ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prdisj GIF version

Theorem prdisj 6954
Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prdisj ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈))

Proof of Theorem prdisj
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2145 . . . . 5 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞Q𝐴Q))
21anbi2d 452 . . . 4 (𝑞 = 𝐴 → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑞Q) ↔ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q)))
3 eleq1 2145 . . . . . 6 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞𝐿𝐴𝐿))
4 eleq1 2145 . . . . . 6 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞𝑈𝐴𝑈))
53, 4anbi12d 457 . . . . 5 (𝑞 = 𝐴 → ((𝑞𝐿𝑞𝑈) ↔ (𝐴𝐿𝐴𝑈)))
65notbid 625 . . . 4 (𝑞 = 𝐴 → (¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ↔ ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈)))
72, 6imbi12d 232 . . 3 (𝑞 = 𝐴 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑞Q) → ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈))))
8 elinp 6936 . . . . 5 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
9 simpr2 946 . . . . 5 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))) → ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
108, 9sylbi 119 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
1110r19.21bi 2455 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑞Q) → ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
127, 11vtoclg 2669 . 2 (𝐴Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈)))
1312anabsi7 546 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  wss 2984  cop 3425   class class class wbr 3811  Qcnq 6742   <Q cltq 6747  Pcnp 6753
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-qs 6228  df-ni 6766  df-nqqs 6810  df-inp 6928
This theorem is referenced by:  ltpopr  7057  addcanprleml  7076  addcanprlemu  7077
  Copyright terms: Public domain W3C validator