Theorem prdisj 7620

Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prdisj	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) )

Proof of Theorem prdisj

Dummy variables q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2269	. . . . 5 |- ( q = A -> ( q e. Q. <-> A e. Q. ) )
2	1	anbi2d 464	. . . 4 |- ( q = A -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ q e. Q. ) <-> ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) ) )
3		eleq1 2269	. . . . . 6 |- ( q = A -> ( q e. L <-> A e. L ) )
4		eleq1 2269	. . . . . 6 |- ( q = A -> ( q e. U <-> A e. U ) )
5	3, 4	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( q = A -> ( ( q e. L /\ q e. U ) <-> ( A e. L /\ A e. U ) ) )
6	5	notbid 669	. . . 4 |- ( q = A -> ( -. ( q e. L /\ q e. U ) <-> -. ( A e. L /\ A e. U ) ) )
7	2, 6	imbi12d 234	. . 3 |- ( q = A -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ q e. Q. ) -> -. ( q e. L /\ q e. U ) ) <-> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) ) ) )
8		elinp 7602	. . . . 5 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) )
9		simpr2 1007	. . . . 5 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
10	8, 9	sylbi 121	. . . 4 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) )
11	10	r19.21bi 2595	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ q e. Q. ) -> -. ( q e. L /\ q e. U ) )
12	7, 11	vtoclg 2835	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) ) )
13	12	anabsi7 581	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. Q. ) -> -. ( A e. L /\ A e. U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   C_ wss 3170   <.cop 3640   class class class wbr 4050   Q.cnq 7408   <Q cltq 7413   P.cnp 7419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-iinf 4643

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-qs 6638  df-ni 7432  df-nqqs 7476  df-inp 7594

This theorem is referenced by:  ltpopr  7723  addcanprleml  7742  addcanprlemu  7743  suplocexprlemdisj  7848  suplocexprlemub  7851