Theorem pcpre1 12883

Description: Value of the prime power pre-function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	|- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
pclem.2	|- S = sup ( A , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
pcpre1	|- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S = 0 )

Distinct variable groups:   n, N   P, n

Allowed substitution hints:   A( n)   S( n)

Proof of Theorem pcpre1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9505	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
2		eleq1 2294	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> ( N e. ZZ <-> 1 e. ZZ ) )
3	1, 2	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( N = 1 -> N e. ZZ )
4		1ne0 9211	. . . . . . . . . 10 |- 1 =/= 0
5		neeq1 2415	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> ( N =/= 0 <-> 1 =/= 0 ) )
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( N = 1 -> N =/= 0 )
7	3, 6	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( N = 1 -> ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) )
8		pclem.1	. . . . . . . . 9 |- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
9		pclem.2	. . . . . . . . 9 |- S = sup ( A , RR , < )
10	8, 9	pcprecl 12880	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )
11	7, 10	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )
12	11	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) || N )
13		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> N = 1 )
14	12, 13	breqtrd 4114	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) || 1 )
15		eluz2nn 9800	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> P e. NN )
17	11	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S e. NN0 )
18	16, 17	nnexpcld 10958	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) e. NN )
19	18	nnzd 9601	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) e. ZZ )
20		1nn 9154	. . . . . 6 |- 1 e. NN
21		dvdsle 12423	. . . . . 6 |- ( ( ( P ^ S ) e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> ( ( P ^ S ) || 1 -> ( P ^ S ) <_ 1 ) )
22	19, 20, 21	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( ( P ^ S ) || 1 -> ( P ^ S ) <_ 1 ) )
23	14, 22	mpd 13	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) <_ 1 )
24	16	nncnd 9157	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> P e. CC )
25	24	exp0d 10930	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ 0 ) = 1 )
26	23, 25	breqtrrd 4116	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) <_ ( P ^ 0 ) )
27	16	nnred 9156	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> P e. RR )
28		0nn0 9417	. . . . 5 |- 0 e. NN0
29	28	a1i 9	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> 0 e. NN0 )
30		eluz2gt1 9836	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < P )
31	30	adantr 276	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> 1 < P )
32		nn0leexp2 10973	. . . 4 |- ( ( ( P e. RR /\ S e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) /\ 1 < P ) -> ( S <_ 0 <-> ( P ^ S ) <_ ( P ^ 0 ) ) )
33	27, 17, 29, 31, 32	syl31anc 1276	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( S <_ 0 <-> ( P ^ S ) <_ ( P ^ 0 ) ) )
34	26, 33	mpbird 167	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S <_ 0 )
35	10	simpld 112	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> S e. NN0 )
36	7, 35	sylan2 286	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S e. NN0 )
37		nn0le0eq0 9430	. . 3 |- ( S e. NN0 -> ( S <_ 0 <-> S = 0 ) )
38	36, 37	syl 14	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( S <_ 0 <-> S = 0 ) )
39	34, 38	mpbid 147	1 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   {crab 2514   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   supcsup 7181   RRcr 8031   0cc0 8032   1c1 8033   < clt 8214   <_ cle 8215   NNcn 9143   2c2 9194   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ^cexp 10801   || cdvds 12366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11420  df-re 11421  df-im 11422  df-rsqrt 11576  df-abs 11577  df-dvds 12367

This theorem is referenced by:  pczpre  12888  pc1  12896