Theorem ordvdsmul 12345

Description: If an integer divides either of two others, it divides their product. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ordvdsmul	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || M \/ K || N ) -> K || ( M x. N ) ) )

Proof of Theorem ordvdsmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsmultr1 12342	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || M -> K || ( M x. N ) ) )
2		dvdsmultr2 12344	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N -> K || ( M x. N ) ) )
3	1, 2	jaod 722	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || M \/ K || N ) -> K || ( M x. N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 713   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   x. cmul 8004   ZZcz 9446   || cdvds 12298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-dvds 12299

This theorem is referenced by:  euclemma  12668