Theorem nnmcom 6457

Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmcom	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )

Proof of Theorem nnmcom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5849	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x .o B ) = ( A .o B ) )
2		oveq2 5850	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B .o x ) = ( B .o A ) )
3	1, 2	eqeq12d 2180	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) )
4	3	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. om -> ( x .o B ) = ( B .o x ) ) <-> ( B e. om -> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) ) )
5		oveq1 5849	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x .o B ) = ( (/) .o B ) )
6		oveq2 5850	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( B .o x ) = ( B .o (/) ) )
7	5, 6	eqeq12d 2180	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( (/) .o B ) = ( B .o (/) ) ) )
8		oveq1 5849	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x .o B ) = ( y .o B ) )
9		oveq2 5850	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B .o x ) = ( B .o y ) )
10	8, 9	eqeq12d 2180	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( y .o B ) = ( B .o y ) ) )
11		oveq1 5849	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x .o B ) = ( suc y .o B ) )
12		oveq2 5850	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B .o x ) = ( B .o suc y ) )
13	11, 12	eqeq12d 2180	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) )
14		nnm0r 6447	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( (/) .o B ) = (/) )
15		nnm0 6443	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( B .o (/) ) = (/) )
16	14, 15	eqtr4d 2201	. . . 4 |- ( B e. om -> ( (/) .o B ) = ( B .o (/) ) )
17		oveq1 5849	. . . . . 6 |- ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( ( y .o B ) +o B ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
18		nnmsucr 6456	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( suc y .o B ) = ( ( y .o B ) +o B ) )
19		nnmsuc 6445	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
20	19	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
21	18, 20	eqeq12d 2180	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) <-> ( ( y .o B ) +o B ) = ( ( B .o y ) +o B ) ) )
22	17, 21	syl5ibr 155	. . . . 5 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) )
23	22	ex 114	. . . 4 |- ( y e. om -> ( B e. om -> ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) ) )
24	7, 10, 13, 16, 23	finds2 4578	. . 3 |- ( x e. om -> ( B e. om -> ( x .o B ) = ( B .o x ) ) )
25	4, 24	vtoclga 2792	. 2 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) )
26	25	imp 123	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   (/)c0 3409   suc csuc 4343   omcom 4567  (class class class)co 5842   +o coa 6381   .o comu 6382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-omul 6389

This theorem is referenced by:  nndir  6458  nn2m  6494  mulcompig  7272  enq0sym  7373  enq0ref  7374  enq0tr  7375  addcmpblnq0  7384  mulcmpblnq0  7385  mulcanenq0ec  7386  nnanq0  7399  distrnq0  7400  mulcomnq0  7401  addassnq0  7403  nq02m  7406