Theorem nn0ge0 9320

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	|- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9297	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnre 9043	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
3		nngt0 9061	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < N )
4		0re 8072	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		ltle 8160	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
8		0le0 9125	. . . 4 |- 0 <_ 0
9		breq2 4048	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ 0 ) )
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 |- ( N = 0 -> 0 <_ N )
11	7, 10	jaoi 718	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> 0 <_ N )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   RRcr 7924   0cc0 7925   < clt 8107   <_ cle 8108   NNcn 9036   NN0cn0 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-iota 5232  df-fv 5279  df-ov 5947  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-inn 9037  df-n0 9296

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9321  nn0ge0i  9322  nn0le0eq0  9323  nn0p1gt0  9324  0mnnnnn0  9327  nn0addge1  9341  nn0addge2  9342  nn0ge0d  9351  elnn0z  9385  nn0negleid  9441  nn0lt10b  9453  nn0ge0div  9460  nn0pnfge0  9913  xnn0xadd0  9989  0elfz  10240  fz0fzelfz0  10249  fz0fzdiffz0  10252  fzctr  10255  difelfzle  10256  elfzodifsumelfzo  10330  fvinim0ffz  10370  subfzo0  10371  adddivflid  10435  modqmuladdnn0  10513  modfzo0difsn  10540  uzennn  10581  bernneq  10805  bernneq3  10807  zzlesq  10853  faclbnd  10886  faclbnd6  10889  facubnd  10890  bcval5  10908  fihashneq0  10939  ccat0  11052  nn0maxcl  11536  dvdseq  12159  evennn02n  12193  nn0ehalf  12214  nn0oddm1d2  12220  bitsinv1  12273  gcdn0gt0  12299  nn0gcdid0  12302  absmulgcd  12338  algcvgblem  12371  algcvga  12373  lcmgcdnn  12404  hashgcdlem  12560  odzdvds  12568  pcfaclem  12672  znnen  12769  logbgcd1irr  15439  lgsdinn0  15525