ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prdisj Unicode version

Theorem prdisj 7307
Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prdisj  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  Q. )  ->  -.  ( A  e.  L  /\  A  e.  U )
)

Proof of Theorem prdisj
Dummy variables  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2202 . . . . 5  |-  ( q  =  A  ->  (
q  e.  Q.  <->  A  e.  Q. ) )
21anbi2d 459 . . . 4  |-  ( q  =  A  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  q  e.  Q. )  <->  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  Q. )
) )
3 eleq1 2202 . . . . . 6  |-  ( q  =  A  ->  (
q  e.  L  <->  A  e.  L ) )
4 eleq1 2202 . . . . . 6  |-  ( q  =  A  ->  (
q  e.  U  <->  A  e.  U ) )
53, 4anbi12d 464 . . . . 5  |-  ( q  =  A  ->  (
( q  e.  L  /\  q  e.  U
)  <->  ( A  e.  L  /\  A  e.  U ) ) )
65notbid 656 . . . 4  |-  ( q  =  A  ->  ( -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U
)  <->  -.  ( A  e.  L  /\  A  e.  U ) ) )
72, 6imbi12d 233 . . 3  |-  ( q  =  A  ->  (
( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U ) )  <->  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  Q. )  ->  -.  ( A  e.  L  /\  A  e.  U )
) ) )
8 elinp 7289 . . . . 5  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) ) )
9 simpr2 988 . . . . 5  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U )
)  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  r  e.  L ) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U ) )
108, 9sylbi 120 . . . 4  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U
) )
1110r19.21bi 2520 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  (
q  e.  L  /\  q  e.  U )
)
127, 11vtoclg 2746 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  Q. )  ->  -.  ( A  e.  L  /\  A  e.  U
) ) )
1312anabsi7 570 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  Q. )  ->  -.  ( A  e.  L  /\  A  e.  U )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417    C_ wss 3071   <.cop 3530   class class class wbr 3929   Q.cnq 7095    <Q cltq 7100   P.cnp 7106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-qs 6435  df-ni 7119  df-nqqs 7163  df-inp 7281
This theorem is referenced by:  ltpopr  7410  addcanprleml  7429  addcanprlemu  7430  suplocexprlemdisj  7535  suplocexprlemub  7538
  Copyright terms: Public domain W3C validator