Theorem prod1dc 11487

Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
prod1dc	|- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) \/ A e. Fin ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )

Distinct variable groups:   A, j, k   j, M, k

Proof of Theorem prod1dc

Dummy variables a f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2157	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		simp1 982	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> M e. ZZ )
3		1ap0 8466	. . . 4 |- 1 # 0
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> 1 # 0 )
5	1	prodfclim1 11445	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ) ~~> 1 )
6	2, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> seq M ( x. , ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ) ~~> 1 )
7		simp3 984	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
8		eleq1w 2218	. . . . . 6 |- ( j = a -> ( j e. A <-> a e. A ) )
9	8	dcbid 824	. . . . 5 |- ( j = a -> (DECID j e. A <-> DECID a e. A ) )
10	9	cbvralv 2680	. . . 4 |- ( A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A <-> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
11	7, 10	sylib 121	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
12		simp2 983	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
13		1ex 7874	. . . . . 6 |- 1 e. _V
14	13	fvconst2 5684	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
15	14	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
16		eleq1w 2218	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( a e. A <-> k e. A ) )
17	16	dcbid 824	. . . . . 6 |- ( a = k -> (DECID a e. A <-> DECID k e. A ) )
18	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
19		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
20	17, 18, 19	rspcdva 2821	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
21		ifiddc 3538	. . . . 5 |- (DECID k e. A -> if ( k e. A , 1 , 1 ) = 1 )
22	20, 21	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , 1 , 1 ) = 1 )
23	15, 22	eqtr4d 2193	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ` k ) = if ( k e. A , 1 , 1 ) )
24		1cnd 7895	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. A ) -> 1 e. CC )
25	1, 2, 4, 6, 11, 12, 23, 24	zprodap0 11482	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
26		fz1f1o 11276	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
27		prodeq1 11454	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A 1 = prod_ k e. (/) 1 )
28		prod0 11486	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) 1 = 1
29	27, 28	eqtrdi 2206	. . . 4 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
30		eqidd 2158	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( f ` j ) -> 1 = 1 )
31		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` A ) e. NN )
32		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
33		1cnd 7895	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ k e. A ) -> 1 e. CC )
34		elfznn 9957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> j e. NN )
35	13	fvconst2 5684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
37	36	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ j e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
38	30, 31, 32, 33, 37	fprodseq 11484	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
39		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> j <_ (♯ ` A ) )
40	39	iftrued 3512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) )
41	35	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
42	40, 41	eqtrd 2190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = 1 )
43		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ -. j <_ (♯ ` A ) ) -> -. j <_ (♯ ` A ) )
44	43	iffalsed 3515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ -. j <_ (♯ ` A ) ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = 1 )
45		nnz 9187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
46		nnz 9187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> (♯ ` A ) e. ZZ )
47		zdcle 9241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID j <_ (♯ ` A ) )
48	45, 46, 47	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) -> DECID j <_ (♯ ` A ) )
49		exmiddc 822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (DECID j <_ (♯ ` A ) -> ( j <_ (♯ ` A ) \/ -. j <_ (♯ ` A ) ) )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) -> ( j <_ (♯ ` A ) \/ -. j <_ (♯ ` A ) ) )
51	42, 44, 50	mpjaodan 788	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = 1 )
52	51	mpteq2dva 4055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) = ( j e. NN |-> 1 ) )
53		fconstmpt 4634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN X. { 1 } ) = ( j e. NN |-> 1 )
54	52, 53	eqtr4di 2208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) = ( NN X. { 1 } ) )
55	54	seqeq3d 10356	. . . . . . . . . . 11 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) )
56	55	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) )
57	56	fveq1d 5471	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) )
58	38, 57	eqtrd 2190	. . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) )
59		nnuz 9475	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
60	59	prodf1 11443	. . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) = 1 )
61	60	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) = 1 )
62	58, 61	eqtrd 2190	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
63	62	ex 114	. . . . . 6 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A 1 = 1 ) )
64	63	exlimdv 1799	. . . . 5 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A 1 = 1 ) )
65	64	imp 123	. . . 4 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
66	29, 65	jaoi 706	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
67	26, 66	syl 14	. 2 |- ( A e. Fin -> prod_ k e. A 1 = 1 )
68	25, 67	jaoi 706	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) \/ A e. Fin ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   /\ w3a 963   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   A.wral 2435   C_ wss 3102   (/)c0 3394   ifcif 3505   {csn 3560   class class class wbr 3966   |-> cmpt 4026   X. cxp 4585   -1-1-onto->wf1o 5170   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   Fincfn 6686   0cc0 7733   1c1 7734   x. cmul 7738   <_ cle 7914   # cap 8457   NNcn 8834   ZZcz 9168   ZZ>=cuz 9440   ...cfz 9913   seqcseq 10348  ♯chash 10653   ~~> cli 11179   prod_cprod 11451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-ihash 10654  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-proddc 11452

This theorem is referenced by: (None)