Theorem prloc 7489

Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prloc	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A e. L \/ B e. U ) )

Proof of Theorem prloc

Dummy variables q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinp 7472	. . . 4 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) )
2		simpr3 1005	. . . 4 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. L /\ E. r e. Q. r e. U ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. L <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. L ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. U <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. U ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. L /\ q e. U ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) ) ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
3	1, 2	sylbi 121	. . 3 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) )
5		simpr 110	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> A <Q B )
6		ltrelnq 7363	. . . . . . 7 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
7	6	brel 4678	. . . . . 6 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
8	7	simpld 112	. . . . 5 |- ( A <Q B -> A e. Q. )
9	8	adantl 277	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> A e. Q. )
10		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> q = A )
11	10	breq1d 4013	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( q <Q r <-> A <Q r ) )
12	10	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( q e. L <-> A e. L ) )
13	12	orbi1d 791	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( ( q e. L \/ r e. U ) <-> ( A e. L \/ r e. U ) ) )
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
15	14	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ q = A ) -> ( A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) <-> A. r e. Q. ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
16	9, 15	rspcdv 2844	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) -> A. r e. Q. ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) ) )
17	7	simprd 114	. . . . 5 |- ( A <Q B -> B e. Q. )
18	17	adantl 277	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> B e. Q. )
19		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> r = B )
20	19	breq2d 4015	. . . . 5 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( A <Q r <-> A <Q B ) )
21	19	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( r e. U <-> B e. U ) )
22	21	orbi2d 790	. . . . 5 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( ( A e. L \/ r e. U ) <-> ( A e. L \/ B e. U ) ) )
23	20, 22	imbi12d 234	. . . 4 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) /\ r = B ) -> ( ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) <-> ( A <Q B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
24	18, 23	rspcdv 2844	. . 3 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A. r e. Q. ( A <Q r -> ( A e. L \/ r e. U ) ) -> ( A <Q B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
25	16, 24	syld 45	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. L \/ r e. U ) ) -> ( A <Q B -> ( A e. L \/ B e. U ) ) ) )
26	4, 5, 25	mp2d 47	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A <Q B ) -> ( A e. L \/ B e. U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3129   <.cop 3595   class class class wbr 4003   Q.cnq 7278   <Q cltq 7283   P.cnp 7289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-qs 6540  df-ni 7302  df-nqqs 7346  df-ltnqqs 7351  df-inp 7464

This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7494  addnqprlemfl  7557  addnqprlemfu  7558  mullocprlem  7568  mulnqprlemfl  7573  mulnqprlemfu  7574  ltsopr  7594  ltexprlemloc  7605  addcanprleml  7612  addcanprlemu  7613  recexprlemloc  7629  cauappcvgprlemladdru  7654  cauappcvgprlemladdrl  7655  caucvgprlemladdrl  7676