Theorem prloc 7678

Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prloc	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A e. L \/ B e. U ) )

Proof of Theorem prloc

Dummy variables q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinp 7661	. . . 4 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) )
2		simpr3 1029	. . . 4 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
3	1, 2	sylbi 121	. . 3 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
5		simpr 110	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> A <Q B )
6		ltrelnq 7552	. . . . . . 7 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
7	6	brel 4771	. . . . . 6 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
8	7	simpld 112	. . . . 5 |- ( A <Q B -> A e. Q. )
9	8	adantl 277	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> A e. Q. )
10		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> q = A )
11	10	breq1d 4093	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( q <Q r <-> A <Q r ) )
12	10	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( q e. L <-> A e. L ) )
13	12	orbi1d 796	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( ( q e. L \/ r e. U ) <-> ( A e. L \/ r e. U ) ) )
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
15	14	ralbidv 2530	. . . 4 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> A. r e. Q. ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
16	9, 15	rspcdv 2910	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) -> A. r e. Q. ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
17	7	simprd 114	. . . . 5 |- ( A <Q B -> B e. Q. )
18	17	adantl 277	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> B e. Q. )
19		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> r = B )
20	19	breq2d 4095	. . . . 5 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( A <Q r <-> A <Q B ) )
21	19	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( r e. U <-> B e. U ) )
22	21	orbi2d 795	. . . . 5 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( ( A e. L \/ r e. U ) <-> ( A e. L \/ B e. U ) ) )
23	20, 22	imbi12d 234	. . . 4 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) <-> ( A <Q B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
24	18, 23	rspcdv 2910	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A. r e. Q. ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) -> ( A <Q B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
25	16, 24	syld 45	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) -> ( A <Q B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
26	4, 5, 25	mp2d 47	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A e. L \/ B e. U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   <.cop 3669   class class class wbr 4083   Q.cnq 7467   <Q cltq 7472   P.cnp 7478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-qs 6686  df-ni 7491  df-nqqs 7535  df-ltnqqs 7540  df-inp 7653

This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7683  addnqprlemfl  7746  addnqprlemfu  7747  mullocprlem  7757  mulnqprlemfl  7762  mulnqprlemfu  7763  ltsopr  7783  ltexprlemloc  7794  addcanprleml  7801  addcanprlemu  7802  recexprlemloc  7818  cauappcvgprlemladdru  7843  cauappcvgprlemladdrl  7844  caucvgprlemladdrl  7865