Theorem nn0ge0 9230

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	|- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9207	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnre 8955	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
3		nngt0 8973	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < N )
4		0re 7986	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		ltle 8074	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
8		0le0 9037	. . . 4 |- 0 <_ 0
9		breq2 4022	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ 0 ) )
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 |- ( N = 0 -> 0 <_ N )
11	7, 10	jaoi 717	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> 0 <_ N )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   RRcr 7839   0cc0 7840   < clt 8021   <_ cle 8022   NNcn 8948   NN0cn0 9205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5898  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-inn 8949  df-n0 9206

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9231  nn0ge0i  9232  nn0le0eq0  9233  nn0p1gt0  9234  0mnnnnn0  9237  nn0addge1  9251  nn0addge2  9252  nn0ge0d  9261  elnn0z  9295  nn0negleid  9350  nn0lt10b  9362  nn0ge0div  9369  nn0pnfge0  9820  xnn0xadd0  9896  0elfz  10147  fz0fzelfz0  10156  fz0fzdiffz0  10159  fzctr  10162  difelfzle  10163  elfzodifsumelfzo  10230  fvinim0ffz  10270  subfzo0  10271  adddivflid  10322  modqmuladdnn0  10398  modfzo0difsn  10425  uzennn  10466  bernneq  10671  bernneq3  10673  zzlesq  10719  faclbnd  10752  faclbnd6  10755  facubnd  10756  bcval5  10774  fihashneq0  10805  dvdseq  11885  evennn02n  11918  nn0ehalf  11939  nn0oddm1d2  11945  gcdn0gt0  12010  nn0gcdid0  12013  absmulgcd  12049  algcvgblem  12080  algcvga  12082  lcmgcdnn  12113  hashgcdlem  12269  odzdvds  12276  pcfaclem  12380  znnen  12448  logbgcd1irr  14837  lgsdinn0  14902