Theorem pcpre1 12220

Description: Value of the prime power pre-function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	|- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
pclem.2	|- S = sup ( A , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
pcpre1	|- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S = 0 )

Distinct variable groups:   n, N   P, n

Allowed substitution hints:   A( n)   S( n)

Proof of Theorem pcpre1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9213	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
2		eleq1 2228	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> ( N e. ZZ <-> 1 e. ZZ ) )
3	1, 2	mpbiri 167	. . . . . . . . 9 |- ( N = 1 -> N e. ZZ )
4		1ne0 8921	. . . . . . . . . 10 |- 1 =/= 0
5		neeq1 2348	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> ( N =/= 0 <-> 1 =/= 0 ) )
6	4, 5	mpbiri 167	. . . . . . . . 9 |- ( N = 1 -> N =/= 0 )
7	3, 6	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( N = 1 -> ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) )
8		pclem.1	. . . . . . . . 9 |- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
9		pclem.2	. . . . . . . . 9 |- S = sup ( A , RR , < )
10	8, 9	pcprecl 12217	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )
11	7, 10	sylan2 284	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )
12	11	simprd 113	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) || N )
13		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> N = 1 )
14	12, 13	breqtrd 4007	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) || 1 )
15		eluz2nn 9500	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
16	15	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> P e. NN )
17	11	simpld 111	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S e. NN0 )
18	16, 17	nnexpcld 10606	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) e. NN )
19	18	nnzd 9308	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) e. ZZ )
20		1nn 8864	. . . . . 6 |- 1 e. NN
21		dvdsle 11778	. . . . . 6 |- ( ( ( P ^ S ) e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> ( ( P ^ S ) || 1 -> ( P ^ S ) <_ 1 ) )
22	19, 20, 21	sylancl 410	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( ( P ^ S ) || 1 -> ( P ^ S ) <_ 1 ) )
23	14, 22	mpd 13	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) <_ 1 )
24	16	nncnd 8867	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> P e. CC )
25	24	exp0d 10578	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ 0 ) = 1 )
26	23, 25	breqtrrd 4009	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) <_ ( P ^ 0 ) )
27	16	nnred 8866	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> P e. RR )
28		0nn0 9125	. . . . 5 |- 0 e. NN0
29	28	a1i 9	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> 0 e. NN0 )
30		eluz2gt1 9536	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < P )
31	30	adantr 274	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> 1 < P )
32		nn0leexp2 10620	. . . 4 |- ( ( ( P e. RR /\ S e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) /\ 1 < P ) -> ( S <_ 0 <-> ( P ^ S ) <_ ( P ^ 0 ) ) )
33	27, 17, 29, 31, 32	syl31anc 1231	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( S <_ 0 <-> ( P ^ S ) <_ ( P ^ 0 ) ) )
34	26, 33	mpbird 166	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S <_ 0 )
35	10	simpld 111	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> S e. NN0 )
36	7, 35	sylan2 284	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S e. NN0 )
37		nn0le0eq0 9138	. . 3 |- ( S e. NN0 -> ( S <_ 0 <-> S = 0 ) )
38	36, 37	syl 14	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( S <_ 0 <-> S = 0 ) )
39	34, 38	mpbid 146	1 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2335   {crab 2447   class class class wbr 3981   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   supcsup 6943   RRcr 7748   0cc0 7749   1c1 7750   < clt 7929   <_ cle 7930   NNcn 8853   2c2 8904   NN0cn0 9110   ZZcz 9187   ZZ>=cuz 9462   ^cexp 10450   || cdvds 11723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-dvds 11724

This theorem is referenced by:  pczpre  12225  pc1  12233