Theorem mulcanpig 7167

Description: Multiplication cancellation law for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem mulcanpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 7149	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
2	1	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
3		mulpiord 7149	. . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
4	3	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
5	2, 4	eqeq12d 2155	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> ( A .o B ) = ( A .o C ) ) )
6		pinn 7141	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> A e. om )
7		pinn 7141	. . . . . . . . 9 |- ( B e. N. -> B e. om )
8		pinn 7141	. . . . . . . . 9 |- ( C e. N. -> C e. om )
9		elni2 7146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ (/) e. A ) )
10	9	simprbi 273	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. N. -> (/) e. A )
11		nnmcan 6423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> B = C ) )
12	11	biimpd 143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
13	10, 12	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ A e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
14	13	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) )
15	6, 7, 8, 14	syl3an 1259	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) )
16	15	3exp 1181	. . . . . . 7 |- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) )
17	16	com4r 86	. . . . . 6 |- ( A e. N. -> ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) )
18	17	pm2.43i 49	. . . . 5 |- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) )
19	18	imp31 254	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
20	5, 19	sylbid 149	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
21	20	3impa 1177	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
22		oveq2 5790	. 2 |- ( B = C -> ( A .N B ) = ( A .N C ) )
23	21, 22	impbid1 141	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   (/)c0 3368   omcom 4512  (class class class)co 5782   .o comu 6319   N.cnpi 7104   .N cmi 7106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-ni 7136  df-mi 7138

This theorem is referenced by:  enqer  7190