ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prdisj GIF version

Theorem prdisj 7242
Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prdisj ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈))

Proof of Theorem prdisj
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2175 . . . . 5 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞Q𝐴Q))
21anbi2d 457 . . . 4 (𝑞 = 𝐴 → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑞Q) ↔ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q)))
3 eleq1 2175 . . . . . 6 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞𝐿𝐴𝐿))
4 eleq1 2175 . . . . . 6 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞𝑈𝐴𝑈))
53, 4anbi12d 462 . . . . 5 (𝑞 = 𝐴 → ((𝑞𝐿𝑞𝑈) ↔ (𝐴𝐿𝐴𝑈)))
65notbid 639 . . . 4 (𝑞 = 𝐴 → (¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ↔ ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈)))
72, 6imbi12d 233 . . 3 (𝑞 = 𝐴 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑞Q) → ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈))))
8 elinp 7224 . . . . 5 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
9 simpr2 969 . . . . 5 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))) → ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
108, 9sylbi 120 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
1110r19.21bi 2492 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑞Q) → ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
127, 11vtoclg 2715 . 2 (𝐴Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈)))
1312anabsi7 553 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 680  w3a 943   = wceq 1312  wcel 1461  wral 2388  wrex 2389  wss 3035  cop 3494   class class class wbr 3893  Qcnq 7030   <Q cltq 7035  Pcnp 7041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-iinf 4460
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-qs 6387  df-ni 7054  df-nqqs 7098  df-inp 7216
This theorem is referenced by:  ltpopr  7345  addcanprleml  7364  addcanprlemu  7365
  Copyright terms: Public domain W3C validator