ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prdisj GIF version

Theorem prdisj 7479
Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prdisj ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈))

Proof of Theorem prdisj
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2240 . . . . 5 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞Q𝐴Q))
21anbi2d 464 . . . 4 (𝑞 = 𝐴 → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑞Q) ↔ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q)))
3 eleq1 2240 . . . . . 6 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞𝐿𝐴𝐿))
4 eleq1 2240 . . . . . 6 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞𝑈𝐴𝑈))
53, 4anbi12d 473 . . . . 5 (𝑞 = 𝐴 → ((𝑞𝐿𝑞𝑈) ↔ (𝐴𝐿𝐴𝑈)))
65notbid 667 . . . 4 (𝑞 = 𝐴 → (¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ↔ ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈)))
72, 6imbi12d 234 . . 3 (𝑞 = 𝐴 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑞Q) → ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈))))
8 elinp 7461 . . . . 5 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
9 simpr2 1004 . . . . 5 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))) → ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
108, 9sylbi 121 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
1110r19.21bi 2565 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑞Q) → ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
127, 11vtoclg 2797 . 2 (𝐴Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈)))
1312anabsi7 581 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  wss 3129  cop 3594   class class class wbr 4000  Qcnq 7267   <Q cltq 7272  Pcnp 7278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-qs 6535  df-ni 7291  df-nqqs 7335  df-inp 7453
This theorem is referenced by:  ltpopr  7582  addcanprleml  7601  addcanprlemu  7602  suplocexprlemdisj  7707  suplocexprlemub  7710
  Copyright terms: Public domain W3C validator