ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0le0eq0 Unicode version

Theorem nn0le0eq0 8956
Description: A nonnegative integer is less than or equal to zero iff it is equal to zero. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nn0le0eq0  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  0  <->  N  = 
0 ) )

Proof of Theorem nn0le0eq0
StepHypRef Expression
1 nn0ge0 8953 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
21biantrud 300 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  0  <->  ( N  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
3 nn0re 8937 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
4 0re 7730 . . 3  |-  0  e.  RR
5 letri3 7809 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( N  =  0  <-> 
( N  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
63, 4, 5sylancl 407 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  =  0  <->  ( N  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
72, 6bitr4d 190 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  0  <->  N  = 
0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   RRcr 7583   0cc0 7584    <_ cle 7765   NN0cn0 8928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-cnv 4515  df-iota 5056  df-fv 5099  df-ov 5743  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-inn 8678  df-n0 8929
This theorem is referenced by:  facwordi  10426  algcvgblem  11626
  Copyright terms: Public domain W3C validator