Theorem enq0tr 7433

Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is transitive. Lemma for enq0er 7434. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0tr	|- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> f ~Q0 h )

Proof of Theorem enq0tr

Dummy variables a b c d e s t u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2741	. . . . . . . . . 10 |- f e. _V
2		vex 2741	. . . . . . . . . 10 |- g e. _V
3		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = f -> ( x e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
4	3	anbi1d 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = f -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
5		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = f -> ( x = <. z , w >. <-> f = <. z , w >. ) )
6	5	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = f -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
7	6	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = f -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
8	7	4exbidv 1870	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
9	4, 8	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = f -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
10		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = g -> ( y e. ( om X. N. ) <-> g e. ( om X. N. ) ) )
11	10	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = g -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) ) )
12		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = g -> ( y = <. v , u >. <-> g = <. v , u >. ) )
13	12	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = g -> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) ) )
14	13	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = g -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
15	14	4exbidv 1870	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = g -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
16	11, 15	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( y = g -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
17		df-enq0 7423	. . . . . . . . . 10 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
18	1, 2, 9, 16, 17	brab 4273	. . . . . . . . 9 |- ( f ~Q0 g <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
19		vex 2741	. . . . . . . . . 10 |- h e. _V
20		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = g -> ( x e. ( om X. N. ) <-> g e. ( om X. N. ) ) )
21	20	anbi1d 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = g -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
22		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = g -> ( x = <. a , b >. <-> g = <. a , b >. ) )
23	22	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = g -> ( ( x = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) <-> ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) ) )
24	23	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = g -> ( ( ( x = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) <-> ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
25	24	4exbidv 1870	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = g -> ( E. a E. b E. s E. t ( ( x = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) <-> E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
26	21, 25	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = g -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( x = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
27		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = h -> ( y e. ( om X. N. ) <-> h e. ( om X. N. ) ) )
28	27	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = h -> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
29		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = h -> ( y = <. s , t >. <-> h = <. s , t >. ) )
30	29	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = h -> ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) <-> ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) ) )
31	30	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = h -> ( ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) <-> ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
32	31	4exbidv 1870	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = h -> ( E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) <-> E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
33	28, 32	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( y = h -> ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
34		df-enq0 7423	. . . . . . . . . 10 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( x = <. a , b >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) }
35	2, 19, 26, 33, 34	brab 4273	. . . . . . . . 9 |- ( g ~Q0 h <-> ( ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
36	18, 35	anbi12i 460	. . . . . . . 8 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) <-> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
37	36	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
38		an4 586	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) /\ ( ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
39	37, 38	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
40		3anass 982	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
41		anass 401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) ) )
42		anass 401	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ h e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
43	42	anbi2i 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ ( ( g e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) ) )
44		anidm 396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) <-> g e. ( om X. N. ) )
45	44	anbi1i 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ h e. ( om X. N. ) ) <-> ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) )
46	45	anbi2i 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ ( ( g e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
47	41, 43, 46	3bitr2i 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
48	40, 47	bitr4i 187	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
49	48	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) ) /\ ( g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
50	39, 49	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
51		ee8anv 1935	. . . . . 6 |- ( E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) <-> ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) )
52	51	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
53	50, 52	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
54		19.42vvvv 1913	. . . . . . 7 |- ( E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
55	54	2exbii 1606	. . . . . 6 |- ( E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> E. v E. u ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
56	55	2exbii 1606	. . . . 5 |- ( E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
57		19.42vvvv 1913	. . . . 5 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
58	56, 57	bitri 184	. . . 4 |- ( E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
59	53, 58	sylibr 134	. . 3 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) )
60		3simpb 995	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) -> ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) )
62		simplll 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> f = <. z , w >. )
63		simprlr 538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> h = <. s , t >. )
64	62, 63	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) )
66		oveq1 5882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = (/) -> ( v .o t ) = ( (/) .o t ) )
67	63	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> h = <. s , t >. )
68		simpl3 1002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> h e. ( om X. N. ) )
69	67, 68	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> <. s , t >. e. ( om X. N. ) )
70		opelxp 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( <. s , t >. e. ( om X. N. ) <-> ( s e. om /\ t e. N. ) )
71	69, 70	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( s e. om /\ t e. N. ) )
72	71	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> t e. N. )
73		pinn 7308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t e. N. -> t e. om )
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> t e. om )
75		nnm0r 6480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. om -> ( (/) .o t ) = (/) )
76	74, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( (/) .o t ) = (/) )
77	76	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( v .o t ) = ( (/) .o t ) <-> ( v .o t ) = (/) ) )
78	66, 77	imbitrid 154	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( v .o t ) = (/) ) )
79		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( a .o t ) = ( b .o s ) )
80		eqtr2 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( g = <. v , u >. /\ g = <. a , b >. ) -> <. v , u >. = <. a , b >. )
81		vex 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- v e. _V
82		vex 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- u e. _V
83	81, 82	opth 4238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( <. v , u >. = <. a , b >. <-> ( v = a /\ u = b ) )
84	80, 83	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( g = <. v , u >. /\ g = <. a , b >. ) -> ( v = a /\ u = b ) )
85		oveq1 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = a -> ( v .o t ) = ( a .o t ) )
86		oveq1 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = b -> ( u .o s ) = ( b .o s ) )
87	85, 86	eqeqan12d 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v = a /\ u = b ) -> ( ( v .o t ) = ( u .o s ) <-> ( a .o t ) = ( b .o s ) ) )
88	84, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( g = <. v , u >. /\ g = <. a , b >. ) -> ( ( v .o t ) = ( u .o s ) <-> ( a .o t ) = ( b .o s ) ) )
89	88	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) ) -> ( ( v .o t ) = ( u .o s ) <-> ( a .o t ) = ( b .o s ) ) )
90	89	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( ( v .o t ) = ( u .o s ) <-> ( a .o t ) = ( b .o s ) ) )
91	79, 90	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( v .o t ) = ( u .o s ) )
92	91	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( ( v .o t ) = (/) <-> ( u .o s ) = (/) ) )
93	92	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( v .o t ) = (/) <-> ( u .o s ) = (/) ) )
94	78, 93	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( u .o s ) = (/) ) )
95		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> g = <. v , u >. )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> g = <. v , u >. )
97		simpl2 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> g e. ( om X. N. ) )
98	96, 97	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> <. v , u >. e. ( om X. N. ) )
99		opelxp 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. v , u >. e. ( om X. N. ) <-> ( v e. om /\ u e. N. ) )
100	98, 99	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v e. om /\ u e. N. ) )
101	100	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> u e. N. )
102		pinn 7308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. N. -> u e. om )
103	101, 102	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> u e. om )
104	71	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> s e. om )
105		nnm00 6531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. om /\ s e. om ) -> ( ( u .o s ) = (/) <-> ( u = (/) \/ s = (/) ) ) )
106	103, 104, 105	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( u .o s ) = (/) <-> ( u = (/) \/ s = (/) ) ) )
107	94, 106	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( u = (/) \/ s = (/) ) ) )
108		elni2 7313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. N. <-> ( u e. om /\ (/) e. u ) )
109	108	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. N. -> (/) e. u )
110	101, 109	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> (/) e. u )
111		n0i 3429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) e. u -> -. u = (/) )
112		biorf 744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. u = (/) -> ( s = (/) <-> ( u = (/) \/ s = (/) ) ) )
113	110, 111, 112	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( s = (/) <-> ( u = (/) \/ s = (/) ) ) )
114	107, 113	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> s = (/) ) )
115	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> f = <. z , w >. )
116		simpl1 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> f e. ( om X. N. ) )
117	115, 116	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> <. z , w >. e. ( om X. N. ) )
118		opelxp 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. z , w >. e. ( om X. N. ) <-> ( z e. om /\ w e. N. ) )
119	117, 118	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z e. om /\ w e. N. ) )
120	119	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> w e. N. )
121		pinn 7308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. N. -> w e. om )
122	120, 121	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> w e. om )
123		nnm0 6476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. om -> ( w .o (/) ) = (/) )
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( w .o (/) ) = (/) )
125		oveq2 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = (/) -> ( w .o s ) = ( w .o (/) ) )
126	125	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = (/) -> ( ( w .o s ) = (/) <-> ( w .o (/) ) = (/) ) )
127	124, 126	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( s = (/) -> ( w .o s ) = (/) ) )
128	114, 127	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( w .o s ) = (/) ) )
129		oveq2 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = (/) -> ( w .o v ) = ( w .o (/) ) )
130	124	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( w .o v ) = ( w .o (/) ) <-> ( w .o v ) = (/) ) )
131	129, 130	imbitrid 154	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( w .o v ) = (/) ) )
132		simprlr 538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o u ) = ( w .o v ) )
133	132	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( z .o u ) = (/) <-> ( w .o v ) = (/) ) )
134	131, 133	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( z .o u ) = (/) ) )
135	119	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> z e. om )
136		nnm00 6531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. om /\ u e. om ) -> ( ( z .o u ) = (/) <-> ( z = (/) \/ u = (/) ) ) )
137	135, 103, 136	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( z .o u ) = (/) <-> ( z = (/) \/ u = (/) ) ) )
138	134, 137	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( z = (/) \/ u = (/) ) ) )
139		biorf 744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. u = (/) -> ( z = (/) <-> ( u = (/) \/ z = (/) ) ) )
140		orcom 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u = (/) \/ z = (/) ) <-> ( z = (/) \/ u = (/) ) )
141	139, 140	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. u = (/) -> ( z = (/) <-> ( z = (/) \/ u = (/) ) ) )
142	110, 111, 141	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z = (/) <-> ( z = (/) \/ u = (/) ) ) )
143	138, 142	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> z = (/) ) )
144		oveq1 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = (/) -> ( z .o t ) = ( (/) .o t ) )
145	144	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = (/) -> ( ( z .o t ) = (/) <-> ( (/) .o t ) = (/) ) )
146	76, 145	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z = (/) -> ( z .o t ) = (/) ) )
147	143, 146	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( z .o t ) = (/) ) )
148	128, 147	jcad 307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( ( w .o s ) = (/) /\ ( z .o t ) = (/) ) ) )
149		eqtr3 2197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w .o s ) = (/) /\ ( z .o t ) = (/) ) -> ( w .o s ) = ( z .o t ) )
150	149	eqcomd 2183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w .o s ) = (/) /\ ( z .o t ) = (/) ) -> ( z .o t ) = ( w .o s ) )
151	148, 150	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) -> ( z .o t ) = ( w .o s ) ) )
152		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( z .o u ) = ( w .o v ) )
153	91, 152	oveq12d 5893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) -> ( ( v .o t ) .o ( z .o u ) ) = ( ( u .o s ) .o ( w .o v ) ) )
154	153	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( v .o t ) .o ( z .o u ) ) = ( ( u .o s ) .o ( w .o v ) ) )
155	100	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> v e. om )
156		nnmcl 6482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. om /\ t e. om ) -> ( v .o t ) e. om )
157	155, 74, 156	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v .o t ) e. om )
158		nnmcom 6490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. om /\ d e. om ) -> ( c .o d ) = ( d .o c ) )
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) /\ ( c e. om /\ d e. om ) ) -> ( c .o d ) = ( d .o c ) )
160		nnmass 6488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. om /\ d e. om /\ e e. om ) -> ( ( c .o d ) .o e ) = ( c .o ( d .o e ) ) )
161	160	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) /\ ( c e. om /\ d e. om /\ e e. om ) ) -> ( ( c .o d ) .o e ) = ( c .o ( d .o e ) ) )
162	157, 135, 103, 159, 161	caov13d 6058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( v .o t ) .o ( z .o u ) ) = ( u .o ( z .o ( v .o t ) ) ) )
163		nnmcl 6482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. om /\ v e. om ) -> ( w .o v ) e. om )
164	122, 155, 163	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( w .o v ) e. om )
165	161, 103, 104, 164	caovassd 6034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( u .o s ) .o ( w .o v ) ) = ( u .o ( s .o ( w .o v ) ) ) )
166	154, 162, 165	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( u .o ( z .o ( v .o t ) ) ) = ( u .o ( s .o ( w .o v ) ) ) )
167		nnmcl 6482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. om /\ ( v .o t ) e. om ) -> ( z .o ( v .o t ) ) e. om )
168	135, 157, 167	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o ( v .o t ) ) e. om )
169		nnmcl 6482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( s .o ( w .o v ) ) e. om )
170	104, 164, 169	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( s .o ( w .o v ) ) e. om )
171		nnmcan 6520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( u e. om /\ ( z .o ( v .o t ) ) e. om /\ ( s .o ( w .o v ) ) e. om ) /\ (/) e. u ) -> ( ( u .o ( z .o ( v .o t ) ) ) = ( u .o ( s .o ( w .o v ) ) ) <-> ( z .o ( v .o t ) ) = ( s .o ( w .o v ) ) ) )
172	103, 168, 170, 110, 171	syl31anc 1241	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( u .o ( z .o ( v .o t ) ) ) = ( u .o ( s .o ( w .o v ) ) ) <-> ( z .o ( v .o t ) ) = ( s .o ( w .o v ) ) ) )
173	166, 172	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o ( v .o t ) ) = ( s .o ( w .o v ) ) )
174	135, 155, 74, 159, 161	caov12d 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o ( v .o t ) ) = ( v .o ( z .o t ) ) )
175	104, 122, 155, 159, 161	caov13d 6058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( s .o ( w .o v ) ) = ( v .o ( w .o s ) ) )
176	173, 174, 175	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v .o ( z .o t ) ) = ( v .o ( w .o s ) ) )
177	176	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) /\ (/) e. v ) -> ( v .o ( z .o t ) ) = ( v .o ( w .o s ) ) )
178		nnmcl 6482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. om /\ t e. om ) -> ( z .o t ) e. om )
179	135, 74, 178	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o t ) e. om )
180		nnmcl 6482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. om /\ s e. om ) -> ( w .o s ) e. om )
181	122, 104, 180	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( w .o s ) e. om )
182	155, 179, 181	3jca 1177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v e. om /\ ( z .o t ) e. om /\ ( w .o s ) e. om ) )
183		nnmcan 6520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v e. om /\ ( z .o t ) e. om /\ ( w .o s ) e. om ) /\ (/) e. v ) -> ( ( v .o ( z .o t ) ) = ( v .o ( w .o s ) ) <-> ( z .o t ) = ( w .o s ) ) )
184	182, 183	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) /\ (/) e. v ) -> ( ( v .o ( z .o t ) ) = ( v .o ( w .o s ) ) <-> ( z .o t ) = ( w .o s ) ) )
185	177, 184	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) /\ (/) e. v ) -> ( z .o t ) = ( w .o s ) )
186	185	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( (/) e. v -> ( z .o t ) = ( w .o s ) ) )
187		0elnn 4619	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( v = (/) \/ (/) e. v ) )
188	155, 187	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( v = (/) \/ (/) e. v ) )
189	151, 186, 188	mpjaod 718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( z .o t ) = ( w .o s ) )
190	61, 65, 189	jca32 310	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
191	190	2eximi 1601	. . . . . 6 |- ( E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
192	191	exlimivv 1896	. . . . 5 |- ( E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
193	192	exlimivv 1896	. . . 4 |- ( E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
194	193	2eximi 1601	. . 3 |- ( E. z E. w E. v E. u E. a E. b E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ g e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( ( f = <. z , w >. /\ g = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) /\ ( ( g = <. a , b >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( a .o t ) = ( b .o s ) ) ) ) -> E. z E. w E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
195	59, 194	syl 14	. 2 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> E. z E. w E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
196		19.42vvvv 1913	. . 3 |- ( E. z E. w E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
197	5	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( x = f -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) ) )
198	197	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( x = f -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
199	198	4exbidv 1870	. . . . 5 |- ( x = f -> ( E. z E. w E. s E. t ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) <-> E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
200	4, 199	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = f -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) ) )
201	27	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( y = h -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) ) )
202	29	anbi2d 464	. . . . . . 7 |- ( y = h -> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) ) )
203	202	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( y = h -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
204	203	4exbidv 1870	. . . . 5 |- ( y = h -> ( E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) <-> E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
205	201, 204	anbi12d 473	. . . 4 |- ( y = h -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) ) )
206		df-enq0 7423	. . . 4 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) }
207	1, 19, 200, 205, 206	brab 4273	. . 3 |- ( f ~Q0 h <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. s E. t ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) )
208	196, 207	bitr4i 187	. 2 |- ( E. z E. w E. s E. t ( ( f e. ( om X. N. ) /\ h e. ( om X. N. ) ) /\ ( ( f = <. z , w >. /\ h = <. s , t >. ) /\ ( z .o t ) = ( w .o s ) ) ) <-> f ~Q0 h )
209	195, 208	sylib 122	1 |- ( ( f ~Q0 g /\ g ~Q0 h ) -> f ~Q0 h )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   (/)c0 3423   <.cop 3596   class class class wbr 4004   omcom 4590   X. cxp 4625  (class class class)co 5875   .o comu 6415   N.cnpi 7271   ~_Q0 ceq0 7285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-ni 7303  df-enq0 7423

This theorem is referenced by:  enq0er  7434