Theorem ordvdsmul 11740

Description: If an integer divides either of two others, it divides their product. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ordvdsmul	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || M \/ K || N ) -> K || ( M x. N ) ) )

Proof of Theorem ordvdsmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsmultr1 11737	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || M -> K || ( M x. N ) ) )
2		dvdsmultr2 11739	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N -> K || ( M x. N ) ) )
3	1, 2	jaod 707	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || M \/ K || N ) -> K || ( M x. N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 698   /\ w3a 963   e. wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826   x. cmul 7739   ZZcz 9172   || cdvds 11694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-sub 8052  df-neg 8053  df-inn 8839  df-n0 9096  df-z 9173  df-dvds 11695

This theorem is referenced by:  euclemma  12036