Theorem prdisj 7605

Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prdisj	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) )

Proof of Theorem prdisj

Dummy variables q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2268	. . . . 5 |- ( q = A -> ( q e. Q. <-> A e. Q. ) )
2	1	anbi2d 464	. . . 4 |- ( q = A -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ q e. Q. ) <-> ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) ) )
3		eleq1 2268	. . . . . 6 |- ( q = A -> ( q e. L <-> A e. L ) )
4		eleq1 2268	. . . . . 6 |- ( q = A -> ( q e. U <-> A e. U ) )
5	3, 4	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( q = A -> ( ( q e. L /\ q e. U ) <-> ( A e. L /\ A e. U ) ) )
6	5	notbid 669	. . . 4 |- ( q = A -> ( -. ( q e. L /\ q e. U ) <-> -. ( A e. L /\ A e. U ) ) )
7	2, 6	imbi12d 234	. . 3 |- ( q = A -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ q e. Q. ) -> -. ( q e. L /\ q e. U ) ) <-> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) ) ) )
8		elinp 7587	. . . . 5 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) )
9		simpr2 1007	. . . . 5 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
10	8, 9	sylbi 121	. . . 4 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
11	10	r19.21bi 2594	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ q e. Q. ) -> -. ( q e. L /\ q e. U ) )
12	7, 11	vtoclg 2833	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) ) )
13	12	anabsi7 581	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   C_ wss 3166   <.cop 3636   class class class wbr 4044   Q.cnq 7393   <Q cltq 7398   P.cnp 7404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-qs 6626  df-ni 7417  df-nqqs 7461  df-inp 7579

This theorem is referenced by:  ltpopr  7708  addcanprleml  7727  addcanprlemu  7728  suplocexprlemdisj  7833  suplocexprlemub  7836