Theorem nnmcan 6408

Description: Cancellation law for multiplication of natural numbers. (Contributed by NM, 26-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmcan	|- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem nnmcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anrot 967	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) <-> ( B e. om /\ C e. om /\ A e. om ) )
2		nnmword 6407	. . . . 5 |- ( ( ( B e. om /\ C e. om /\ A e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( B C_ C <-> ( A .o B ) C_ ( A .o C ) ) )
3	1, 2	sylanb 282	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( B C_ C <-> ( A .o B ) C_ ( A .o C ) ) )
4		3anrev 972	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) <-> ( C e. om /\ B e. om /\ A e. om ) )
5		nnmword 6407	. . . . 5 |- ( ( ( C e. om /\ B e. om /\ A e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( C C_ B <-> ( A .o C ) C_ ( A .o B ) ) )
6	4, 5	sylanb 282	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( C C_ B <-> ( A .o C ) C_ ( A .o B ) ) )
7	3, 6	anbi12d 464	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( B C_ C /\ C C_ B ) <-> ( ( A .o B ) C_ ( A .o C ) /\ ( A .o C ) C_ ( A .o B ) ) ) )
8	7	bicomd 140	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( ( A .o B ) C_ ( A .o C ) /\ ( A .o C ) C_ ( A .o B ) ) <-> ( B C_ C /\ C C_ B ) ) )
9		eqss 3107	. 2 |- ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> ( ( A .o B ) C_ ( A .o C ) /\ ( A .o C ) C_ ( A .o B ) ) )
10		eqss 3107	. 2 |- ( B = C <-> ( B C_ C /\ C C_ B ) )
11	8, 9, 10	3bitr4g 222	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3066   (/)c0 3358   omcom 4499  (class class class)co 5767   .o comu 6304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311

This theorem is referenced by:  mulcanpig  7136  enq0tr  7235