ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  om0 GIF version

Theorem om0 6476
Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
om0 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)

Proof of Theorem om0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elon 4406 . . 3 ∅ ∈ On
2 omv 6473 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 ·o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘∅))
31, 2mpan2 425 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘∅))
4 0ex 4144 . . 3 ∅ ∈ V
54rdg0 6405 . 2 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘∅) = ∅
63, 5eqtrdi 2237 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1363  wcel 2159  Vcvv 2751  c0 3436  cmpt 4078  Oncon0 4377  cfv 5230  (class class class)co 5890  reccrdg 6387   +o coa 6431   ·o comu 6432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-irdg 6388  df-oadd 6438  df-omul 6439
This theorem is referenced by:  nnm0  6493  nnm0r  6497
  Copyright terms: Public domain W3C validator