Theorem prloc 7639

Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prloc	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A e. L \/ B e. U ) )

Proof of Theorem prloc

Dummy variables q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinp 7622	. . . 4 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) )
2		simpr3 1008	. . . 4 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
3	1, 2	sylbi 121	. . 3 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
5		simpr 110	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> A <Q B )
6		ltrelnq 7513	. . . . . . 7 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
7	6	brel 4745	. . . . . 6 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
8	7	simpld 112	. . . . 5 |- ( A <Q B -> A e. Q. )
9	8	adantl 277	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> A e. Q. )
10		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> q = A )
11	10	breq1d 4069	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( q <Q r <-> A <Q r ) )
12	10	eleq1d 2276	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( q e. L <-> A e. L ) )
13	12	orbi1d 793	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( ( q e. L \/ r e. U ) <-> ( A e. L \/ r e. U ) ) )
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
15	14	ralbidv 2508	. . . 4 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> A. r e. Q. ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
16	9, 15	rspcdv 2887	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) -> A. r e. Q. ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
17	7	simprd 114	. . . . 5 |- ( A <Q B -> B e. Q. )
18	17	adantl 277	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> B e. Q. )
19		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> r = B )
20	19	breq2d 4071	. . . . 5 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( A <Q r <-> A <Q B ) )
21	19	eleq1d 2276	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( r e. U <-> B e. U ) )
22	21	orbi2d 792	. . . . 5 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( ( A e. L \/ r e. U ) <-> ( A e. L \/ B e. U ) ) )
23	20, 22	imbi12d 234	. . . 4 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) <-> ( A <Q B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
24	18, 23	rspcdv 2887	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A. r e. Q. ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) -> ( A <Q B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
25	16, 24	syld 45	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) -> ( A <Q B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
26	4, 5, 25	mp2d 47	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A e. L \/ B e. U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   C_ wss 3174   <.cop 3646   class class class wbr 4059   Q.cnq 7428   <Q cltq 7433   P.cnp 7439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-qs 6649  df-ni 7452  df-nqqs 7496  df-ltnqqs 7501  df-inp 7614

This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7644  addnqprlemfl  7707  addnqprlemfu  7708  mullocprlem  7718  mulnqprlemfl  7723  mulnqprlemfu  7724  ltsopr  7744  ltexprlemloc  7755  addcanprleml  7762  addcanprlemu  7763  recexprlemloc  7779  cauappcvgprlemladdru  7804  cauappcvgprlemladdrl  7805  caucvgprlemladdrl  7826