Theorem mulcanpig 7447

Description: Multiplication cancellation law for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem mulcanpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 7429	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
3		mulpiord 7429	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
4	3	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
5	2, 4	eqeq12d 2219	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> ( A .o B ) = ( A .o C ) ) )
6		pinn 7421	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> A e. om )
7		pinn 7421	. . . . . . . . 9 |- ( B e. N. -> B e. om )
8		pinn 7421	. . . . . . . . 9 |- ( C e. N. -> C e. om )
9		elni2 7426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ (/) e. A ) )
10	9	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. N. -> (/) e. A )
11		nnmcan 6604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> B = C ) )
12	11	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
13	10, 12	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ A e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
14	13	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) )
15	6, 7, 8, 14	syl3an 1291	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) )
16	15	3exp 1204	. . . . . . 7 |- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) )
17	16	com4r 86	. . . . . 6 |- ( A e. N. -> ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) )
18	17	pm2.43i 49	. . . . 5 |- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) )
19	18	imp31 256	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
20	5, 19	sylbid 150	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
21	20	3impa 1196	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
22		oveq2 5951	. 2 |- ( B = C -> ( A .N B ) = ( A .N C ) )
23	21, 22	impbid1 142	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   (/)c0 3459   omcom 4637  (class class class)co 5943   .o comu 6499   N.cnpi 7384   .N cmi 7386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-oadd 6505  df-omul 6506  df-ni 7416  df-mi 7418

This theorem is referenced by:  enqer  7470