Theorem pcpre1 13100

Description: Value of the prime power pre-function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	|- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
pclem.2	|- S = sup ( A , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
pcpre1	|- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S = 0 )

Distinct variable groups:   n, N   P, n

Allowed substitution hints:   A( n)   S( n)

Proof of Theorem pcpre1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9681	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
2		eleq1 2301	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> ( N e. ZZ <-> 1 e. ZZ ) )
3	1, 2	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( N = 1 -> N e. ZZ )
4		1ne0 9381	. . . . . . . . . 10 |- 1 =/= 0
5		neeq1 2433	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> ( N =/= 0 <-> 1 =/= 0 ) )
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( N = 1 -> N =/= 0 )
7	3, 6	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( N = 1 -> ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) )
8		pclem.1	. . . . . . . . 9 |- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
9		pclem.2	. . . . . . . . 9 |- S = sup ( A , RR , < )
10	8, 9	pcprecl 13097	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )
11	7, 10	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )
12	11	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) || N )
13		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> N = 1 )
14	12, 13	breqtrd 4157	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) || 1 )
15		eluz2nn 9982	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> P e. NN )
17	11	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S e. NN0 )
18	16, 17	nnexpcld 11154	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) e. NN )
19	18	nnzd 9778	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) e. ZZ )
20		1nn 9324	. . . . . 6 |- 1 e. NN
21		dvdsle 12636	. . . . . 6 |- ( ( ( P ^ S ) e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> ( ( P ^ S ) || 1 -> ( P ^ S ) <_ 1 ) )
22	19, 20, 21	sylancl 417	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( ( P ^ S ) || 1 -> ( P ^ S ) <_ 1 ) )
23	14, 22	mpd 13	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) <_ 1 )
24	16	nncnd 9327	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> P e. CC )
25	24	exp0d 11126	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ 0 ) = 1 )
26	23, 25	breqtrrd 4159	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) <_ ( P ^ 0 ) )
27	16	nnred 9326	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> P e. RR )
28		0nn0 9589	. . . . 5 |- 0 e. NN0
29	28	a1i 9	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> 0 e. NN0 )
30		eluz2gt1 10018	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < P )
31	30	adantr 276	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> 1 < P )
32		nn0leexp2 11170	. . . 4 |- ( ( ( P e. RR /\ S e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) /\ 1 < P ) -> ( S <_ 0 <-> ( P ^ S ) <_ ( P ^ 0 ) ) )
33	27, 17, 29, 31, 32	syl31anc 1281	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( S <_ 0 <-> ( P ^ S ) <_ ( P ^ 0 ) ) )
34	26, 33	mpbird 167	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S <_ 0 )
35	10	simpld 112	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> S e. NN0 )
36	7, 35	sylan2 286	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S e. NN0 )
37		nn0le0eq0 9602	. . 3 |- ( S e. NN0 -> ( S <_ 0 <-> S = 0 ) )
38	36, 37	syl 14	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( S <_ 0 <-> S = 0 ) )
39	34, 38	mpbid 147	1 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   {crab 2532   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   supcsup 7328   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   < clt 8366   <_ cle 8367   NNcn 9313   2c2 9364   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   ^cexp 10996   || cdvds 12579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580

This theorem is used by:  pczpre  13105  pc1  13113