Theorem nn0le0eq0 9005

Description: A nonnegative integer is less than or equal to zero iff it is equal to zero. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0le0eq0	|- ( N e. NN0 -> ( N <_ 0 <-> N = 0 ) )

Proof of Theorem nn0le0eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9002	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
2	1	biantrud 302	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
3		nn0re 8986	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
4		0re 7766	. . 3 |- 0 e. RR
5		letri3 7845	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 409	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 <-> ( N <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
7	2, 6	bitr4d 190	1 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 0 <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RRcr 7619   0cc0 7620   <_ cle 7801   NN0cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-inn 8721  df-n0 8978

This theorem is referenced by:  facwordi  10486  algcvgblem  11730