Theorem nnmcom 6722

Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmcom	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )

Proof of Theorem nnmcom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6057	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x .o B ) = ( A .o B ) )
2		oveq2 6058	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B .o x ) = ( B .o A ) )
3	1, 2	eqeq12d 2247	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) )
4	3	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. om -> ( x .o B ) = ( B .o x ) ) <-> ( B e. om -> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) ) )
5		oveq1 6057	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x .o B ) = ( (/) .o B ) )
6		oveq2 6058	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( B .o x ) = ( B .o (/) ) )
7	5, 6	eqeq12d 2247	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( (/) .o B ) = ( B .o (/) ) ) )
8		oveq1 6057	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x .o B ) = ( y .o B ) )
9		oveq2 6058	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B .o x ) = ( B .o y ) )
10	8, 9	eqeq12d 2247	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( y .o B ) = ( B .o y ) ) )
11		oveq1 6057	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x .o B ) = ( suc y .o B ) )
12		oveq2 6058	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B .o x ) = ( B .o suc y ) )
13	11, 12	eqeq12d 2247	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) )
14		nnm0r 6712	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( (/) .o B ) = (/) )
15		nnm0 6708	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( B .o (/) ) = (/) )
16	14, 15	eqtr4d 2268	. . . 4 |- ( B e. om -> ( (/) .o B ) = ( B .o (/) ) )
17		oveq1 6057	. . . . . 6 |- ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( ( y .o B ) +o B ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
18		nnmsucr 6721	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( suc y .o B ) = ( ( y .o B ) +o B ) )
19		nnmsuc 6710	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
20	19	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
21	18, 20	eqeq12d 2247	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) <-> ( ( y .o B ) +o B ) = ( ( B .o y ) +o B ) ) )
22	17, 21	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) )
23	22	ex 115	. . . 4 |- ( y e. om -> ( B e. om -> ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) ) )
24	7, 10, 13, 16, 23	finds2 4723	. . 3 |- ( x e. om -> ( B e. om -> ( x .o B ) = ( B .o x ) ) )
25	4, 24	vtoclga 2881	. 2 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) )
26	25	imp 124	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   (/)c0 3508   suc csuc 4486   omcom 4712  (class class class)co 6050   +o coa 6644   .o comu 6645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-oadd 6651  df-omul 6652

This theorem is referenced by:  nndir  6723  nn2m  6760  mulcompig  7646  enq0sym  7747  enq0ref  7748  enq0tr  7749  addcmpblnq0  7758  mulcmpblnq0  7759  mulcanenq0ec  7760  nnanq0  7773  distrnq0  7774  mulcomnq0  7775  addassnq0  7777  nq02m  7780