Theorem nn0ge0 9026

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	|- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9003	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnre 8751	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
3		nngt0 8769	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < N )
4		0re 7790	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		ltle 7875	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
6	4, 5	mpan 421	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
8		0le0 8833	. . . 4 |- 0 <_ 0
9		breq2 3941	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ 0 ) )
10	8, 9	mpbiri 167	. . 3 |- ( N = 0 -> 0 <_ N )
11	7, 10	jaoi 706	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> 0 <_ N )
12	1, 11	sylbi 120	1 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   RRcr 7643   0cc0 7644   < clt 7824   <_ cle 7825   NNcn 8744   NN0cn0 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-inn 8745  df-n0 9002

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9027  nn0ge0i  9028  nn0le0eq0  9029  nn0p1gt0  9030  0mnnnnn0  9033  nn0addge1  9047  nn0addge2  9048  nn0ge0d  9057  elnn0z  9091  nn0lt10b  9155  nn0ge0div  9162  nn0pnfge0  9607  xnn0xadd0  9680  0elfz  9929  fz0fzelfz0  9935  fz0fzdiffz0  9938  fzctr  9941  difelfzle  9942  elfzodifsumelfzo  10009  fvinim0ffz  10049  subfzo0  10050  adddivflid  10096  modqmuladdnn0  10172  modfzo0difsn  10199  uzennn  10240  bernneq  10443  bernneq3  10445  faclbnd  10519  faclbnd6  10522  facubnd  10523  bcval5  10541  fihashneq0  10573  dvdseq  11582  evennn02n  11615  nn0ehalf  11636  nn0oddm1d2  11642  gcdn0gt0  11702  nn0gcdid0  11705  absmulgcd  11741  algcvgblem  11766  algcvga  11768  lcmgcdnn  11799  hashgcdlem  11939  znnen  11947  logbgcd1irr  13092