Theorem plendxnvscandx 13563

Description: The slot for the "less than or equal to" ordering is not the slot for the scalar product in an extensible structure. (Contributed by AV, 1-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
plendxnvscandx	|- ( le ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )

Proof of Theorem plendxnvscandx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6re 9385	. . 3 |- 6 e. RR
2		6lt10 9910	. . 3 |- 6 < ; 1 0
3	1, 2	gtneii 8421	. 2 |- ; 1 0 =/= 6
4		plendx 13554	. . 3 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
5		vscandx 13511	. . 3 |- ( .s ` ndx ) = 6
6	4, 5	neeq12i 2437	. 2 |- ( ( le ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) <-> ; 1 0 =/= 6 )
7	3, 6	mpbir 146	1 |- ( le ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )

This proof depends on syntax axioms:   =/= wne 2420   ` cfv 5377   0cc0 8179   1c1 8180   6c6 9359  ;cdc 9777   ndxcnx 13349   .scvsca 13435   lecple 13438

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-dec 9778  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-vsca 13448  df-ple 13451

This theorem is used by: (None)