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Theorem prloc 7492
Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prloc  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  ( A  e.  L  \/  B  e.  U ) )

Proof of Theorem prloc
Dummy variables  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinp 7475 . . . 4  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  L
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) ) )
2 simpr3 1005 . . . 4  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  L  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  U )
)  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  L  <->  E. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  /\  r  e.  L ) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  U  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  U ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  L  /\  q  e.  U )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  A. r  e. 
Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
31, 2sylbi 121 . . 3  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  (
q  <Q  r  ->  (
q  e.  L  \/  r  e.  U )
) )
43adantr 276 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  A. q  e.  Q.  A. r  e. 
Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
5 simpr 110 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  A  <Q  B )
6 ltrelnq 7366 . . . . . . 7  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
76brel 4680 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
87simpld 112 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  B  ->  A  e. 
Q. )
98adantl 277 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  A  e.  Q. )
10 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  q  =  A )
1110breq1d 4015 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  (
q  <Q  r  <->  A  <Q  r ) )
1210eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  (
q  e.  L  <->  A  e.  L ) )
1312orbi1d 791 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  (
( q  e.  L  \/  r  e.  U
)  <->  ( A  e.  L  \/  r  e.  U ) ) )
1411, 13imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  (
( q  <Q  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) )  <->  ( A  <Q  r  ->  ( A  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )
1514ralbidv 2477 . . . 4  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  q  =  A )  ->  ( A. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U
) )  <->  A. r  e.  Q.  ( A  <Q  r  ->  ( A  e.  L  \/  r  e.  U ) ) ) )
169, 15rspcdv 2846 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  ( A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) )  ->  A. r  e.  Q.  ( A  <Q  r  -> 
( A  e.  L  \/  r  e.  U
) ) ) )
177simprd 114 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  B  ->  B  e. 
Q. )
1817adantl 277 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  B  e.  Q. )
19 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  =  B )  ->  r  =  B )
2019breq2d 4017 . . . . 5  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  =  B )  ->  ( A  <Q  r  <->  A  <Q  B ) )
2119eleq1d 2246 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  =  B )  ->  (
r  e.  U  <->  B  e.  U ) )
2221orbi2d 790 . . . . 5  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  =  B )  ->  (
( A  e.  L  \/  r  e.  U
)  <->  ( A  e.  L  \/  B  e.  U ) ) )
2320, 22imbi12d 234 . . . 4  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  <Q  B )  /\  r  =  B )  ->  (
( A  <Q  r  ->  ( A  e.  L  \/  r  e.  U
) )  <->  ( A  <Q  B  ->  ( A  e.  L  \/  B  e.  U ) ) ) )
2418, 23rspcdv 2846 . . 3  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  ( A. r  e.  Q.  ( A  <Q  r  ->  ( A  e.  L  \/  r  e.  U )
)  ->  ( A  <Q  B  ->  ( A  e.  L  \/  B  e.  U ) ) ) )
2516, 24syld 45 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  ( A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  L  \/  r  e.  U ) )  -> 
( A  <Q  B  -> 
( A  e.  L  \/  B  e.  U
) ) ) )
264, 5, 25mp2d 47 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  <Q  B )  ->  ( A  e.  L  \/  B  e.  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3131   <.cop 3597   class class class wbr 4005   Q.cnq 7281    <Q cltq 7286   P.cnp 7292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-qs 6543  df-ni 7305  df-nqqs 7349  df-ltnqqs 7354  df-inp 7467
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7497  addnqprlemfl  7560  addnqprlemfu  7561  mullocprlem  7571  mulnqprlemfl  7576  mulnqprlemfu  7577  ltsopr  7597  ltexprlemloc  7608  addcanprleml  7615  addcanprlemu  7616  recexprlemloc  7632  cauappcvgprlemladdru  7657  cauappcvgprlemladdrl  7658  caucvgprlemladdrl  7679
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