Theorem nnmcom 6575

Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmcom	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )

Proof of Theorem nnmcom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5951	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x .o B ) = ( A .o B ) )
2		oveq2 5952	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B .o x ) = ( B .o A ) )
3	1, 2	eqeq12d 2220	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) )
4	3	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. om -> ( x .o B ) = ( B .o x ) ) <-> ( B e. om -> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) ) )
5		oveq1 5951	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x .o B ) = ( (/) .o B ) )
6		oveq2 5952	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( B .o x ) = ( B .o (/) ) )
7	5, 6	eqeq12d 2220	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( (/) .o B ) = ( B .o (/) ) ) )
8		oveq1 5951	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x .o B ) = ( y .o B ) )
9		oveq2 5952	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B .o x ) = ( B .o y ) )
10	8, 9	eqeq12d 2220	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( y .o B ) = ( B .o y ) ) )
11		oveq1 5951	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x .o B ) = ( suc y .o B ) )
12		oveq2 5952	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B .o x ) = ( B .o suc y ) )
13	11, 12	eqeq12d 2220	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) )
14		nnm0r 6565	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( (/) .o B ) = (/) )
15		nnm0 6561	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( B .o (/) ) = (/) )
16	14, 15	eqtr4d 2241	. . . 4 |- ( B e. om -> ( (/) .o B ) = ( B .o (/) ) )
17		oveq1 5951	. . . . . 6 |- ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( ( y .o B ) +o B ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
18		nnmsucr 6574	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( suc y .o B ) = ( ( y .o B ) +o B ) )
19		nnmsuc 6563	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
20	19	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
21	18, 20	eqeq12d 2220	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) <-> ( ( y .o B ) +o B ) = ( ( B .o y ) +o B ) ) )
22	17, 21	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) )
23	22	ex 115	. . . 4 |- ( y e. om -> ( B e. om -> ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) ) )
24	7, 10, 13, 16, 23	finds2 4649	. . 3 |- ( x e. om -> ( B e. om -> ( x .o B ) = ( B .o x ) ) )
25	4, 24	vtoclga 2839	. 2 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) )
26	25	imp 124	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   (/)c0 3460   suc csuc 4412   omcom 4638  (class class class)co 5944   +o coa 6499   .o comu 6500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-oadd 6506  df-omul 6507

This theorem is referenced by:  nndir  6576  nn2m  6613  mulcompig  7444  enq0sym  7545  enq0ref  7546  enq0tr  7547  addcmpblnq0  7556  mulcmpblnq0  7557  mulcanenq0ec  7558  nnanq0  7571  distrnq0  7572  mulcomnq0  7573  addassnq0  7575  nq02m  7578