Theorem nn0ge0 9153

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	|- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9130	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnre 8878	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
3		nngt0 8896	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < N )
4		0re 7913	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		ltle 8000	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
6	4, 5	mpan 422	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
8		0le0 8960	. . . 4 |- 0 <_ 0
9		breq2 3991	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ 0 ) )
10	8, 9	mpbiri 167	. . 3 |- ( N = 0 -> 0 <_ N )
11	7, 10	jaoi 711	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> 0 <_ N )
12	1, 11	sylbi 120	1 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   RRcr 7766   0cc0 7767   < clt 7947   <_ cle 7948   NNcn 8871   NN0cn0 9128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-cnv 4617  df-iota 5158  df-fv 5204  df-ov 5854  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-inn 8872  df-n0 9129

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9154  nn0ge0i  9155  nn0le0eq0  9156  nn0p1gt0  9157  0mnnnnn0  9160  nn0addge1  9174  nn0addge2  9175  nn0ge0d  9184  elnn0z  9218  nn0negleid  9273  nn0lt10b  9285  nn0ge0div  9292  nn0pnfge0  9741  xnn0xadd0  9817  0elfz  10067  fz0fzelfz0  10076  fz0fzdiffz0  10079  fzctr  10082  difelfzle  10083  elfzodifsumelfzo  10150  fvinim0ffz  10190  subfzo0  10191  adddivflid  10241  modqmuladdnn0  10317  modfzo0difsn  10344  uzennn  10385  bernneq  10589  bernneq3  10591  faclbnd  10668  faclbnd6  10671  facubnd  10672  bcval5  10690  fihashneq0  10722  dvdseq  11801  evennn02n  11834  nn0ehalf  11855  nn0oddm1d2  11861  gcdn0gt0  11926  nn0gcdid0  11929  absmulgcd  11965  algcvgblem  11996  algcvga  11998  lcmgcdnn  12029  hashgcdlem  12185  odzdvds  12192  pcfaclem  12294  znnen  12346  logbgcd1irr  13644  lgsdinn0  13708