Theorem prdisj 7849

Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prdisj	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) )

Proof of Theorem prdisj

Dummy variables q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2301	. . . . 5 |- ( q = A -> ( q e. Q. <-> A e. Q. ) )
2	1	anbi2d 468	. . . 4 |- ( q = A -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ q e. Q. ) <-> ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) ) )
3		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( q = A -> ( q e. L <-> A e. L ) )
4		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( q = A -> ( q e. U <-> A e. U ) )
5	3, 4	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( q = A -> ( ( q e. L /\ q e. U ) <-> ( A e. L /\ A e. U ) ) )
6	5	notbid 677	. . . 4 |- ( q = A -> ( -. ( q e. L /\ q e. U ) <-> -. ( A e. L /\ A e. U ) ) )
7	2, 6	imbi12d 234	. . 3 |- ( q = A -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ q e. Q. ) -> -. ( q e. L /\ q e. U ) ) <-> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) ) ) )
8		elinp 7831	. . . . 5 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) )
9		simpr2 1035	. . . . 5 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
10	8, 9	sylbi 121	. . . 4 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
11	10	r19.21bi 2638	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ q e. Q. ) -> -. ( q e. L /\ q e. U ) )
12	7, 11	vtoclg 2883	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) ) )
13	12	anabsi7 587	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   <.cop 3708   class class class wbr 4125   Q.cnq 7637   <Q cltq 7642   P.cnp 7648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-qs 6803  df-ni 7661  df-nqqs 7705  df-inp 7823

This theorem is referenced by:  ltpopr  7952  addcanprleml  7971  addcanprlemu  7972  suplocexprlemdisj  8077  suplocexprlemub  8080