Theorem prdisj 7554

Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prdisj	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) )

Proof of Theorem prdisj

Dummy variables q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2256	. . . . 5 |- ( q = A -> ( q e. Q. <-> A e. Q. ) )
2	1	anbi2d 464	. . . 4 |- ( q = A -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ q e. Q. ) <-> ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) ) )
3		eleq1 2256	. . . . . 6 |- ( q = A -> ( q e. L <-> A e. L ) )
4		eleq1 2256	. . . . . 6 |- ( q = A -> ( q e. U <-> A e. U ) )
5	3, 4	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( q = A -> ( ( q e. L /\ q e. U ) <-> ( A e. L /\ A e. U ) ) )
6	5	notbid 668	. . . 4 |- ( q = A -> ( -. ( q e. L /\ q e. U ) <-> -. ( A e. L /\ A e. U ) ) )
7	2, 6	imbi12d 234	. . 3 |- ( q = A -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ q e. Q. ) -> -. ( q e. L /\ q e. U ) ) <-> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) ) ) )
8		elinp 7536	. . . . 5 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) )
9		simpr2 1006	. . . . 5 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
10	8, 9	sylbi 121	. . . 4 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
11	10	r19.21bi 2582	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ q e. Q. ) -> -. ( q e. L /\ q e. U ) )
12	7, 11	vtoclg 2821	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) ) )
13	12	anabsi7 581	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3154   <.cop 3622   class class class wbr 4030   Q.cnq 7342   <Q cltq 7347   P.cnp 7353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-qs 6595  df-ni 7366  df-nqqs 7410  df-inp 7528

This theorem is referenced by:  ltpopr  7657  addcanprleml  7676  addcanprlemu  7677  suplocexprlemdisj  7782  suplocexprlemub  7785