Theorem dvdsmultr2 12578

Description: If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmultr2	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N -> K || ( M x. N ) ) )

Proof of Theorem dvdsmultr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsmul2 12559	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )
2	1	biantrud 304	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N <-> ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) ) )
3	2	3adant1 1046	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N <-> ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) ) )
4		simp1 1028	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
5		simp3 1030	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
6		zmulcl 9677	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
7	6	3adant1 1046	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
8		dvdstr 12573	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) -> K || ( M x. N ) ) )
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) -> K || ( M x. N ) ) )
10	3, 9	sylbid 150	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N -> K || ( M x. N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   x. cmul 8174   ZZcz 9623   || cdvds 12532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-dvds 12533

This theorem is referenced by:  ordvdsmul  12579  3dvds  12609  bezoutlemstep  12752  mulgcddvds  12850  znunit  14966  lgsdir2  16066  lgseisenlem1  16103  lgseisenlem2  16104