Theorem nnacl 6538

Description: Closure of addition of natural numbers. Proposition 8.9 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnacl	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) e. om )

Proof of Theorem nnacl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5930	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A +o x ) = ( A +o B ) )
2	1	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A +o x ) e. om <-> ( A +o B ) e. om ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( A +o x ) e. om ) <-> ( A e. om -> ( A +o B ) e. om ) ) )
4		oveq2 5930	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A +o x ) = ( A +o (/) ) )
5	4	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A +o x ) e. om <-> ( A +o (/) ) e. om ) )
6		oveq2 5930	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A +o x ) = ( A +o y ) )
7	6	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A +o x ) e. om <-> ( A +o y ) e. om ) )
8		oveq2 5930	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A +o x ) = ( A +o suc y ) )
9	8	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A +o x ) e. om <-> ( A +o suc y ) e. om ) )
10		nna0 6532	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
11	10	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( ( A +o (/) ) e. om <-> A e. om ) )
12	11	ibir 177	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) e. om )
13		peano2 4631	. . . . . 6 |- ( ( A +o y ) e. om -> suc ( A +o y ) e. om )
14		nnasuc 6534	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
15	14	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A +o suc y ) e. om <-> suc ( A +o y ) e. om ) )
16	13, 15	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A +o y ) e. om -> ( A +o suc y ) e. om ) )
17	16	expcom 116	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( A +o y ) e. om -> ( A +o suc y ) e. om ) ) )
18	5, 7, 9, 12, 17	finds2 4637	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( A +o x ) e. om ) )
19	3, 18	vtoclga 2830	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( A +o B ) e. om ) )
20	19	impcom 125	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   (/)c0 3450   suc csuc 4400   omcom 4626  (class class class)co 5922   +o coa 6471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478

This theorem is referenced by:  nnmcl  6539  nnacli  6540  nnaass  6543  nndi  6544  nndir  6548  nnaordi  6566  nnaord  6567  nnaword  6569  addclpi  7394  nnppipi  7410  archnqq  7484  addcmpblnq0  7510  addclnq0  7518  nnanq0  7525  distrnq0  7526  addassnq0lemcl  7528  prarloclemlt  7560  prarloclemlo  7561  prarloclem3  7564  omgadd  10894  hashunlem  10896  hashun  10897