Theorem prdisj 6954

Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prdisj	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem prdisj

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2145	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ Q ↔ 𝐴 ∈ Q))
2	1	anbi2d 452	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) ↔ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q)))
3		eleq1 2145	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
4		eleq1 2145	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝑈 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
5	3, 4	anbi12d 457	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)))
6	5	notbid 625	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)))
7	2, 6	imbi12d 232	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈))))
8		elinp 6936	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))))
9		simpr2 946	. . . . 5 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
10	8, 9	sylbi 119	. . . 4 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
11	10	r19.21bi 2455	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
12	7, 11	vtoclg 2669	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)))
13	12	anabsi7 546	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 662   ∧ w3a 920   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∀wral 2353  ∃wrex 2354   ⊆ wss 2984  ⟨cop 3425   class class class wbr 3811  Qcnq 6742   <_Q cltq 6747  Pcnp 6753

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-iinf 4366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-qs 6228  df-ni 6766  df-nqqs 6810  df-inp 6928

This theorem is referenced by:  ltpopr  7057  addcanprleml  7076  addcanprlemu  7077