Theorem prloc 7808

Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prloc	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A e. L \/ B e. U ) )

Proof of Theorem prloc

Dummy variables q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinp 7791	. . . 4 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) )
2		simpr3 1032	. . . 4 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
3	1, 2	sylbi 121	. . 3 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
5		simpr 110	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> A <Q B )
6		ltrelnq 7682	. . . . . . 7 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
7	6	brel 4804	. . . . . 6 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
8	7	simpld 112	. . . . 5 |- ( A <Q B -> A e. Q. )
9	8	adantl 277	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> A e. Q. )
10		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> q = A )
11	10	breq1d 4121	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( q <Q r <-> A <Q r ) )
12	10	eleq1d 2303	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( q e. L <-> A e. L ) )
13	12	orbi1d 799	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( ( q e. L \/ r e. U ) <-> ( A e. L \/ r e. U ) ) )
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
15	14	ralbidv 2544	. . . 4 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> A. r e. Q. ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
16	9, 15	rspcdv 2926	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) -> A. r e. Q. ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
17	7	simprd 114	. . . . 5 |- ( A <Q B -> B e. Q. )
18	17	adantl 277	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> B e. Q. )
19		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> r = B )
20	19	breq2d 4123	. . . . 5 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( A <Q r <-> A <Q B ) )
21	19	eleq1d 2303	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( r e. U <-> B e. U ) )
22	21	orbi2d 798	. . . . 5 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( ( A e. L \/ r e. U ) <-> ( A e. L \/ B e. U ) ) )
23	20, 22	imbi12d 234	. . . 4 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) <-> ( A <Q B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
24	18, 23	rspcdv 2926	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A. r e. Q. ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) -> ( A <Q B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
25	16, 24	syld 45	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) -> ( A <Q B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
26	4, 5, 25	mp2d 47	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A e. L \/ B e. U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3213   <.cop 3694   class class class wbr 4111   Q.cnq 7597   <Q cltq 7602   P.cnp 7608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-qs 6775  df-ni 7621  df-nqqs 7665  df-ltnqqs 7670  df-inp 7783

This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7813  addnqprlemfl  7876  addnqprlemfu  7877  mullocprlem  7887  mulnqprlemfl  7892  mulnqprlemfu  7893  ltsopr  7913  ltexprlemloc  7924  addcanprleml  7931  addcanprlemu  7932  recexprlemloc  7948  cauappcvgprlemladdru  7973  cauappcvgprlemladdrl  7974  caucvgprlemladdrl  7995