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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ltpopr | Unicode version |
Description: Positive real 'less than' is a partial ordering. Remark ("< is transitive and irreflexive") preceding Proposition 11.2.3 of [HoTT], p. (varies). Lemma for ltsopr 7216. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltpopr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | prop 7095 |
. . . . . . . 8
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2 | prdisj 7112 |
. . . . . . . 8
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3 | 1, 2 | sylan 278 |
. . . . . . 7
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4 | ancom 263 |
. . . . . . 7
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5 | 3, 4 | sylnib 637 |
. . . . . 6
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6 | 5 | nrexdv 2467 |
. . . . 5
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7 | ltdfpr 7126 |
. . . . . 6
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8 | 7 | anidms 390 |
. . . . 5
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9 | 6, 8 | mtbird 634 |
. . . 4
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10 | 9 | adantl 272 |
. . 3
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11 | ltdfpr 7126 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | 11 | 3adant3 964 |
. . . . . . . . . 10
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13 | ltdfpr 7126 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | 13 | 3adant1 962 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 12, 14 | anbi12d 458 |
. . . . . . . . 9
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16 | reeanv 2537 |
. . . . . . . . 9
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17 | 15, 16 | syl6bbr 197 |
. . . . . . . 8
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18 | 17 | biimpa 291 |
. . . . . . 7
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19 | simprll 505 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | prop 7095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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21 | prltlu 7107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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22 | 20, 21 | syl3an1 1208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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23 | 22 | 3adant3r 1172 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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24 | 23 | 3adant2l 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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25 | 24 | 3expb 1145 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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26 | 25 | 3ad2antl2 1107 |
. . . . . . . . . . . . 13
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27 | 26 | adantlr 462 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | prop 7095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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29 | prcdnql 7104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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30 | 28, 29 | sylan 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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31 | 30 | adantrl 463 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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32 | 31 | adantrl 463 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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33 | 32 | 3ad2antl3 1108 |
. . . . . . . . . . . . 13
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34 | 33 | adantlr 462 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 27, 34 | mpd 13 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 19, 35 | jca 301 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 36 | ex 114 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | rexlimdvw 2493 |
. . . . . . . 8
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39 | 38 | reximdv 2475 |
. . . . . . 7
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40 | 18, 39 | mpd 13 |
. . . . . 6
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41 | ltdfpr 7126 |
. . . . . . . . 9
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42 | 41 | 3adant2 963 |
. . . . . . . 8
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43 | 42 | biimprd 157 |
. . . . . . 7
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44 | 43 | adantr 271 |
. . . . . 6
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45 | 40, 44 | mpd 13 |
. . . . 5
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46 | 45 | ex 114 |
. . . 4
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47 | 46 | adantl 272 |
. . 3
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48 | 10, 47 | ispod 4140 |
. 2
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49 | 48 | mptru 1299 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3960 ax-sep 3963 ax-nul 3971 ax-pow 4015 ax-pr 4045 ax-un 4269 ax-setind 4366 ax-iinf 4416 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 782 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rab 2369 df-v 2622 df-sbc 2842 df-csb 2935 df-dif 3002 df-un 3004 df-in 3006 df-ss 3013 df-nul 3288 df-pw 3435 df-sn 3456 df-pr 3457 df-op 3459 df-uni 3660 df-int 3695 df-iun 3738 df-br 3852 df-opab 3906 df-mpt 3907 df-tr 3943 df-eprel 4125 df-id 4129 df-po 4132 df-iso 4133 df-iord 4202 df-on 4204 df-suc 4207 df-iom 4419 df-xp 4458 df-rel 4459 df-cnv 4460 df-co 4461 df-dm 4462 df-rn 4463 df-res 4464 df-ima 4465 df-iota 4993 df-fun 5030 df-fn 5031 df-f 5032 df-f1 5033 df-fo 5034 df-f1o 5035 df-fv 5036 df-ov 5669 df-oprab 5670 df-mpt2 5671 df-1st 5925 df-2nd 5926 df-recs 6084 df-irdg 6149 df-oadd 6199 df-omul 6200 df-er 6306 df-ec 6308 df-qs 6312 df-ni 6924 df-mi 6926 df-lti 6927 df-enq 6967 df-nqqs 6968 df-ltnqqs 6973 df-inp 7086 df-iltp 7090 |
This theorem is referenced by: ltsopr 7216 |
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