ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmcom Unicode version

Theorem nnmcom 6436
Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmcom  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )

Proof of Theorem nnmcom
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5831 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  .o  B )  =  ( A  .o  B ) )
2 oveq2 5832 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  A
) )
31, 2eqeq12d 2172 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  .o  B
)  =  ( B  .o  x )  <->  ( A  .o  B )  =  ( B  .o  A ) ) )
43imbi2d 229 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  om  ->  ( x  .o  B
)  =  ( B  .o  x ) )  <-> 
( B  e.  om  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) ) ) )
5 oveq1 5831 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  .o  B )  =  ( (/)  .o  B
) )
6 oveq2 5832 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  (/) ) )
75, 6eqeq12d 2172 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  .o  B )  =  ( B  .o  x )  <->  ( (/)  .o  B
)  =  ( B  .o  (/) ) ) )
8 oveq1 5831 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .o  B )  =  ( y  .o  B ) )
9 oveq2 5832 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  y
) )
108, 9eqeq12d 2172 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .o  B
)  =  ( B  .o  x )  <->  ( y  .o  B )  =  ( B  .o  y ) ) )
11 oveq1 5831 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  .o  B
)  =  ( suc  y  .o  B ) )
12 oveq2 5832 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  .o  x
)  =  ( B  .o  suc  y ) )
1311, 12eqeq12d 2172 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  .o  B )  =  ( B  .o  x )  <-> 
( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
) ) )
14 nnm0r 6426 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
.o  B )  =  (/) )
15 nnm0 6422 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  .o  (/) )  =  (/) )
1614, 15eqtr4d 2193 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
.o  B )  =  ( B  .o  (/) ) )
17 oveq1 5831 . . . . . 6  |-  ( ( y  .o  B )  =  ( B  .o  y )  ->  (
( y  .o  B
)  +o  B )  =  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )
18 nnmsucr 6435 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  y  .o  B )  =  ( ( y  .o  B
)  +o  B ) )
19 nnmsuc 6424 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
2019ancoms 266 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
2118, 20eqeq12d 2172 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
)  <->  ( ( y  .o  B )  +o  B )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) ) )
2217, 21syl5ibr 155 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( y  .o  B )  =  ( B  .o  y )  ->  ( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
) ) )
2322ex 114 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( y  .o  B
)  =  ( B  .o  y )  -> 
( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
) ) ) )
247, 10, 13, 16, 23finds2 4560 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( x  .o  B )  =  ( B  .o  x ) ) )
254, 24vtoclga 2778 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  .o  B )  =  ( B  .o  A ) ) )
2625imp 123 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128   (/)c0 3394   suc csuc 4325   omcom 4549  (class class class)co 5824    +o coa 6360    .o comu 6361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-oadd 6367  df-omul 6368
This theorem is referenced by:  nndir  6437  nn2m  6473  mulcompig  7251  enq0sym  7352  enq0ref  7353  enq0tr  7354  addcmpblnq0  7363  mulcmpblnq0  7364  mulcanenq0ec  7365  nnanq0  7378  distrnq0  7379  mulcomnq0  7380  addassnq0  7382  nq02m  7385
  Copyright terms: Public domain W3C validator