Theorem nn0ge0 9274

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	|- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9251	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnre 8997	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
3		nngt0 9015	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < N )
4		0re 8026	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		ltle 8114	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
8		0le0 9079	. . . 4 |- 0 <_ 0
9		breq2 4037	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ 0 ) )
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 |- ( N = 0 -> 0 <_ N )
11	7, 10	jaoi 717	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> 0 <_ N )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   RRcr 7878   0cc0 7879   < clt 8061   <_ cle 8062   NNcn 8990   NN0cn0 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-inn 8991  df-n0 9250

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9275  nn0ge0i  9276  nn0le0eq0  9277  nn0p1gt0  9278  0mnnnnn0  9281  nn0addge1  9295  nn0addge2  9296  nn0ge0d  9305  elnn0z  9339  nn0negleid  9394  nn0lt10b  9406  nn0ge0div  9413  nn0pnfge0  9866  xnn0xadd0  9942  0elfz  10193  fz0fzelfz0  10202  fz0fzdiffz0  10205  fzctr  10208  difelfzle  10209  elfzodifsumelfzo  10277  fvinim0ffz  10317  subfzo0  10318  adddivflid  10382  modqmuladdnn0  10460  modfzo0difsn  10487  uzennn  10528  bernneq  10752  bernneq3  10754  zzlesq  10800  faclbnd  10833  faclbnd6  10836  facubnd  10837  bcval5  10855  fihashneq0  10886  nn0maxcl  11390  dvdseq  12013  evennn02n  12047  nn0ehalf  12068  nn0oddm1d2  12074  gcdn0gt0  12145  nn0gcdid0  12148  absmulgcd  12184  algcvgblem  12217  algcvga  12219  lcmgcdnn  12250  hashgcdlem  12406  odzdvds  12414  pcfaclem  12518  znnen  12615  logbgcd1irr  15203  lgsdinn0  15289