Theorem nn0ge0 9195

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	|- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9172	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnre 8920	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
3		nngt0 8938	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < N )
4		0re 7952	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		ltle 8039	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
8		0le0 9002	. . . 4 |- 0 <_ 0
9		breq2 4005	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ 0 ) )
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 |- ( N = 0 -> 0 <_ N )
11	7, 10	jaoi 716	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> 0 <_ N )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4001   RRcr 7805   0cc0 7806   < clt 7986   <_ cle 7987   NNcn 8913   NN0cn0 9170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-ltadd 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-br 4002  df-opab 4063  df-xp 4630  df-cnv 4632  df-iota 5175  df-fv 5221  df-ov 5873  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-inn 8914  df-n0 9171

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9196  nn0ge0i  9197  nn0le0eq0  9198  nn0p1gt0  9199  0mnnnnn0  9202  nn0addge1  9216  nn0addge2  9217  nn0ge0d  9226  elnn0z  9260  nn0negleid  9315  nn0lt10b  9327  nn0ge0div  9334  nn0pnfge0  9785  xnn0xadd0  9861  0elfz  10111  fz0fzelfz0  10120  fz0fzdiffz0  10123  fzctr  10126  difelfzle  10127  elfzodifsumelfzo  10194  fvinim0ffz  10234  subfzo0  10235  adddivflid  10285  modqmuladdnn0  10361  modfzo0difsn  10388  uzennn  10429  bernneq  10633  bernneq3  10635  faclbnd  10712  faclbnd6  10715  facubnd  10716  bcval5  10734  fihashneq0  10765  dvdseq  11844  evennn02n  11877  nn0ehalf  11898  nn0oddm1d2  11904  gcdn0gt0  11969  nn0gcdid0  11972  absmulgcd  12008  algcvgblem  12039  algcvga  12041  lcmgcdnn  12072  hashgcdlem  12228  odzdvds  12235  pcfaclem  12337  znnen  12389  logbgcd1irr  14167  lgsdinn0  14231