ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prod1dc Unicode version

Theorem prod1dc 11549
Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
prod1dc  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  \/  A  e.  Fin )  ->  prod_ k  e.  A 
1  =  1 )
Distinct variable groups:    A, j, k   
j, M, k

Proof of Theorem prod1dc
Dummy variables  a  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2170 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 simp1 992 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
3 1ap0 8509 . . . 4  |-  1 #  0
43a1i 9 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  ->  1 #  0 )
51prodfclim1 11507 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  x.  , 
( ( ZZ>= `  M
)  X.  { 1 } ) )  ~~>  1 )
62, 5syl 14 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  ->  seq M (  x.  , 
( ( ZZ>= `  M
)  X.  { 1 } ) )  ~~>  1 )
7 simp3 994 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
8 eleq1w 2231 . . . . . 6  |-  ( j  =  a  ->  (
j  e.  A  <->  a  e.  A ) )
98dcbid 833 . . . . 5  |-  ( j  =  a  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  a  e.  A )
)
109cbvralv 2696 . . . 4  |-  ( A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A  <->  A. a  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  a  e.  A )
117, 10sylib 121 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  ->  A. a  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  a  e.  A )
12 simp2 993 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M )
)
13 1ex 7915 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
1413fvconst2 5712 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ZZ>= `  M )  X.  { 1 } ) `
 k )  =  1 )
1514adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  M )  X. 
{ 1 } ) `
 k )  =  1 )
16 eleq1w 2231 . . . . . . 7  |-  ( a  =  k  ->  (
a  e.  A  <->  k  e.  A ) )
1716dcbid 833 . . . . . 6  |-  ( a  =  k  ->  (DECID  a  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
1811adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  A. a  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  a  e.  A )
19 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
2017, 18, 19rspcdva 2839 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )  -> DECID 
k  e.  A )
21 ifiddc 3559 . . . . 5  |-  (DECID  k  e.  A  ->  if (
k  e.  A , 
1 ,  1 )  =  1 )
2220, 21syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  if ( k  e.  A ,  1 ,  1 )  =  1 )
2315, 22eqtr4d 2206 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  M )  X. 
{ 1 } ) `
 k )  =  if ( k  e.  A ,  1 ,  1 ) )
24 1cnd 7936 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  /\  k  e.  A
)  ->  1  e.  CC )
251, 2, 4, 6, 11, 12, 23, 24zprodap0 11544 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  ->  prod_ k  e.  A  1  =  1 )
26 fz1f1o 11338 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( `  A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
27 prodeq1 11516 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  1  =  prod_ k  e.  (/)  1 )
28 prod0 11548 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  1  =  1
2927, 28eqtrdi 2219 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  1  = 
1 )
30 eqidd 2171 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( f `  j )  ->  1  =  1 )
31 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( `  A )  e.  NN )
32 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )
33 1cnd 7936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A )  /\  k  e.  A )  ->  1  e.  CC )
34 elfznn 10010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  j  e.  NN )
3513fvconst2 5712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( NN  X.  {
1 } ) `  j )  =  1 )
3634, 35syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  ( ( NN  X.  { 1 } ) `  j )  =  1 )
3736adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A )  /\  j  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( NN 
X.  { 1 } ) `  j )  =  1 )
3830, 31, 32, 33, 37fprodseq 11546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A 
1  =  (  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
39 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  j  <_  ( `  A
) )  ->  j  <_  ( `  A )
)
4039iftrued 3533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  j  <_  ( `  A
) )  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 )  =  ( ( NN  X.  { 1 } ) `  j
) )
4135ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  j  <_  ( `  A
) )  ->  (
( NN  X.  {
1 } ) `  j )  =  1 )
4240, 41eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  j  <_  ( `  A
) )  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 )  =  1 )
43 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  -.  j  <_  ( `  A ) )  ->  -.  j  <_  ( `  A
) )
4443iffalsed 3536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  -.  j  <_  ( `  A ) )  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 )  =  1 )
45 nnz 9231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
46 nnz 9231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `  A )  e.  NN  ->  ( `  A )  e.  ZZ )
47 zdcle 9288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  -> DECID  j  <_  ( `  A
) )
4845, 46, 47syl2anr 288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  j  e.  NN )  -> DECID  j  <_  ( `  A
) )
49 exmiddc 831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (DECID  j  <_ 
( `  A )  -> 
( j  <_  ( `  A )  \/  -.  j  <_  ( `  A )
) )
5048, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (
j  <_  ( `  A
)  \/  -.  j  <_  ( `  A )
) )
5142, 44, 50mpjaodan 793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 )  =  1 )
5251mpteq2dva 4079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `  A )  e.  NN  ->  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  1 ) )
53 fconstmpt 4658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN 
X.  { 1 } )  =  ( j  e.  NN  |->  1 )
5452, 53eqtr4di 2221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `  A )  e.  NN  ->  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 ) )  =  ( NN  X.  { 1 } ) )
5554seqeq3d 10409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `  A )  e.  NN  ->  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN 
X.  { 1 } ) `  j ) ,  1 ) ) )  =  seq 1
(  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) ) )
5655adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN 
X.  { 1 } ) `  j ) ,  1 ) ) )  =  seq 1
(  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) ) )
5756fveq1d 5498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 ) ) ) `  ( `  A ) )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) ) `  ( `  A ) ) )
5838, 57eqtrd 2203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A 
1  =  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  {
1 } ) ) `
 ( `  A
) ) )
59 nnuz 9522 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6059prodf1 11505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `  A )  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { 1 } ) ) `  ( `  A ) )  =  1 )
6160adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) ) `  ( `  A ) )  =  1 )
6258, 61eqtrd 2203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A 
1  =  1 )
6362ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( `  A )  e.  NN  ->  ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  1  =  1 ) )
6463exlimdv 1812 . . . . 5  |-  ( ( `  A )  e.  NN  ->  ( E. f  f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A 
1  =  1 ) )
6564imp 123 . . . 4  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A  1  =  1 )
6629, 65jaoi 711 . . 3  |-  ( ( A  =  (/)  \/  (
( `  A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ k  e.  A  1  =  1 )
6726, 66syl 14 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  prod_ k  e.  A  1  =  1 )
6825, 67jaoi 711 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  \/  A  e.  Fin )  ->  prod_ k  e.  A 
1  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703  DECID wdc 829    /\ w3a 973    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   A.wral 2448    C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3526   {csn 3583   class class class wbr 3989    |-> cmpt 4050    X. cxp 4609   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   0cc0 7774   1c1 7775    x. cmul 7779    <_ cle 7955   # cap 8500   NNcn 8878   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965    seqcseq 10401  ♯chash 10709    ~~> cli 11241   prod_cprod 11513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator