ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsmultr1 Unicode version

Theorem dvdsmultr1 10614
Description: If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmultr1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  ||  M  ->  K  ||  ( M  x.  N
) ) )

Proof of Theorem dvdsmultr1
StepHypRef Expression
1 dvdsmul1 10598 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  N ) )
213adant1 957 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  N
) )
3 zmulcl 8699 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )
433adant1 957 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
5 dvdstr 10613 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  x.  N )  e.  ZZ )  ->  (
( K  ||  M  /\  M  ||  ( M  x.  N ) )  ->  K  ||  ( M  x.  N )
) )
64, 5syld3an3 1215 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( K  ||  M  /\  M  ||  ( M  x.  N ) )  ->  K  ||  ( M  x.  N )
) )
72, 6mpan2d 419 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  ||  M  ->  K  ||  ( M  x.  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    e. wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591    x. cmul 7258   ZZcz 8646    || cdvds 10576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-dvds 10577
This theorem is referenced by:  dvdsmultr1d  10615  ordvdsmul  10617  dvdsfac  10641  bezoutlembi  10774  dvdsmulgcd  10794  bezoutr  10801  lcmgcdlem  10839
  Copyright terms: Public domain W3C validator