Theorem nnmcom 6544

Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmcom	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )

Proof of Theorem nnmcom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5926	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x .o B ) = ( A .o B ) )
2		oveq2 5927	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B .o x ) = ( B .o A ) )
3	1, 2	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) )
4	3	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. om -> ( x .o B ) = ( B .o x ) ) <-> ( B e. om -> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) ) )
5		oveq1 5926	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x .o B ) = ( (/) .o B ) )
6		oveq2 5927	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( B .o x ) = ( B .o (/) ) )
7	5, 6	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( (/) .o B ) = ( B .o (/) ) ) )
8		oveq1 5926	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x .o B ) = ( y .o B ) )
9		oveq2 5927	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B .o x ) = ( B .o y ) )
10	8, 9	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( y .o B ) = ( B .o y ) ) )
11		oveq1 5926	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x .o B ) = ( suc y .o B ) )
12		oveq2 5927	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B .o x ) = ( B .o suc y ) )
13	11, 12	eqeq12d 2208	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) )
14		nnm0r 6534	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( (/) .o B ) = (/) )
15		nnm0 6530	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( B .o (/) ) = (/) )
16	14, 15	eqtr4d 2229	. . . 4 |- ( B e. om -> ( (/) .o B ) = ( B .o (/) ) )
17		oveq1 5926	. . . . . 6 |- ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( ( y .o B ) +o B ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
18		nnmsucr 6543	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( suc y .o B ) = ( ( y .o B ) +o B ) )
19		nnmsuc 6532	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
20	19	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
21	18, 20	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) <-> ( ( y .o B ) +o B ) = ( ( B .o y ) +o B ) ) )
22	17, 21	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) )
23	22	ex 115	. . . 4 |- ( y e. om -> ( B e. om -> ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) ) )
24	7, 10, 13, 16, 23	finds2 4634	. . 3 |- ( x e. om -> ( B e. om -> ( x .o B ) = ( B .o x ) ) )
25	4, 24	vtoclga 2827	. 2 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) )
26	25	imp 124	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   (/)c0 3447   suc csuc 4397   omcom 4623  (class class class)co 5919   +o coa 6468   .o comu 6469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-oadd 6475  df-omul 6476

This theorem is referenced by:  nndir  6545  nn2m  6582  mulcompig  7393  enq0sym  7494  enq0ref  7495  enq0tr  7496  addcmpblnq0  7505  mulcmpblnq0  7506  mulcanenq0ec  7507  nnanq0  7520  distrnq0  7521  mulcomnq0  7522  addassnq0  7524  nq02m  7527