Theorem dvdsmultr2 11727

Description: If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmultr2	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N -> K || ( M x. N ) ) )

Proof of Theorem dvdsmultr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsmul2 11710	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )
2	1	biantrud 302	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N <-> ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) ) )
3	2	3adant1 1000	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N <-> ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) ) )
4		simp1 982	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
5		simp3 984	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
6		zmulcl 9220	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
7	6	3adant1 1000	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
8		dvdstr 11724	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) -> K || ( M x. N ) ) )
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1220	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) -> K || ( M x. N ) ) )
10	3, 9	sylbid 149	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N -> K || ( M x. N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   x. cmul 7737   ZZcz 9167   || cdvds 11683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-dvds 11684

This theorem is referenced by:  ordvdsmul  11728  bezoutlemstep  11881  mulgcddvds  11971