ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmcom Unicode version

Theorem nnmcom 6351
Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmcom  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )

Proof of Theorem nnmcom
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5747 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  .o  B )  =  ( A  .o  B ) )
2 oveq2 5748 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  A
) )
31, 2eqeq12d 2130 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  .o  B
)  =  ( B  .o  x )  <->  ( A  .o  B )  =  ( B  .o  A ) ) )
43imbi2d 229 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  om  ->  ( x  .o  B
)  =  ( B  .o  x ) )  <-> 
( B  e.  om  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) ) ) )
5 oveq1 5747 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  .o  B )  =  ( (/)  .o  B
) )
6 oveq2 5748 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  (/) ) )
75, 6eqeq12d 2130 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  .o  B )  =  ( B  .o  x )  <->  ( (/)  .o  B
)  =  ( B  .o  (/) ) ) )
8 oveq1 5747 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .o  B )  =  ( y  .o  B ) )
9 oveq2 5748 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  y
) )
108, 9eqeq12d 2130 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .o  B
)  =  ( B  .o  x )  <->  ( y  .o  B )  =  ( B  .o  y ) ) )
11 oveq1 5747 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  .o  B
)  =  ( suc  y  .o  B ) )
12 oveq2 5748 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  .o  x
)  =  ( B  .o  suc  y ) )
1311, 12eqeq12d 2130 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  .o  B )  =  ( B  .o  x )  <-> 
( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
) ) )
14 nnm0r 6341 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
.o  B )  =  (/) )
15 nnm0 6337 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  .o  (/) )  =  (/) )
1614, 15eqtr4d 2151 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
.o  B )  =  ( B  .o  (/) ) )
17 oveq1 5747 . . . . . 6  |-  ( ( y  .o  B )  =  ( B  .o  y )  ->  (
( y  .o  B
)  +o  B )  =  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )
18 nnmsucr 6350 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  y  .o  B )  =  ( ( y  .o  B
)  +o  B ) )
19 nnmsuc 6339 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
2019ancoms 266 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
2118, 20eqeq12d 2130 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
)  <->  ( ( y  .o  B )  +o  B )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) ) )
2217, 21syl5ibr 155 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( y  .o  B )  =  ( B  .o  y )  ->  ( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
) ) )
2322ex 114 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( y  .o  B
)  =  ( B  .o  y )  -> 
( suc  y  .o  B )  =  ( B  .o  suc  y
) ) ) )
247, 10, 13, 16, 23finds2 4483 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( x  .o  B )  =  ( B  .o  x ) ) )
254, 24vtoclga 2724 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  .o  B )  =  ( B  .o  A ) ) )
2625imp 123 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   (/)c0 3331   suc csuc 4255   omcom 4472  (class class class)co 5740    +o coa 6276    .o comu 6277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-oadd 6283  df-omul 6284
This theorem is referenced by:  nndir  6352  nn2m  6388  mulcompig  7103  enq0sym  7204  enq0ref  7205  enq0tr  7206  addcmpblnq0  7215  mulcmpblnq0  7216  mulcanenq0ec  7217  nnanq0  7230  distrnq0  7231  mulcomnq0  7232  addassnq0  7234  nq02m  7237
  Copyright terms: Public domain W3C validator