Theorem nn0ge0 9394

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	|- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9371	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnre 9117	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
3		nngt0 9135	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < N )
4		0re 8146	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		ltle 8234	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
8		0le0 9199	. . . 4 |- 0 <_ 0
9		breq2 4087	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ 0 ) )
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 |- ( N = 0 -> 0 <_ N )
11	7, 10	jaoi 721	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> 0 <_ N )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 7998   0cc0 7999   < clt 8181   <_ cle 8182   NNcn 9110   NN0cn0 9369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-inn 9111  df-n0 9370

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9395  nn0ge0i  9396  nn0le0eq0  9397  nn0p1gt0  9398  0mnnnnn0  9401  nn0addge1  9415  nn0addge2  9416  nn0ge0d  9425  elnn0z  9459  nn0negleid  9515  nn0lt10b  9527  nn0ge0div  9534  nn0pnfge0  9987  xnn0xadd0  10063  0elfz  10314  fz0fzelfz0  10323  fz0fzdiffz0  10326  fzctr  10329  difelfzle  10330  fzoun  10379  elfzodifsumelfzo  10407  fvinim0ffz  10447  subfzo0  10448  adddivflid  10512  modqmuladdnn0  10590  modfzo0difsn  10617  uzennn  10658  bernneq  10882  bernneq3  10884  zzlesq  10930  faclbnd  10963  faclbnd6  10966  facubnd  10967  bcval5  10985  fihashneq0  11016  ccat0  11131  nn0maxcl  11736  dvdseq  12359  evennn02n  12393  nn0ehalf  12414  nn0oddm1d2  12420  bitsinv1  12473  gcdn0gt0  12499  nn0gcdid0  12502  absmulgcd  12538  algcvgblem  12571  algcvga  12573  lcmgcdnn  12604  hashgcdlem  12760  odzdvds  12768  pcfaclem  12872  znnen  12969  logbgcd1irr  15641  lgsdinn0  15727