Theorem prdisj 7807

Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prdisj	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem prdisj

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2295	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ Q ↔ 𝐴 ∈ Q))
2	1	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) ↔ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q)))
3		eleq1 2295	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
4		eleq1 2295	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝑈 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
5	3, 4	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)))
6	5	notbid 673	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)))
7	2, 6	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈))))
8		elinp 7789	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))))
9		simpr2 1031	. . . . 5 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
10	8, 9	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
11	10	r19.21bi 2630	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
12	7, 11	vtoclg 2875	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)))
13	12	anabsi7 583	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521   ⊆ wss 3211  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109  Qcnq 7595   <_Q cltq 7600  Pcnp 7606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-qs 6773  df-ni 7619  df-nqqs 7663  df-inp 7781

This theorem is referenced by:  ltpopr  7910  addcanprleml  7929  addcanprlemu  7930  suplocexprlemdisj  8035  suplocexprlemub  8038