Theorem nn0ge0 9486

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	|- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9463	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnre 9209	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
3		nngt0 9227	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < N )
4		0re 8239	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		ltle 8326	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
8		0le0 9291	. . . 4 |- 0 <_ 0
9		breq2 4097	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ 0 ) )
10	8, 9	mpbiri 168	. . 3 |- ( N = 0 -> 0 <_ N )
11	7, 10	jaoi 724	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> 0 <_ N )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   0cc0 8092   < clt 8273   <_ cle 8274   NNcn 9202   NN0cn0 9461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-inn 9203  df-n0 9462

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9487  nn0ge0i  9488  nn0le0eq0  9489  nn0p1gt0  9490  0mnnnnn0  9493  nn0addge1  9507  nn0addge2  9508  nn0ge0d  9519  elnn0z  9553  nn0negleid  9609  nn0lt10b  9621  nn0ge0div  9628  nn0pnfge0  10087  xnn0xadd0  10163  0elfz  10415  fz0fzelfz0  10424  fz0fzdiffz0  10427  fzctr  10430  difelfzle  10431  fzoun  10480  nn0p1elfzo  10484  elfzodifsumelfzo  10509  fvinim0ffz  10550  subfzo0  10551  adddivflid  10615  modqmuladdnn0  10693  modfzo0difsn  10720  uzennn  10761  bernneq  10985  bernneq3  10987  zzlesq  11033  faclbnd  11066  faclbnd6  11069  facubnd  11070  bcval5  11088  fihashneq0  11119  ccat0  11239  ccat2s1fvwd  11290  nn0maxcl  11865  dvdseq  12489  evennn02n  12523  nn0ehalf  12544  nn0oddm1d2  12550  bitsinv1  12603  gcdn0gt0  12629  nn0gcdid0  12632  absmulgcd  12668  algcvgblem  12701  algcvga  12703  lcmgcdnn  12734  hashgcdlem  12890  odzdvds  12898  pcfaclem  13002  znnen  13099  logbgcd1irr  15778  lgsdinn0  15867