Theorem dvdsmultr1 12517

Description: If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmultr1	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || M -> K || ( M x. N ) ) )

Proof of Theorem dvdsmultr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsmul1 12499	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( M x. N ) )
2	1	3adant1 1042	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( M x. N ) )
3		zmulcl 9631	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
4	3	3adant1 1042	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
5		dvdstr 12514	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( K || M /\ M || ( M x. N ) ) -> K || ( M x. N ) ) )
6	4, 5	syld3an3 1319	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K || M /\ M || ( M x. N ) ) -> K || ( M x. N ) ) )
7	2, 6	mpan2d 428	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K || M -> K || ( M x. N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   x. cmul 8132   ZZcz 9577   || cdvds 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-dvds 12474

This theorem is referenced by:  dvdsmultr1d  12518  ordvdsmul  12520  dvdsfac  12546  bezoutlembi  12701  dvdsmulgcd  12721  bezoutr  12728  lcmgcdlem  12774  pythagtriplem4  12966  dec2dvds  13109  perfect1  15866  lgsdir2  15906