Theorem nn0le0eq0 9489

Description: A nonnegative integer is less than or equal to zero iff it is equal to zero. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0le0eq0	|- ( N e. NN0 -> ( N <_ 0 <-> N = 0 ) )

Proof of Theorem nn0le0eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9486	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
2	1	biantrud 304	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
3		nn0re 9470	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
4		0re 8239	. . 3 |- 0 e. RR
5		letri3 8319	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 413	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
7	2, 6	bitr4d 191	1 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 0 <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   0cc0 8092   <_ cle 8274   NN0cn0 9461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-inn 9203  df-n0 9462

This theorem is referenced by:  facwordi  11065  swrdccat3blem  11386  algcvgblem  12701  pcpre1  12945