ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prdisj Unicode version

Theorem prdisj 7522
Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prdisj  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  Q. )  ->  -.  ( A  e.  L  /\  A  e.  U )
)

Proof of Theorem prdisj
Dummy variables  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2252 . . . . 5  |-  ( q  =  A  ->  (
q  e.  Q.  <->  A  e.  Q. ) )
21anbi2d 464 . . . 4  |-  ( q  =  A  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  q  e.  Q. )  <->  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  Q. )
) )
3 eleq1 2252 . . . . . 6  |-  ( q  =  A  ->  (
q  e.  L  <->  A  e.  L ) )
4 eleq1 2252 . . . . . 6  |-  ( q  =  A  ->  (
q  e.  U  <->  A  e.  U ) )
53, 4anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( q  =  A  ->  (
( q  e.  L  /\  q  e.  U
)  <->  ( A  e.  L  /\  A  e.  U ) ) )
65notbid 668 . . . 4  |-  ( q  =  A  ->  ( -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U
)  <->  -.  ( A  e.  L  /\  A  e.  U ) ) )
72, 6imbi12d 234 . . 3  |-  ( q  =  A  ->  (
( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U ) )  <->  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  Q. )  ->  -.  ( A  e.  L  /\  A  e.  U )
) ) )
8 elinp 7504 . . . . 5  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) ) )
9 simpr2 1006 . . . . 5  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U )
)  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  r  e.  L ) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U ) )
108, 9sylbi 121 . . . 4  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U
) )
1110r19.21bi 2578 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  (
q  e.  L  /\  q  e.  U )
)
127, 11vtoclg 2812 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  Q. )  ->  -.  ( A  e.  L  /\  A  e.  U
) ) )
1312anabsi7 581 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  Q. )  ->  -.  ( A  e.  L  /\  A  e.  U )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469    C_ wss 3144   <.cop 3610   class class class wbr 4018   Q.cnq 7310    <Q cltq 7315   P.cnp 7321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-qs 6566  df-ni 7334  df-nqqs 7378  df-inp 7496
This theorem is referenced by:  ltpopr  7625  addcanprleml  7644  addcanprlemu  7645  suplocexprlemdisj  7750  suplocexprlemub  7753
  Copyright terms: Public domain W3C validator