Theorem euclemma 12021

Description: Euclid's lemma. A prime number divides the product of two integers iff it divides at least one of them. Theorem 1.9 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
euclemma	|- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( P || ( M x. N ) <-> ( P || M \/ P || N ) ) )

Proof of Theorem euclemma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coprm 12019	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ ) -> ( -. P || M <-> ( P gcd M ) = 1 ) )
2	1	3adant3 1002	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. P || M <-> ( P gcd M ) = 1 ) )
3	2	anbi2d 460	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || ( M x. N ) /\ -. P || M ) <-> ( P || ( M x. N ) /\ ( P gcd M ) = 1 ) ) )
4		prmz 11988	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
5		coprmdvds 11969	. . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || ( M x. N ) /\ ( P gcd M ) = 1 ) -> P || N ) )
6	4, 5	syl3an1 1253	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || ( M x. N ) /\ ( P gcd M ) = 1 ) -> P || N ) )
7	3, 6	sylbid 149	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || ( M x. N ) /\ -. P || M ) -> P || N ) )
8	7	expd 256	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( P || ( M x. N ) -> ( -. P || M -> P || N ) ) )
9		prmnn 11987	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
10	9	3ad2ant1 1003	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> P e. NN )
11		simp2 983	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
12		dvdsdc 11694	. . . . 5 |- ( ( P e. NN /\ M e. ZZ ) -> DECID P || M )
13	10, 11, 12	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID P || M )
14		dfordc 878	. . . 4 |- (DECID P || M -> ( ( P || M \/ P || N ) <-> ( -. P || M -> P || N ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || M \/ P || N ) <-> ( -. P || M -> P || N ) ) )
16	8, 15	sylibrd 168	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( P || ( M x. N ) -> ( P || M \/ P || N ) ) )
17		ordvdsmul 11728	. . 3 |- ( ( P e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || M \/ P || N ) -> P || ( M x. N ) ) )
18	4, 17	syl3an1 1253	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || M \/ P || N ) -> P || ( M x. N ) ) )
19	16, 18	impbid 128	1 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( P || ( M x. N ) <-> ( P || M \/ P || N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   1c1 7733   x. cmul 7737   NNcn 8833   ZZcz 9167   || cdvds 11683   gcd cgcd 11829   Primecprime 11984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-1o 6363  df-2o 6364  df-er 6480  df-en 6686  df-sup 6928  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-fl 10169  df-mod 10222  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-dvds 11684  df-gcd 11830  df-prm 11985

This theorem is referenced by:  isprm6  12022  prmdvdsexp  12023  prmfac1  12027  sqpweven  12050  2sqpwodd  12051