Theorem dvdsmultr2 11843

Description: If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmultr2	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N -> K || ( M x. N ) ) )

Proof of Theorem dvdsmultr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsmul2 11824	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )
2	1	biantrud 304	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N <-> ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) ) )
3	2	3adant1 1015	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N <-> ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) ) )
4		simp1 997	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
5		simp3 999	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
6		zmulcl 9309	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
7	6	3adant1 1015	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
8		dvdstr 11838	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) -> K || ( M x. N ) ) )
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) -> K || ( M x. N ) ) )
10	3, 9	sylbid 150	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N -> K || ( M x. N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878   x. cmul 7819   ZZcz 9256   || cdvds 11797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-dvds 11798

This theorem is referenced by:  ordvdsmul  11844  bezoutlemstep  12001  mulgcddvds  12097  lgsdir2  14595  lgseisenlem1  14611  lgseisenlem2  14612