ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prloc Unicode version

Theorem prloc 7263
Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prloc  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  ( A  e.  L  \/  B  e.  U ) )

Proof of Theorem prloc
Dummy variables  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinp 7246 . . . 4  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) ) )
2 simpr3 972 . . . 4  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U )
)  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  r  e.  L ) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  A. r  e. 
Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
31, 2sylbi 120 . . 3  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  ->  (
q  e.  L  \/  r  e.  U )
) )
43adantr 272 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  A. q  e.  Q.  A. r  e. 
Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
5 simpr 109 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  A  <Q  B )
6 ltrelnq 7137 . . . . . . 7  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
76brel 4559 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
87simpld 111 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  B  ->  A  e. 
Q. )
98adantl 273 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  A  e.  Q. )
10 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  q  =  A )
1110breq1d 3907 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  (
q  <Q  r  <->  A  <Q  r ) )
1210eleq1d 2184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  (
q  e.  L  <->  A  e.  L ) )
1312orbi1d 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  (
( q  e.  L  \/  r  e.  U
)  <->  ( A  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
1411, 13imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  (
( q  <Q  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) )  <->  ( A  <Q  r  ->  ( A  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )
1514ralbidv 2412 . . . 4  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  ( A. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) )  <->  A. r  e.  Q.  ( A  <Q  r  ->  ( A  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )
169, 15rspcdv 2764 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  ( A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) )  ->  A. r  e.  Q.  ( A  <Q  r  -> 
( A  e.  L  \/  r  e.  U
) ) ) )
177simprd 113 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  B  ->  B  e. 
Q. )
1817adantl 273 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  B  e.  Q. )
19 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  =  B )  ->  r  =  B )
2019breq2d 3909 . . . . 5  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  =  B )  ->  ( A  <Q  r  <->  A  <Q  B ) )
2119eleq1d 2184 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  =  B )  ->  (
r  e.  U  <->  B  e.  U ) )
2221orbi2d 762 . . . . 5  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  =  B )  ->  (
( A  e.  L  \/  r  e.  U
)  <->  ( A  e.  L  \/  B  e.  U ) ) )
2320, 22imbi12d 233 . . . 4  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  =  B )  ->  (
( A  <Q  r  ->  ( A  e.  L  \/  r  e.  U
) )  <->  ( A  <Q  B  ->  ( A  e.  L  \/  B  e.  U ) ) ) )
2418, 23rspcdv 2764 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  ( A. r  e.  Q.  ( A  <Q  r  ->  ( A  e.  L  \/  r  e.  U )
)  ->  ( A  <Q  B  ->  ( A  e.  L  \/  B  e.  U ) ) ) )
2516, 24syld 45 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  ( A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) )  -> 
( A  <Q  B  -> 
( A  e.  L  \/  B  e.  U
) ) ) )
264, 5, 25mp2d 47 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  ( A  e.  L  \/  B  e.  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392    C_ wss 3039   <.cop 3498   class class class wbr 3897   Q.cnq 7052    <Q cltq 7057   P.cnp 7063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-qs 6401  df-ni 7076  df-nqqs 7120  df-ltnqqs 7125  df-inp 7238
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7268  addnqprlemfl  7331  addnqprlemfu  7332  mullocprlem  7342  mulnqprlemfl  7347  mulnqprlemfu  7348  ltsopr  7368  ltexprlemloc  7379  addcanprleml  7386  addcanprlemu  7387  recexprlemloc  7403  cauappcvgprlemladdru  7428  cauappcvgprlemladdrl  7429  caucvgprlemladdrl  7450
  Copyright terms: Public domain W3C validator