Theorem nndir 6753

Description: Distributive law for natural numbers (right-distributivity). (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndir	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) +o ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem nndir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndi 6749	. . 3 |- ( ( C e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( C .o ( A +o B ) ) = ( ( C .o A ) +o ( C .o B ) ) )
2	1	3coml 1241	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( C .o ( A +o B ) ) = ( ( C .o A ) +o ( C .o B ) ) )
3		nnacl 6743	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) e. om )
4		nnmcom 6752	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( A +o B ) e. om ) -> ( C .o ( A +o B ) ) = ( ( A +o B ) .o C ) )
5	3, 4	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> ( C .o ( A +o B ) ) = ( ( A +o B ) .o C ) )
6	5	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ C e. om ) -> ( C .o ( A +o B ) ) = ( ( A +o B ) .o C ) )
7	6	3impa 1225	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( C .o ( A +o B ) ) = ( ( A +o B ) .o C ) )
8		nnmcom 6752	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C .o A ) = ( A .o C ) )
9	8	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( C .o A ) = ( A .o C ) )
10	9	3adant2 1047	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( C .o A ) = ( A .o C ) )
11		nnmcom 6752	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C .o B ) = ( B .o C ) )
12	11	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( C .o B ) = ( B .o C ) )
13	12	3adant1 1046	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( C .o B ) = ( B .o C ) )
14	10, 13	oveq12d 6093	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) +o ( C .o B ) ) = ( ( A .o C ) +o ( B .o C ) ) )
15	2, 7, 14	3eqtr3d 2279	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) +o ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   omcom 4732  (class class class)co 6075   +o coa 6674   .o comu 6675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-oadd 6681  df-omul 6682

This theorem is referenced by:  addassnq0  7819