Theorem enq0tr 7366

Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is transitive. Lemma for enq0er 7367. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0tr	|- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> f ~Q0 h )

Proof of Theorem enq0tr

Dummy variables a b c d e s t u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2724	. . . . . . . . . 10 |- f e. _V
2		vex 2724	. . . . . . . . . 10 |- g e. _V
3		eleq1 2227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = f -> ( x e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
4	3	anbi1d 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = f -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
5		eqeq1 2171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = f -> ( x = <. z , w >. <-> f = <. z , w >. ) )
6	5	anbi1d 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = f -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
7	6	anbi1d 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = f -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
8	7	4exbidv 1857	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
9	4, 8	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( x = f -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
10		eleq1 2227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = g -> ( y e. ( om X. N. ) <-> g e. ( om X. N. ) ) )
11	10	anbi2d 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = g -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) ) )
12		eqeq1 2171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = g -> ( y = <. v , u >. <-> g = <. v , u >. ) )
13	12	anbi2d 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = g -> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) ) )
14	13	anbi1d 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = g -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
15	14	4exbidv 1857	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = g -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
16	11, 15	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( y = g -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
17		df-enq0 7356	. . . . . . . . . 10 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
18	1, 2, 9, 16, 17	brab 4244	. . . . . . . . 9 |- ( f ~Q0 g <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
19		vex 2724	. . . . . . . . . 10 |- h e. _V
20		eleq1 2227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = g -> ( x e. ( om X. N. ) <-> g e. ( om X. N. ) ) )
21	20	anbi1d 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = g -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
22		eqeq1 2171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = g -> ( x = <. a , b >. <-> g = <. a , b >. ) )
23	22	anbi1d 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = g -> ( ( x = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) <-> ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) ) )
24	23	anbi1d 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = g -> ( ( ( x = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) <-> ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
25	24	4exbidv 1857	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = g -> ( E. a E. b E. s E. t ( ( x = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) <-> E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
26	21, 25	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( x = g -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( x = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
27		eleq1 2227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = h -> ( y e. ( om X. N. ) <-> h e. ( om X. N. ) ) )
28	27	anbi2d 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = h -> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
29		eqeq1 2171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = h -> ( y = <. s , t >. <-> h = <. s , t >. ) )
30	29	anbi2d 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = h -> ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) <-> ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) ) )
31	30	anbi1d 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = h -> ( ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) <-> ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
32	31	4exbidv 1857	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = h -> ( E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) <-> E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
33	28, 32	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( y = h -> ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
34		df-enq0 7356	. . . . . . . . . 10 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( x = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) }
35	2, 19, 26, 33, 34	brab 4244	. . . . . . . . 9 |- ( g ~Q0 h <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
36	18, 35	anbi12i 456	. . . . . . . 8 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) <-> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
37	36	biimpi 119	. . . . . . 7 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
38		an4 576	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
39	37, 38	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
40		3anass 971	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
41		anass 399	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) ) )
42		anass 399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ h e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
43	42	anbi2i 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ ( ( g e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) ) )
44		anidm 394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) <-> g e. ( om X. N. ) )
45	44	anbi1i 454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ h e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) )
46	45	anbi2i 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ ( ( g e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
47	41, 43, 46	3bitr2i 207	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
48	40, 47	bitr4i 186	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
49	48	anbi1i 454	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
50	39, 49	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
51		ee8anv 1922	. . . . . 6 |- ( E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) <-> ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
52	51	anbi2i 453	. . . . 5 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
53	50, 52	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
54		19.42vvvv 1900	. . . . . . 7 |- ( E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
55	54	2exbii 1593	. . . . . 6 |- ( E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> E. v E. u ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
56	55	2exbii 1593	. . . . 5 |- ( E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
57		19.42vvvv 1900	. . . . 5 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
58	56, 57	bitri 183	. . . 4 |- ( E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
59	53, 58	sylibr 133	. . 3 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
60		3simpb 984	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) -> ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) )
61	60	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) )
62		simplll 523	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> f = <. z , w >. )
63		simprlr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> h = <. s , t >. )
64	62, 63	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) )
65	64	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) )
66		oveq1 5843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = (/) -> ( v .o t ) = ( (/) .o t ) )
67	63	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> h = <. s , t >. )
68		simpl3 991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> h e. ( om X. N. ) )
69	67, 68	eqeltrrd 2242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> <. s , t >. e. ( om X. N. ) )
70		opelxp 4628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( <. s , t >. e. ( om X. N. ) <-> ( s e. om /\ t e. N. ) )
71	69, 70	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( s e. om /\ t e. N. ) )
72	71	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> t e. N. )
73		pinn 7241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t e. N. -> t e. om )
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> t e. om )
75		nnm0r 6438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. om -> ( (/) .o t ) = (/) )
76	74, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( (/) .o t ) = (/) )
77	76	eqeq2d 2176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( v .o t ) = ( (/) .o t ) <-> ( v .o t ) = (/) ) )
78	66, 77	syl5ib 153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( v .o t ) = (/) ) )
79		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( a .o t ) = ( b .o s ) )
80		eqtr2 2183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( g = <. v , u >. /\ g = <. a , b >. ) -> <. v , u >. = <. a , b >. )
81		vex 2724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- v e. _V
82		vex 2724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- u e. _V
83	81, 82	opth 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( <. v , u >. = <. a , b >. <-> ( v = a /\ u = b ) )
84	80, 83	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( g = <. v , u >. /\ g = <. a , b >. ) -> ( v = a /\ u = b ) )
85		oveq1 5843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = a -> ( v .o t ) = ( a .o t ) )
86		oveq1 5843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = b -> ( u .o s ) = ( b .o s ) )
87	85, 86	eqeqan12d 2180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( ( v .o t ) = ( u .o s ) <-> ( a .o t ) = ( b .o s ) ) )
88	84, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( g = <. v , u >. /\ g = <. a , b >. ) -> ( ( v .o t ) = ( u .o s ) <-> ( a .o t ) = ( b .o s ) ) )
89	88	ad2ant2lr 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) ) -> ( ( v .o t ) = ( u .o s ) <-> ( a .o t ) = ( b .o s ) ) )
90	89	ad2ant2r 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( ( v .o t ) = ( u .o s ) <-> ( a .o t ) = ( b .o s ) ) )
91	79, 90	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( v .o t ) = ( u .o s ) )
92	91	eqeq1d 2173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( ( v .o t ) = (/) <-> ( u .o s ) = (/) ) )
93	92	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( v .o t ) = (/) <-> ( u .o s ) = (/) ) )
94	78, 93	sylibd 148	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( u .o s ) = (/) ) )
95		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> g = <. v , u >. )
96	95	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> g = <. v , u >. )
97		simpl2 990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> g e. ( om X. N. ) )
98	96, 97	eqeltrrd 2242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> <. v , u >. e. ( om X. N. ) )
99		opelxp 4628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. v , u >. e. ( om X. N. ) <-> ( v e. om /\ u e. N. ) )
100	98, 99	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v e. om /\ u e. N. ) )
101	100	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> u e. N. )
102		pinn 7241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. N. -> u e. om )
103	101, 102	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> u e. om )
104	71	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> s e. om )
105		nnm00 6488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. om /\ s e. om ) -> ( ( u .o s ) = (/) <-> ( u = (/) \/ s = (/) ) ) )
106	103, 104, 105	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( u .o s ) = (/) <-> ( u = (/) \/ s = (/) ) ) )
107	94, 106	sylibd 148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( u = (/) \/ s = (/) ) ) )
108		elni2 7246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. N. <-> ( u e. om /\ (/) e. u ) )
109	108	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. N. -> (/) e. u )
110	101, 109	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> (/) e. u )
111		n0i 3409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) e. u -> -. u = (/) )
112		biorf 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. u = (/) -> ( s = (/) <-> ( u = (/) \/ s = (/) ) ) )
113	110, 111, 112	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( s = (/) <-> ( u = (/) \/ s = (/) ) ) )
114	107, 113	sylibrd 168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> s = (/) ) )
115	62	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> f = <. z , w >. )
116		simpl1 989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> f e. ( om X. N. ) )
117	115, 116	eqeltrrd 2242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> <. z , w >. e. ( om X. N. ) )
118		opelxp 4628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. z , w >. e. ( om X. N. ) <-> ( z e. om /\ w e. N. ) )
119	117, 118	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z e. om /\ w e. N. ) )
120	119	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> w e. N. )
121		pinn 7241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. N. -> w e. om )
122	120, 121	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> w e. om )
123		nnm0 6434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. om -> ( w .o (/) ) = (/) )
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( w .o (/) ) = (/) )
125		oveq2 5844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = (/) -> ( w .o s ) = ( w .o (/) ) )
126	125	eqeq1d 2173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = (/) -> ( ( w .o s ) = (/) <-> ( w .o (/) ) = (/) ) )
127	124, 126	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( s = (/) -> ( w .o s ) = (/) ) )
128	114, 127	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( w .o s ) = (/) ) )
129		oveq2 5844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = (/) -> ( w .o v ) = ( w .o (/) ) )
130	124	eqeq2d 2176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( w .o v ) = ( w .o (/) ) <-> ( w .o v ) = (/) ) )
131	129, 130	syl5ib 153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( w .o v ) = (/) ) )
132		simprlr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o u ) = ( w .o v ) )
133	132	eqeq1d 2173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( z .o u ) = (/) <-> ( w .o v ) = (/) ) )
134	131, 133	sylibrd 168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( z .o u ) = (/) ) )
135	119	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> z e. om )
136		nnm00 6488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. om /\ u e. om ) -> ( ( z .o u ) = (/) <-> ( z = (/) \/ u = (/) ) ) )
137	135, 103, 136	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( z .o u ) = (/) <-> ( z = (/) \/ u = (/) ) ) )
138	134, 137	sylibd 148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( z = (/) \/ u = (/) ) ) )
139		biorf 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. u = (/) -> ( z = (/) <-> ( u = (/) \/ z = (/) ) ) )
140		orcom 718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u = (/) \/ z = (/) ) <-> ( z = (/) \/ u = (/) ) )
141	139, 140	bitrdi 195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. u = (/) -> ( z = (/) <-> ( z = (/) \/ u = (/) ) ) )
142	110, 111, 141	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z = (/) <-> ( z = (/) \/ u = (/) ) ) )
143	138, 142	sylibrd 168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> z = (/) ) )
144		oveq1 5843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = (/) -> ( z .o t ) = ( (/) .o t ) )
145	144	eqeq1d 2173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = (/) -> ( ( z .o t ) = (/) <-> ( (/) .o t ) = (/) ) )
146	76, 145	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z = (/) -> ( z .o t ) = (/) ) )
147	143, 146	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( z .o t ) = (/) ) )
148	128, 147	jcad 305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( ( w .o s ) = (/) /\ ( z .o t ) = (/) ) ) )
149		eqtr3 2184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w .o s ) = (/) /\ ( z .o t ) = (/) ) -> ( w .o s ) = ( z .o t ) )
150	149	eqcomd 2170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w .o s ) = (/) /\ ( z .o t ) = (/) ) -> ( z .o t ) = ( w .o s ) )
151	148, 150	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( z .o t ) = ( w .o s ) ) )
152		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( z .o u ) = ( w .o v ) )
153	91, 152	oveq12d 5854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( ( v .o t ) .o ( z .o u ) ) = ( ( u .o s ) .o ( w .o v ) ) )
154	153	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( v .o t ) .o ( z .o u ) ) = ( ( u .o s ) .o ( w .o v ) ) )
155	100	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> v e. om )
156		nnmcl 6440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. om /\ t e. om ) -> ( v .o t ) e. om )
157	155, 74, 156	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v .o t ) e. om )
158		nnmcom 6448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. om /\ d e. om ) -> ( c .o d ) = ( d .o c ) )
159	158	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) /\ ( c e. om /\ d e. om ) ) -> ( c .o d ) = ( d .o c ) )
160		nnmass 6446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. om /\ d e. om /\ e e. om ) -> ( ( c .o d ) .o e ) = ( c .o ( d .o e ) ) )
161	160	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) /\ ( c e. om /\ d e. om /\ e e. om ) ) -> ( ( c .o d ) .o e ) = ( c .o ( d .o e ) ) )
162	157, 135, 103, 159, 161	caov13d 6016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( v .o t ) .o ( z .o u ) ) = ( u .o ( z .o ( v .o t ) ) ) )
163		nnmcl 6440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. om /\ v e. om ) -> ( w .o v ) e. om )
164	122, 155, 163	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( w .o v ) e. om )
165	161, 103, 104, 164	caovassd 5992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( u .o s ) .o ( w .o v ) ) = ( u .o ( s .o ( w .o v ) ) ) )
166	154, 162, 165	3eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( u .o ( z .o ( v .o t ) ) ) = ( u .o ( s .o ( w .o v ) ) ) )
167		nnmcl 6440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. om /\ ( v .o t ) e. om ) -> ( z .o ( v .o t ) ) e. om )
168	135, 157, 167	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o ( v .o t ) ) e. om )
169		nnmcl 6440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( s .o ( w .o v ) ) e. om )
170	104, 164, 169	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( s .o ( w .o v ) ) e. om )
171		nnmcan 6478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( u e. om /\ ( z .o ( v .o t ) ) e. om /\ ( s .o ( w .o v ) ) e. om ) /\ (/) e. u ) -> ( ( u .o ( z .o ( v .o t ) ) ) = ( u .o ( s .o ( w .o v ) ) ) <-> ( z .o ( v .o t ) ) = ( s .o ( w .o v ) ) ) )
172	103, 168, 170, 110, 171	syl31anc 1230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( u .o ( z .o ( v .o t ) ) ) = ( u .o ( s .o ( w .o v ) ) ) <-> ( z .o ( v .o t ) ) = ( s .o ( w .o v ) ) ) )
173	166, 172	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o ( v .o t ) ) = ( s .o ( w .o v ) ) )
174	135, 155, 74, 159, 161	caov12d 6014	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o ( v .o t ) ) = ( v .o ( z .o t ) ) )
175	104, 122, 155, 159, 161	caov13d 6016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( s .o ( w .o v ) ) = ( v .o ( w .o s ) ) )
176	173, 174, 175	3eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v .o ( z .o t ) ) = ( v .o ( w .o s ) ) )
177	176	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) /\ (/) e. v ) -> ( v .o ( z .o t ) ) = ( v .o ( w .o s ) ) )
178		nnmcl 6440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. om /\ t e. om ) -> ( z .o t ) e. om )
179	135, 74, 178	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o t ) e. om )
180		nnmcl 6440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. om /\ s e. om ) -> ( w .o s ) e. om )
181	122, 104, 180	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( w .o s ) e. om )
182	155, 179, 181	3jca 1166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v e. om /\ ( z .o t ) e. om /\ ( w .o s ) e. om ) )
183		nnmcan 6478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v e. om /\ ( z .o t ) e. om /\ ( w .o s ) e. om ) /\ (/) e. v ) -> ( ( v .o ( z .o t ) ) = ( v .o ( w .o s ) ) <-> ( z .o t ) = ( w .o s ) ) )
184	182, 183	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) /\ (/) e. v ) -> ( ( v .o ( z .o t ) ) = ( v .o ( w .o s ) ) <-> ( z .o t ) = ( w .o s ) ) )
185	177, 184	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) /\ (/) e. v ) -> ( z .o t ) = ( w .o s ) )
186	185	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( (/) e. v -> ( z .o t ) = ( w .o s ) ) )
187		0elnn 4590	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( v = (/) \/ (/) e. v ) )
188	155, 187	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) \/ (/) e. v ) )
189	151, 186, 188	mpjaod 708	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o t ) = ( w .o s ) )
190	61, 65, 189	jca32 308	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
191	190	2eximi 1588	. . . . . 6 |- ( E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
192	191	exlimivv 1883	. . . . 5 |- ( E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
193	192	exlimivv 1883	. . . 4 |- ( E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
194	193	2eximi 1588	. . 3 |- ( E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> E. z E. w E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
195	59, 194	syl 14	. 2 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> E. z E. w E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
196		19.42vvvv 1900	. . 3 |- ( E. z E. w E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
197	5	anbi1d 461	. . . . . . 7 |- ( x = f -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) ) )
198	197	anbi1d 461	. . . . . 6 |- ( x = f -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
199	198	4exbidv 1857	. . . . 5 |- ( x = f -> ( E. z E. w E. s E. t ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) <-> E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
200	4, 199	anbi12d 465	. . . 4 |- ( x = f -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) ) )
201	27	anbi2d 460	. . . . 5 |- ( y = h -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
202	29	anbi2d 460	. . . . . . 7 |- ( y = h -> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) ) )
203	202	anbi1d 461	. . . . . 6 |- ( y = h -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
204	203	4exbidv 1857	. . . . 5 |- ( y = h -> ( E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) <-> E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
205	201, 204	anbi12d 465	. . . 4 |- ( y = h -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) ) )
206		df-enq0 7356	. . . 4 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) }
207	1, 19, 200, 205, 206	brab 4244	. . 3 |- ( f ~Q0 h <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
208	196, 207	bitr4i 186	. 2 |- ( E. z E. w E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) <-> f ~Q0 h )
209	195, 208	sylib 121	1 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> f ~Q0 h )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   /\ w3a 967   = wceq 1342   E.wex 1479   e. wcel 2135   (/)c0 3404   <.cop 3573   class class class wbr 3976   omcom 4561   X. cxp 4596  (class class class)co 5836   .o comu 6373   N.cnpi 7204   ~_Q0 ceq0 7218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-irdg 6329  df-oadd 6379  df-omul 6380  df-ni 7236  df-enq0 7356

This theorem is referenced by:  enq0er  7367