Theorem nn0ge0 9322

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	|- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9299	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnre 9045	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
3		nngt0 9063	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < N )
4		0re 8074	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		ltle 8162	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
8		0le0 9127	. . . 4 |- 0 <_ 0
9		breq2 4049	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ 0 ) )
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 |- ( N = 0 -> 0 <_ N )
11	7, 10	jaoi 718	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> 0 <_ N )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   RRcr 7926   0cc0 7927   < clt 8109   <_ cle 8110   NNcn 9038   NN0cn0 9297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-cnv 4684  df-iota 5233  df-fv 5280  df-ov 5949  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-inn 9039  df-n0 9298

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9323  nn0ge0i  9324  nn0le0eq0  9325  nn0p1gt0  9326  0mnnnnn0  9329  nn0addge1  9343  nn0addge2  9344  nn0ge0d  9353  elnn0z  9387  nn0negleid  9443  nn0lt10b  9455  nn0ge0div  9462  nn0pnfge0  9915  xnn0xadd0  9991  0elfz  10242  fz0fzelfz0  10251  fz0fzdiffz0  10254  fzctr  10257  difelfzle  10258  elfzodifsumelfzo  10332  fvinim0ffz  10372  subfzo0  10373  adddivflid  10437  modqmuladdnn0  10515  modfzo0difsn  10542  uzennn  10583  bernneq  10807  bernneq3  10809  zzlesq  10855  faclbnd  10888  faclbnd6  10891  facubnd  10892  bcval5  10910  fihashneq0  10941  ccat0  11055  nn0maxcl  11569  dvdseq  12192  evennn02n  12226  nn0ehalf  12247  nn0oddm1d2  12253  bitsinv1  12306  gcdn0gt0  12332  nn0gcdid0  12335  absmulgcd  12371  algcvgblem  12404  algcvga  12406  lcmgcdnn  12437  hashgcdlem  12593  odzdvds  12601  pcfaclem  12705  znnen  12802  logbgcd1irr  15472  lgsdinn0  15558