ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsmultr2 Unicode version

Theorem dvdsmultr2 11727
Description: If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmultr2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  ||  N  ->  K  ||  ( M  x.  N
) ) )

Proof of Theorem dvdsmultr2
StepHypRef Expression
1 dvdsmul2 11710 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( M  x.  N ) )
21biantrud 302 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  ||  N  <->  ( K  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) ) ) )
323adant1 1000 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  ||  N  <->  ( K  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N
) ) ) )
4 simp1 982 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
5 simp3 984 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6 zmulcl 9220 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )
763adant1 1000 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
8 dvdstr 11724 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( K  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  ->  K  ||  ( M  x.  N )
) )
94, 5, 7, 8syl3anc 1220 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( K  ||  N  /\  N  ||  ( M  x.  N ) )  ->  K  ||  ( M  x.  N )
) )
103, 9sylbid 149 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  ||  N  ->  K  ||  ( M  x.  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824    x. cmul 7737   ZZcz 9167    || cdvds 11683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-dvds 11684
This theorem is referenced by:  ordvdsmul  11728  bezoutlemstep  11881  mulgcddvds  11971
  Copyright terms: Public domain W3C validator