Theorem nnacl 6746

Description: Closure of addition of natural numbers. Proposition 8.9 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnacl	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) e. om )

Proof of Theorem nnacl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6086	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A +o x ) = ( A +o B ) )
2	1	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A +o x ) e. om <-> ( A +o B ) e. om ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( A +o x ) e. om ) <-> ( A e. om -> ( A +o B ) e. om ) ) )
4		oveq2 6086	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A +o x ) = ( A +o (/) ) )
5	4	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A +o x ) e. om <-> ( A +o (/) ) e. om ) )
6		oveq2 6086	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A +o x ) = ( A +o y ) )
7	6	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A +o x ) e. om <-> ( A +o y ) e. om ) )
8		oveq2 6086	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A +o x ) = ( A +o suc y ) )
9	8	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A +o x ) e. om <-> ( A +o suc y ) e. om ) )
10		nna0 6740	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
11	10	eleq1d 2307	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( ( A +o (/) ) e. om <-> A e. om ) )
12	11	ibir 177	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) e. om )
13		peano2 4740	. . . . . 6 |- ( ( A +o y ) e. om -> suc ( A +o y ) e. om )
14		nnasuc 6742	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
15	14	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A +o suc y ) e. om <-> suc ( A +o y ) e. om ) )
16	13, 15	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A +o y ) e. om -> ( A +o suc y ) e. om ) )
17	16	expcom 116	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( A +o y ) e. om -> ( A +o suc y ) e. om ) ) )
18	5, 7, 9, 12, 17	finds2 4746	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( A +o x ) e. om ) )
19	3, 18	vtoclga 2889	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( A +o B ) e. om ) )
20	19	impcom 125	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520   suc csuc 4508   omcom 4735  (class class class)co 6078   +o coa 6677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-irdg 6634  df-oadd 6684

This theorem is referenced by:  nnmcl  6747  nnacli  6748  nnaass  6751  nndi  6752  nndir  6756  nnaordi  6774  nnaord  6775  nnaword  6777  addclpi  7687  nnppipi  7703  archnqq  7777  addcmpblnq0  7803  addclnq0  7811  nnanq0  7818  distrnq0  7819  addassnq0lemcl  7821  prarloclemlt  7853  prarloclemlo  7854  prarloclem3  7857  omgadd  11223  hashunlem  11225  hashun  11226