem16  13129  2expltfac  13162  ennnfoneleminc  13246  psrbagcon  14952  logbgcd1irraplemexp  15959  pellexlem1  15971  pellexlem2  15972  wilthlem1  15974  perfectlem2  15994  lgsval2lem  16009  lgsval4a  16021  gausslemma2dlem0c  16050  gausslemma2dlem0d  16051  lgseisenlem1  16069  lgseisenlem2  16070  lgsquadlem1  16076  2lgslem1a1  16085  2sqlem3  16116  2sqlem7  16120  2sqlem8  16122  vtxd0nedgbfi  16420