Theorem prdisj 7454

Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prdisj	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem prdisj

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2233	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ Q ↔ 𝐴 ∈ Q))
2	1	anbi2d 461	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) ↔ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q)))
3		eleq1 2233	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
4		eleq1 2233	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝑈 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
5	3, 4	anbi12d 470	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)))
6	5	notbid 662	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)))
7	2, 6	imbi12d 233	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈))))
8		elinp 7436	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))))
9		simpr2 999	. . . . 5 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
10	8, 9	sylbi 120	. . . 4 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
11	10	r19.21bi 2558	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
12	7, 11	vtoclg 2790	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)))
13	12	anabsi7 576	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   ⊆ wss 3121  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  Qcnq 7242   <_Q cltq 7247  Pcnp 7253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-qs 6519  df-ni 7266  df-nqqs 7310  df-inp 7428

This theorem is referenced by:  ltpopr  7557  addcanprleml  7576  addcanprlemu  7577  suplocexprlemdisj  7682  suplocexprlemub  7685