Theorem pcpre1 12430

Description: Value of the prime power pre-function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	|- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
pclem.2	|- S = sup ( A , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
pcpre1	|- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S = 0 )

Distinct variable groups:   n, N   P, n

Allowed substitution hints:   A( n)   S( n)

Proof of Theorem pcpre1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9343	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
2		eleq1 2256	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> ( N e. ZZ <-> 1 e. ZZ ) )
3	1, 2	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( N = 1 -> N e. ZZ )
4		1ne0 9050	. . . . . . . . . 10 |- 1 =/= 0
5		neeq1 2377	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> ( N =/= 0 <-> 1 =/= 0 ) )
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . . . 9 |- ( N = 1 -> N =/= 0 )
7	3, 6	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( N = 1 -> ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) )
8		pclem.1	. . . . . . . . 9 |- A = { n e. NN0 | ( P ^ n ) || N }
9		pclem.2	. . . . . . . . 9 |- S = sup ( A , RR , < )
10	8, 9	pcprecl 12427	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )
11	7, 10	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( S e. NN0 /\ ( P ^ S ) || N ) )
12	11	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) || N )
13		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> N = 1 )
14	12, 13	breqtrd 4055	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) || 1 )
15		eluz2nn 9631	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> P e. NN )
17	11	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S e. NN0 )
18	16, 17	nnexpcld 10766	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) e. NN )
19	18	nnzd 9438	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) e. ZZ )
20		1nn 8993	. . . . . 6 |- 1 e. NN
21		dvdsle 11986	. . . . . 6 |- ( ( ( P ^ S ) e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> ( ( P ^ S ) || 1 -> ( P ^ S ) <_ 1 ) )
22	19, 20, 21	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( ( P ^ S ) || 1 -> ( P ^ S ) <_ 1 ) )
23	14, 22	mpd 13	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) <_ 1 )
24	16	nncnd 8996	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> P e. CC )
25	24	exp0d 10738	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ 0 ) = 1 )
26	23, 25	breqtrrd 4057	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( P ^ S ) <_ ( P ^ 0 ) )
27	16	nnred 8995	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> P e. RR )
28		0nn0 9255	. . . . 5 |- 0 e. NN0
29	28	a1i 9	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> 0 e. NN0 )
30		eluz2gt1 9667	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < P )
31	30	adantr 276	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> 1 < P )
32		nn0leexp2 10781	. . . 4 |- ( ( ( P e. RR /\ S e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) /\ 1 < P ) -> ( S <_ 0 <-> ( P ^ S ) <_ ( P ^ 0 ) ) )
33	27, 17, 29, 31, 32	syl31anc 1252	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( S <_ 0 <-> ( P ^ S ) <_ ( P ^ 0 ) ) )
34	26, 33	mpbird 167	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S <_ 0 )
35	10	simpld 112	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> S e. NN0 )
36	7, 35	sylan2 286	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S e. NN0 )
37		nn0le0eq0 9268	. . 3 |- ( S e. NN0 -> ( S <_ 0 <-> S = 0 ) )
38	36, 37	syl 14	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> ( S <_ 0 <-> S = 0 ) )
39	34, 38	mpbid 147	1 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N = 1 ) -> S = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   {crab 2476   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   supcsup 7041   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   < clt 8054   <_ cle 8055   NNcn 8982   2c2 9033   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ^cexp 10609   || cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931

This theorem is referenced by:  pczpre  12435  pc1  12443