ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prdisj Unicode version

Theorem prdisj 7051
Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prdisj  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  Q. )  ->  -.  ( A  e.  L  /\  A  e.  U )
)

Proof of Theorem prdisj
Dummy variables  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2150 . . . . 5  |-  ( q  =  A  ->  (
q  e.  Q.  <->  A  e.  Q. ) )
21anbi2d 452 . . . 4  |-  ( q  =  A  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  q  e.  Q. )  <->  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  Q. )
) )
3 eleq1 2150 . . . . . 6  |-  ( q  =  A  ->  (
q  e.  L  <->  A  e.  L ) )
4 eleq1 2150 . . . . . 6  |-  ( q  =  A  ->  (
q  e.  U  <->  A  e.  U ) )
53, 4anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( q  =  A  ->  (
( q  e.  L  /\  q  e.  U
)  <->  ( A  e.  L  /\  A  e.  U ) ) )
65notbid 627 . . . 4  |-  ( q  =  A  ->  ( -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U
)  <->  -.  ( A  e.  L  /\  A  e.  U ) ) )
72, 6imbi12d 232 . . 3  |-  ( q  =  A  ->  (
( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U ) )  <->  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  Q. )  ->  -.  ( A  e.  L  /\  A  e.  U )
) ) )
8 elinp 7033 . . . . 5  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) ) )
9 simpr2 950 . . . . 5  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U )
)  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  r  e.  L ) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U ) )
108, 9sylbi 119 . . . 4  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U
) )
1110r19.21bi 2461 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  (
q  e.  L  /\  q  e.  U )
)
127, 11vtoclg 2679 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  Q. )  ->  -.  ( A  e.  L  /\  A  e.  U
) ) )
1312anabsi7 548 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  Q. )  ->  -.  ( A  e.  L  /\  A  e.  U )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360    C_ wss 2999   <.cop 3449   class class class wbr 3845   Q.cnq 6839    <Q cltq 6844   P.cnp 6850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-qs 6298  df-ni 6863  df-nqqs 6907  df-inp 7025
This theorem is referenced by:  ltpopr  7154  addcanprleml  7173  addcanprlemu  7174
  Copyright terms: Public domain W3C validator