Theorem prloc 7606

Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prloc	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A e. L \/ B e. U ) )

Proof of Theorem prloc

Dummy variables q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinp 7589	. . . 4 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) )
2		simpr3 1008	. . . 4 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
3	1, 2	sylbi 121	. . 3 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
5		simpr 110	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> A <Q B )
6		ltrelnq 7480	. . . . . . 7 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
7	6	brel 4728	. . . . . 6 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
8	7	simpld 112	. . . . 5 |- ( A <Q B -> A e. Q. )
9	8	adantl 277	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> A e. Q. )
10		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> q = A )
11	10	breq1d 4055	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( q <Q r <-> A <Q r ) )
12	10	eleq1d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( q e. L <-> A e. L ) )
13	12	orbi1d 793	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( ( q e. L \/ r e. U ) <-> ( A e. L \/ r e. U ) ) )
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
15	14	ralbidv 2506	. . . 4 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> A. r e. Q. ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
16	9, 15	rspcdv 2880	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) -> A. r e. Q. ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
17	7	simprd 114	. . . . 5 |- ( A <Q B -> B e. Q. )
18	17	adantl 277	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> B e. Q. )
19		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> r = B )
20	19	breq2d 4057	. . . . 5 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( A <Q r <-> A <Q B ) )
21	19	eleq1d 2274	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( r e. U <-> B e. U ) )
22	21	orbi2d 792	. . . . 5 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( ( A e. L \/ r e. U ) <-> ( A e. L \/ B e. U ) ) )
23	20, 22	imbi12d 234	. . . 4 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) <-> ( A <Q B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
24	18, 23	rspcdv 2880	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A. r e. Q. ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) -> ( A <Q B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
25	16, 24	syld 45	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) -> ( A <Q B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
26	4, 5, 25	mp2d 47	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A e. L \/ B e. U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   C_ wss 3166   <.cop 3636   class class class wbr 4045   Q.cnq 7395   <Q cltq 7400   P.cnp 7406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-qs 6628  df-ni 7419  df-nqqs 7463  df-ltnqqs 7468  df-inp 7581

This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7611  addnqprlemfl  7674  addnqprlemfu  7675  mullocprlem  7685  mulnqprlemfl  7690  mulnqprlemfu  7691  ltsopr  7711  ltexprlemloc  7722  addcanprleml  7729  addcanprlemu  7730  recexprlemloc  7746  cauappcvgprlemladdru  7771  cauappcvgprlemladdrl  7772  caucvgprlemladdrl  7793