ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ge0 Unicode version

Theorem nn0ge0 8956
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )

Proof of Theorem nn0ge0
StepHypRef Expression
1 elnn0 8933 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 nnre 8687 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3 nngt0 8705 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
4 0re 7730 . . . . 5  |-  0  e.  RR
5 ltle 7815 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  N  ->  0  <_  N )
)
64, 5mpan 418 . . . 4  |-  ( N  e.  RR  ->  (
0  <  N  ->  0  <_  N ) )
72, 3, 6sylc 62 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
8 0le0 8769 . . . 4  |-  0  <_  0
9 breq2 3901 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
0  <_  N  <->  0  <_  0 ) )
108, 9mpbiri 167 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  0  <_  N )
117, 10jaoi 688 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  0  <_  N
)
121, 11sylbi 120 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 680    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   RRcr 7583   0cc0 7584    < clt 7764    <_ cle 7765   NNcn 8680   NN0cn0 8931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-cnv 4515  df-iota 5056  df-fv 5099  df-ov 5743  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-inn 8681  df-n0 8932
This theorem is referenced by:  nn0nlt0  8957  nn0ge0i  8958  nn0le0eq0  8959  nn0p1gt0  8960  0mnnnnn0  8963  nn0addge1  8977  nn0addge2  8978  nn0ge0d  8987  elnn0z  9021  nn0lt10b  9085  nn0ge0div  9092  nn0pnfge0  9528  xnn0xadd0  9601  0elfz  9849  fz0fzelfz0  9855  fz0fzdiffz0  9858  fzctr  9861  difelfzle  9862  elfzodifsumelfzo  9929  fvinim0ffz  9969  subfzo0  9970  adddivflid  10016  modqmuladdnn0  10092  modfzo0difsn  10119  uzennn  10160  bernneq  10363  bernneq3  10365  faclbnd  10438  faclbnd6  10441  facubnd  10442  bcval5  10460  fihashneq0  10492  dvdseq  11453  evennn02n  11486  nn0ehalf  11507  nn0oddm1d2  11513  gcdn0gt0  11573  nn0gcdid0  11576  absmulgcd  11612  algcvgblem  11637  algcvga  11639  lcmgcdnn  11670  hashgcdlem  11809  znnen  11817
  Copyright terms: Public domain W3C validator