Theorem nn0ge0 9203

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	|- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9180	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnre 8928	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
3		nngt0 8946	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < N )
4		0re 7959	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		ltle 8047	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
8		0le0 9010	. . . 4 |- 0 <_ 0
9		breq2 4009	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ 0 ) )
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 |- ( N = 0 -> 0 <_ N )
11	7, 10	jaoi 716	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> 0 <_ N )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   RRcr 7812   0cc0 7813   < clt 7994   <_ cle 7995   NNcn 8921   NN0cn0 9178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-inn 8922  df-n0 9179

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9204  nn0ge0i  9205  nn0le0eq0  9206  nn0p1gt0  9207  0mnnnnn0  9210  nn0addge1  9224  nn0addge2  9225  nn0ge0d  9234  elnn0z  9268  nn0negleid  9323  nn0lt10b  9335  nn0ge0div  9342  nn0pnfge0  9793  xnn0xadd0  9869  0elfz  10120  fz0fzelfz0  10129  fz0fzdiffz0  10132  fzctr  10135  difelfzle  10136  elfzodifsumelfzo  10203  fvinim0ffz  10243  subfzo0  10244  adddivflid  10294  modqmuladdnn0  10370  modfzo0difsn  10397  uzennn  10438  bernneq  10643  bernneq3  10645  faclbnd  10723  faclbnd6  10726  facubnd  10727  bcval5  10745  fihashneq0  10776  dvdseq  11856  evennn02n  11889  nn0ehalf  11910  nn0oddm1d2  11916  gcdn0gt0  11981  nn0gcdid0  11984  absmulgcd  12020  algcvgblem  12051  algcvga  12053  lcmgcdnn  12084  hashgcdlem  12240  odzdvds  12247  pcfaclem  12349  znnen  12401  logbgcd1irr  14470  lgsdinn0  14534