Theorem nnmcom 6598

Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmcom	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )

Proof of Theorem nnmcom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5974	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x .o B ) = ( A .o B ) )
2		oveq2 5975	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B .o x ) = ( B .o A ) )
3	1, 2	eqeq12d 2222	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) )
4	3	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. om -> ( x .o B ) = ( B .o x ) ) <-> ( B e. om -> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) ) )
5		oveq1 5974	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x .o B ) = ( (/) .o B ) )
6		oveq2 5975	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( B .o x ) = ( B .o (/) ) )
7	5, 6	eqeq12d 2222	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( (/) .o B ) = ( B .o (/) ) ) )
8		oveq1 5974	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x .o B ) = ( y .o B ) )
9		oveq2 5975	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B .o x ) = ( B .o y ) )
10	8, 9	eqeq12d 2222	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( y .o B ) = ( B .o y ) ) )
11		oveq1 5974	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( x .o B ) = ( suc y .o B ) )
12		oveq2 5975	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B .o x ) = ( B .o suc y ) )
13	11, 12	eqeq12d 2222	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( x .o B ) = ( B .o x ) <-> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) )
14		nnm0r 6588	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( (/) .o B ) = (/) )
15		nnm0 6584	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( B .o (/) ) = (/) )
16	14, 15	eqtr4d 2243	. . . 4 |- ( B e. om -> ( (/) .o B ) = ( B .o (/) ) )
17		oveq1 5974	. . . . . 6 |- ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( ( y .o B ) +o B ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
18		nnmsucr 6597	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( suc y .o B ) = ( ( y .o B ) +o B ) )
19		nnmsuc 6586	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ y e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
20	19	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
21	18, 20	eqeq12d 2222	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) <-> ( ( y .o B ) +o B ) = ( ( B .o y ) +o B ) ) )
22	17, 21	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( y e. om /\ B e. om ) -> ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) )
23	22	ex 115	. . . 4 |- ( y e. om -> ( B e. om -> ( ( y .o B ) = ( B .o y ) -> ( suc y .o B ) = ( B .o suc y ) ) ) )
24	7, 10, 13, 16, 23	finds2 4667	. . 3 |- ( x e. om -> ( B e. om -> ( x .o B ) = ( B .o x ) ) )
25	4, 24	vtoclga 2844	. 2 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( A .o B ) = ( B .o A ) ) )
26	25	imp 124	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) = ( B .o A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   (/)c0 3468   suc csuc 4430   omcom 4656  (class class class)co 5967   +o coa 6522   .o comu 6523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-oadd 6529  df-omul 6530

This theorem is referenced by:  nndir  6599  nn2m  6636  mulcompig  7479  enq0sym  7580  enq0ref  7581  enq0tr  7582  addcmpblnq0  7591  mulcmpblnq0  7592  mulcanenq0ec  7593  nnanq0  7606  distrnq0  7607  mulcomnq0  7608  addassnq0  7610  nq02m  7613