Theorem prdisj 7823

Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prdisj	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem prdisj

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2297	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ Q ↔ 𝐴 ∈ Q))
2	1	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) ↔ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q)))
3		eleq1 2297	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
4		eleq1 2297	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝑈 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
5	3, 4	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)))
6	5	notbid 673	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)))
7	2, 6	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈))))
8		elinp 7805	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))))
9		simpr2 1031	. . . . 5 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
10	8, 9	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
11	10	r19.21bi 2632	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))
12	7, 11	vtoclg 2877	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈)))
13	12	anabsi7 583	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ⊆ wss 3214  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114  Qcnq 7611   <_Q cltq 7616  Pcnp 7622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-qs 6786  df-ni 7635  df-nqqs 7679  df-inp 7797

This theorem is referenced by:  ltpopr  7926  addcanprleml  7945  addcanprlemu  7946  suplocexprlemdisj  8051  suplocexprlemub  8054