ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmcan Unicode version

Theorem nnmcan 6517
Description: Cancellation law for multiplication of natural numbers. (Contributed by NM, 26-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmcan  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  <->  B  =  C
) )

Proof of Theorem nnmcan
StepHypRef Expression
1 3anrot 983 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  <->  ( B  e.  om  /\  C  e. 
om  /\  A  e.  om ) )
2 nnmword 6516 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( B  C_  C 
<->  ( A  .o  B
)  C_  ( A  .o  C ) ) )
31, 2sylanb 284 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( B  C_  C 
<->  ( A  .o  B
)  C_  ( A  .o  C ) ) )
4 3anrev 988 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  <->  ( C  e.  om  /\  B  e. 
om  /\  A  e.  om ) )
5 nnmword 6516 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( C  C_  B 
<->  ( A  .o  C
)  C_  ( A  .o  B ) ) )
64, 5sylanb 284 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( C  C_  B 
<->  ( A  .o  C
)  C_  ( A  .o  B ) ) )
73, 6anbi12d 473 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( B 
C_  C  /\  C  C_  B )  <->  ( ( A  .o  B )  C_  ( A  .o  C
)  /\  ( A  .o  C )  C_  ( A  .o  B ) ) ) )
87bicomd 141 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( ( A  .o  B ) 
C_  ( A  .o  C )  /\  ( A  .o  C )  C_  ( A  .o  B
) )  <->  ( B  C_  C  /\  C  C_  B ) ) )
9 eqss 3170 . 2  |-  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C )  <->  ( ( A  .o  B )  C_  ( A  .o  C
)  /\  ( A  .o  C )  C_  ( A  .o  B ) ) )
10 eqss 3170 . 2  |-  ( B  =  C  <->  ( B  C_  C  /\  C  C_  B ) )
118, 9, 103bitr4g 223 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  <->  B  =  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    C_ wss 3129   (/)c0 3422   omcom 4588  (class class class)co 5872    .o comu 6412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-irdg 6368  df-oadd 6418  df-omul 6419
This theorem is referenced by:  mulcanpig  7331  enq0tr  7430
  Copyright terms: Public domain W3C validator