Theorem dvdsmultr2 11854

Description: If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmultr2	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N -> K || ( M x. N ) ) )

Proof of Theorem dvdsmultr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsmul2 11835	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )
2	1	biantrud 304	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N <-> ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) ) )
3	2	3adant1 1016	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N <-> ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) ) )
4		simp1 998	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
5		simp3 1000	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
6		zmulcl 9320	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
7	6	3adant1 1016	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
8		dvdstr 11849	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) -> K || ( M x. N ) ) )
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1248	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || N /\ N || ( M x. N ) ) -> K || ( M x. N ) ) )
10	3, 9	sylbid 150	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || N -> K || ( M x. N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   e. wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   x. cmul 7830   ZZcz 9267   || cdvds 11808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-dvds 11809

This theorem is referenced by:  ordvdsmul  11855  bezoutlemstep  12012  mulgcddvds  12108  lgsdir2  14730  lgseisenlem1  14746  lgseisenlem2  14747