Theorem nnmcan 6686

Description: Cancellation law for multiplication of natural numbers. (Contributed by NM, 26-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmcan	|- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem nnmcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anrot 1009	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) <-> ( B e. om /\ C e. om /\ A e. om ) )
2		nnmword 6685	. . . . 5 |- ( ( ( B e. om /\ C e. om /\ A e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( B C_ C <-> ( A .o B ) C_ ( A .o C ) ) )
3	1, 2	sylanb 284	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( B C_ C <-> ( A .o B ) C_ ( A .o C ) ) )
4		3anrev 1014	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) <-> ( C e. om /\ B e. om /\ A e. om ) )
5		nnmword 6685	. . . . 5 |- ( ( ( C e. om /\ B e. om /\ A e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( C C_ B <-> ( A .o C ) C_ ( A .o B ) ) )
6	4, 5	sylanb 284	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( C C_ B <-> ( A .o C ) C_ ( A .o B ) ) )
7	3, 6	anbi12d 473	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( B C_ C /\ C C_ B ) <-> ( ( A .o B ) C_ ( A .o C ) /\ ( A .o C ) C_ ( A .o B ) ) ) )
8	7	bicomd 141	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( ( A .o B ) C_ ( A .o C ) /\ ( A .o C ) C_ ( A .o B ) ) <-> ( B C_ C /\ C C_ B ) ) )
9		eqss 3242	. 2 |- ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> ( ( A .o B ) C_ ( A .o C ) /\ ( A .o C ) C_ ( A .o B ) ) )
10		eqss 3242	. 2 |- ( B = C <-> ( B C_ C /\ C C_ B ) )
11	8, 9, 10	3bitr4g 223	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   C_ wss 3200   (/)c0 3494   omcom 4688  (class class class)co 6017   .o comu 6579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-oadd 6585  df-omul 6586

This theorem is referenced by:  mulcanpig  7554  enq0tr  7653