Theorem prdisj 7552

Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prdisj	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem prdisj

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2256	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ Q ↔ 𝐴 ∈ Q))
2	1	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) ↔ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q)))
3		eleq1 2256	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
4		eleq1 2256	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝑈 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
5	3, 4	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)))
6	5	notbid 668	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)))
7	2, 6	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈))))
8		elinp 7534	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))))
9		simpr2 1006	. . . . 5 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
10	8, 9	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
11	10	r19.21bi 2582	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
12	7, 11	vtoclg 2820	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)))
13	12	anabsi7 581	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ⊆ wss 3153  ⟨cop 3621   class class class wbr 4029  Qcnq 7340   <_Q cltq 7345  Pcnp 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-qs 6593  df-ni 7364  df-nqqs 7408  df-inp 7526

This theorem is referenced by:  ltpopr  7655  addcanprleml  7674  addcanprlemu  7675  suplocexprlemdisj  7780  suplocexprlemub  7783