Theorem nnmcan 6618

Description: Cancellation law for multiplication of natural numbers. (Contributed by NM, 26-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmcan	|- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem nnmcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anrot 986	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) <-> ( B e. om /\ C e. om /\ A e. om ) )
2		nnmword 6617	. . . . 5 |- ( ( ( B e. om /\ C e. om /\ A e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( B C_ C <-> ( A .o B ) C_ ( A .o C ) ) )
3	1, 2	sylanb 284	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( B C_ C <-> ( A .o B ) C_ ( A .o C ) ) )
4		3anrev 991	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) <-> ( C e. om /\ B e. om /\ A e. om ) )
5		nnmword 6617	. . . . 5 |- ( ( ( C e. om /\ B e. om /\ A e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( C C_ B <-> ( A .o C ) C_ ( A .o B ) ) )
6	4, 5	sylanb 284	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( C C_ B <-> ( A .o C ) C_ ( A .o B ) ) )
7	3, 6	anbi12d 473	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( B C_ C /\ C C_ B ) <-> ( ( A .o B ) C_ ( A .o C ) /\ ( A .o C ) C_ ( A .o B ) ) ) )
8	7	bicomd 141	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( ( A .o B ) C_ ( A .o C ) /\ ( A .o C ) C_ ( A .o B ) ) <-> ( B C_ C /\ C C_ B ) ) )
9		eqss 3212	. 2 |- ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> ( ( A .o B ) C_ ( A .o C ) /\ ( A .o C ) C_ ( A .o B ) ) )
10		eqss 3212	. 2 |- ( B = C <-> ( B C_ C /\ C C_ B ) )
11	8, 9, 10	3bitr4g 223	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   C_ wss 3170   (/)c0 3464   omcom 4646  (class class class)co 5957   .o comu 6513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-oadd 6519  df-omul 6520

This theorem is referenced by:  mulcanpig  7468  enq0tr  7567