Theorem nndi 6719

Description: Distributive law for natural numbers (left-distributivity). Theorem 4K(3) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nndi	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )

Proof of Theorem nndi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6058	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( B +o x ) = ( B +o C ) )
2	1	oveq2d 6066	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( A .o ( B +o x ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
3		oveq2 6058	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( A .o x ) = ( A .o C ) )
4	3	oveq2d 6066	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( ( A .o B ) +o ( A .o x ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
5	2, 4	eqeq12d 2247	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( A .o ( B +o x ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o x ) ) <-> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o ( B +o x ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o x ) ) ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) ) ) )
7		oveq2 6058	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( B +o x ) = ( B +o (/) ) )
8	7	oveq2d 6066	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A .o ( B +o x ) ) = ( A .o ( B +o (/) ) ) )
9		oveq2 6058	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = ( A .o (/) ) )
10	9	oveq2d 6066	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( A .o B ) +o ( A .o x ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o (/) ) ) )
11	8, 10	eqeq12d 2247	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A .o ( B +o x ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o x ) ) <-> ( A .o ( B +o (/) ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o (/) ) ) ) )
12		oveq2 6058	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( B +o x ) = ( B +o y ) )
13	12	oveq2d 6066	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A .o ( B +o x ) ) = ( A .o ( B +o y ) ) )
14		oveq2 6058	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( A .o x ) = ( A .o y ) )
15	14	oveq2d 6066	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( A .o B ) +o ( A .o x ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2247	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A .o ( B +o x ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o x ) ) <-> ( A .o ( B +o y ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) ) )
17		oveq2 6058	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( B +o x ) = ( B +o suc y ) )
18	17	oveq2d 6066	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A .o ( B +o x ) ) = ( A .o ( B +o suc y ) ) )
19		oveq2 6058	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( A .o x ) = ( A .o suc y ) )
20	19	oveq2d 6066	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( ( A .o B ) +o ( A .o x ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o suc y ) ) )
21	18, 20	eqeq12d 2247	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( A .o ( B +o x ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o x ) ) <-> ( A .o ( B +o suc y ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o suc y ) ) ) )
22		nna0 6707	. . . . . . . . 9 |- ( B e. om -> ( B +o (/) ) = B )
23	22	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( B +o (/) ) = B )
24	23	oveq2d 6066	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o ( B +o (/) ) ) = ( A .o B ) )
25		nnmcl 6714	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )
26		nna0 6707	. . . . . . . 8 |- ( ( A .o B ) e. om -> ( ( A .o B ) +o (/) ) = ( A .o B ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) +o (/) ) = ( A .o B ) )
28	24, 27	eqtr4d 2268	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o ( B +o (/) ) ) = ( ( A .o B ) +o (/) ) )
29		nnm0 6708	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o (/) ) = (/) )
31	30	oveq2d 6066	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o B ) +o ( A .o (/) ) ) = ( ( A .o B ) +o (/) ) )
32	28, 31	eqtr4d 2268	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o ( B +o (/) ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o (/) ) ) )
33		oveq1 6057	. . . . . . . . 9 |- ( ( A .o ( B +o y ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) -> ( ( A .o ( B +o y ) ) +o A ) = ( ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) +o A ) )
34		nnasuc 6709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
35	34	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) )
36	35	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o ( B +o suc y ) ) = ( A .o suc ( B +o y ) ) )
37		nnacl 6713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B +o y ) e. om )
38		nnmsuc 6710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ ( B +o y ) e. om ) -> ( A .o suc ( B +o y ) ) = ( ( A .o ( B +o y ) ) +o A ) )
39	37, 38	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ ( B e. om /\ y e. om ) ) -> ( A .o suc ( B +o y ) ) = ( ( A .o ( B +o y ) ) +o A ) )
40	39	3impb 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o suc ( B +o y ) ) = ( ( A .o ( B +o y ) ) +o A ) )
41	36, 40	eqtrd 2265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o ( B +o suc y ) ) = ( ( A .o ( B +o y ) ) +o A ) )
42		nnmsuc 6710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o suc y ) = ( ( A .o y ) +o A ) )
43	42	3adant2 1043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( A .o suc y ) = ( ( A .o y ) +o A ) )
44	43	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o B ) +o ( A .o suc y ) ) = ( ( A .o B ) +o ( ( A .o y ) +o A ) ) )
45		nnmcl 6714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o y ) e. om )
46		nnaass 6718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A .o B ) e. om /\ ( A .o y ) e. om /\ A e. om ) -> ( ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) +o A ) = ( ( A .o B ) +o ( ( A .o y ) +o A ) ) )
47	25, 46	syl3an1 1307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ ( A .o y ) e. om /\ A e. om ) -> ( ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) +o A ) = ( ( A .o B ) +o ( ( A .o y ) +o A ) ) )
48	45, 47	syl3an2 1308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ ( A e. om /\ y e. om ) /\ A e. om ) -> ( ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) +o A ) = ( ( A .o B ) +o ( ( A .o y ) +o A ) ) )
49	48	3exp 1229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A e. om -> ( ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) +o A ) = ( ( A .o B ) +o ( ( A .o y ) +o A ) ) ) ) )
50	49	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( A e. om -> ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) +o A ) = ( ( A .o B ) +o ( ( A .o y ) +o A ) ) ) ) ) ) )
51	50	pm2.43a 51	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) +o A ) = ( ( A .o B ) +o ( ( A .o y ) +o A ) ) ) ) ) )
52	51	com4r 86	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. om -> ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) +o A ) = ( ( A .o B ) +o ( ( A .o y ) +o A ) ) ) ) ) )
53	52	pm2.43i 49	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) +o A ) = ( ( A .o B ) +o ( ( A .o y ) +o A ) ) ) ) )
54	53	3imp 1220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) +o A ) = ( ( A .o B ) +o ( ( A .o y ) +o A ) ) )
55	44, 54	eqtr4d 2268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o B ) +o ( A .o suc y ) ) = ( ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) +o A ) )
56	41, 55	eqeq12d 2247	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o ( B +o suc y ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o suc y ) ) <-> ( ( A .o ( B +o y ) ) +o A ) = ( ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) +o A ) ) )
57	33, 56	imbitrrid 156	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o ( B +o y ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) -> ( A .o ( B +o suc y ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o suc y ) ) ) )
58	57	3exp 1229	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( y e. om -> ( ( A .o ( B +o y ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) -> ( A .o ( B +o suc y ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o suc y ) ) ) ) ) )
59	58	com3r 79	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( B e. om -> ( ( A .o ( B +o y ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) -> ( A .o ( B +o suc y ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o suc y ) ) ) ) ) )
60	59	impd 254	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A .o ( B +o y ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o y ) ) -> ( A .o ( B +o suc y ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o suc y ) ) ) ) )
61	11, 16, 21, 32, 60	finds2 4723	. . . 4 |- ( x e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o ( B +o x ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o x ) ) ) )
62	6, 61	vtoclga 2881	. . 3 |- ( C e. om -> ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) ) )
63	62	expdcom 1488	. 2 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( C e. om -> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) ) ) )
64	63	3imp 1220	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   (/)c0 3508   suc csuc 4486   omcom 4712  (class class class)co 6050   +o coa 6644   .o comu 6645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-oadd 6651  df-omul 6652

This theorem is referenced by:  nnmass  6720  nndir  6723  distrpig  7648  addcmpblnq0  7758  nnanq0  7773  distrnq0  7774  addassnq0  7777