Theorem mulcanpig 7518

Description: Multiplication cancellation law for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem mulcanpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 7500	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
3		mulpiord 7500	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
4	3	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
5	2, 4	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> ( A .o B ) = ( A .o C ) ) )
6		pinn 7492	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> A e. om )
7		pinn 7492	. . . . . . . . 9 |- ( B e. N. -> B e. om )
8		pinn 7492	. . . . . . . . 9 |- ( C e. N. -> C e. om )
9		elni2 7497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ (/) e. A ) )
10	9	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. N. -> (/) e. A )
11		nnmcan 6663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> B = C ) )
12	11	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
13	10, 12	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ A e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
14	13	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) )
15	6, 7, 8, 14	syl3an 1313	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) )
16	15	3exp 1226	. . . . . . 7 |- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) )
17	16	com4r 86	. . . . . 6 |- ( A e. N. -> ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) )
18	17	pm2.43i 49	. . . . 5 |- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) )
19	18	imp31 256	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
20	5, 19	sylbid 150	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
21	20	3impa 1218	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
22		oveq2 6008	. 2 |- ( B = C -> ( A .N B ) = ( A .N C ) )
23	21, 22	impbid1 142	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   (/)c0 3491   omcom 4681  (class class class)co 6000   .o comu 6558   N.cnpi 7455   .N cmi 7457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-ni 7487  df-mi 7489

This theorem is referenced by:  enqer  7541