Theorem pcpre1 12291

Description: Value of the prime power pre-function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	|- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
pclem.2	|- S = sup ( A , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
pcpre1	|- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S = 0 )

Distinct variable groups:   n, N   P, n

Allowed substitution hints:   A( n)   S( n)

Proof of Theorem pcpre1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9278	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
2		eleq1 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> ( N e. ZZ <-> 1 e. ZZ ) )
3	1, 2	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( N = 1 -> N e. ZZ )
4		1ne0 8986	. . . . . . . . . 10 |- 1 =/= 0
5		neeq1 2360	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> ( N =/= 0 <-> 1 =/= 0 ) )
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( N = 1 -> N =/= 0 )
7	3, 6	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( N = 1 -> ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) )
8		pclem.1	. . . . . . . . 9 |- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
9		pclem.2	. . . . . . . . 9 |- S = sup ( A , RR , < )
10	8, 9	pcprecl 12288	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )
11	7, 10	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )
12	11	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) || N )
13		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> N = 1 )
14	12, 13	breqtrd 4029	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) || 1 )
15		eluz2nn 9565	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> P e. NN )
17	11	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S e. NN0 )
18	16, 17	nnexpcld 10675	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) e. NN )
19	18	nnzd 9373	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) e. ZZ )
20		1nn 8929	. . . . . 6 |- 1 e. NN
21		dvdsle 11849	. . . . . 6 |- ( ( ( P ^ S ) e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> ( ( P ^ S ) || 1 -> ( P ^ S ) <_ 1 ) )
22	19, 20, 21	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( ( P ^ S ) || 1 -> ( P ^ S ) <_ 1 ) )
23	14, 22	mpd 13	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) <_ 1 )
24	16	nncnd 8932	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> P e. CC )
25	24	exp0d 10647	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ 0 ) = 1 )
26	23, 25	breqtrrd 4031	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) <_ ( P ^ 0 ) )
27	16	nnred 8931	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> P e. RR )
28		0nn0 9190	. . . . 5 |- 0 e. NN0
29	28	a1i 9	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> 0 e. NN0 )
30		eluz2gt1 9601	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < P )
31	30	adantr 276	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> 1 < P )
32		nn0leexp2 10689	. . . 4 |- ( ( ( P e. RR /\ S e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) /\ 1 < P ) -> ( S <_ 0 <-> ( P ^ S ) <_ ( P ^ 0 ) ) )
33	27, 17, 29, 31, 32	syl31anc 1241	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( S <_ 0 <-> ( P ^ S ) <_ ( P ^ 0 ) ) )
34	26, 33	mpbird 167	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S <_ 0 )
35	10	simpld 112	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> S e. NN0 )
36	7, 35	sylan2 286	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S e. NN0 )
37		nn0le0eq0 9203	. . 3 |- ( S e. NN0 -> ( S <_ 0 <-> S = 0 ) )
38	36, 37	syl 14	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( S <_ 0 <-> S = 0 ) )
39	34, 38	mpbid 147	1 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   {crab 2459   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   supcsup 6980   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811   < clt 7991   <_ cle 7992   NNcn 8918   2c2 8969   NN0cn0 9175   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527   ^cexp 10518   || cdvds 11793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-dvds 11794

This theorem is referenced by:  pczpre  12296  pc1  12304