ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pcpre1 Unicode version

Theorem pcpre1 12291
Description: Value of the prime power pre-function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pclem.1  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
pclem.2  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
pcpre1  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  S  =  0 )
Distinct variable groups:    n, N    P, n
Allowed substitution hints:    A( n)    S( n)

Proof of Theorem pcpre1
StepHypRef Expression
1 1z 9278 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
2 eleq1 2240 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  ( N  e.  ZZ  <->  1  e.  ZZ ) )
31, 2mpbiri 168 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  1  ->  N  e.  ZZ )
4 1ne0 8986 . . . . . . . . . 10  |-  1  =/=  0
5 neeq1 2360 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  ( N  =/=  0  <->  1  =/=  0 ) )
64, 5mpbiri 168 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  1  ->  N  =/=  0 )
73, 6jca 306 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  1  ->  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
8 pclem.1 . . . . . . . . 9  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
9 pclem.2 . . . . . . . . 9  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
108, 9pcprecl 12288 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( S  e.  NN0  /\  ( P ^ S
)  ||  N )
)
117, 10sylan2 286 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( S  e.  NN0  /\  ( P ^ S
)  ||  N )
)
1211simprd 114 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( P ^ S
)  ||  N )
13 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  N  =  1 )
1412, 13breqtrd 4029 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( P ^ S
)  ||  1 )
15 eluz2nn 9565 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
1615adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  P  e.  NN )
1711simpld 112 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  S  e.  NN0 )
1816, 17nnexpcld 10675 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( P ^ S
)  e.  NN )
1918nnzd 9373 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( P ^ S
)  e.  ZZ )
20 1nn 8929 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
21 dvdsle 11849 . . . . . 6  |-  ( ( ( P ^ S
)  e.  ZZ  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( P ^ S )  ||  1  ->  ( P ^ S
)  <_  1 ) )
2219, 20, 21sylancl 413 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( ( P ^ S )  ||  1  ->  ( P ^ S
)  <_  1 ) )
2314, 22mpd 13 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( P ^ S
)  <_  1 )
2416nncnd 8932 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  P  e.  CC )
2524exp0d 10647 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( P ^ 0 )  =  1 )
2623, 25breqtrrd 4031 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( P ^ S
)  <_  ( P ^ 0 ) )
2716nnred 8931 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  P  e.  RR )
28 0nn0 9190 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
2928a1i 9 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
0  e.  NN0 )
30 eluz2gt1 9601 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
3130adantr 276 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
1  <  P )
32 nn0leexp2 10689 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  RR  /\  S  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  /\  1  <  P )  -> 
( S  <_  0  <->  ( P ^ S )  <_  ( P ^
0 ) ) )
3327, 17, 29, 31, 32syl31anc 1241 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( S  <_  0  <->  ( P ^ S )  <_  ( P ^
0 ) ) )
3426, 33mpbird 167 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  S  <_  0 )
3510simpld 112 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  S  e.  NN0 )
367, 35sylan2 286 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  S  e.  NN0 )
37 nn0le0eq0 9203 . . 3  |-  ( S  e.  NN0  ->  ( S  <_  0  <->  S  = 
0 ) )
3836, 37syl 14 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( S  <_  0  <->  S  =  0 ) )
3934, 38mpbid 147 1  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  S  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   {crab 2459   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   supcsup 6980   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811    < clt 7991    <_ cle 7992   NNcn 8918   2c2 8969   NN0cn0 9175   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527   ^cexp 10518    || cdvds 11793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-dvds 11794
This theorem is referenced by:  pczpre  12296  pc1  12304
  Copyright terms: Public domain W3C validator