Theorem prod1dc 12097

Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
prod1dc	|- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) \/ A e. Fin ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )

Distinct variable groups:   A, j, k   j, M, k

Proof of Theorem prod1dc

Dummy variables a f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		simp1 1021	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> M e. ZZ )
3		1ap0 8737	. . . 4 |- 1 # 0
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> 1 # 0 )
5	1	prodfclim1 12055	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ) ~~> 1 )
6	2, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> seq M ( x. , ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ) ~~> 1 )
7		simp3 1023	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
8		eleq1w 2290	. . . . . 6 |- ( j = a -> ( j e. A <-> a e. A ) )
9	8	dcbid 843	. . . . 5 |- ( j = a -> (DECID j e. A <-> DECID a e. A ) )
10	9	cbvralv 2765	. . . 4 |- ( A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A <-> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
11	7, 10	sylib 122	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
12		simp2 1022	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
13		1ex 8141	. . . . . 6 |- 1 e. _V
14	13	fvconst2 5855	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
15	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
16		eleq1w 2290	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( a e. A <-> k e. A ) )
17	16	dcbid 843	. . . . . 6 |- ( a = k -> (DECID a e. A <-> DECID k e. A ) )
18	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
19		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
20	17, 18, 19	rspcdva 2912	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
21		ifiddc 3638	. . . . 5 |- (DECID k e. A -> if ( k e. A , 1 , 1 ) = 1 )
22	20, 21	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , 1 , 1 ) = 1 )
23	15, 22	eqtr4d 2265	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ` k ) = if ( k e. A , 1 , 1 ) )
24		1cnd 8162	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. A ) -> 1 e. CC )
25	1, 2, 4, 6, 11, 12, 23, 24	zprodap0 12092	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
26		fz1f1o 11886	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
27		prodeq1 12064	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A 1 = prod_ k e. (/) 1 )
28		prod0 12096	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) 1 = 1
29	27, 28	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
30		eqidd 2230	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( f ` j ) -> 1 = 1 )
31		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` A ) e. NN )
32		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
33		1cnd 8162	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ k e. A ) -> 1 e. CC )
34		elfznn 10250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> j e. NN )
35	13	fvconst2 5855	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ j e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
38	30, 31, 32, 33, 37	fprodseq 12094	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> j <_ (♯ ` A ) )
40	39	iftrued 3609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) )
41	35	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
42	40, 41	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = 1 )
43		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ -. j <_ (♯ ` A ) ) -> -. j <_ (♯ ` A ) )
44	43	iffalsed 3612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ -. j <_ (♯ ` A ) ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = 1 )
45		nnz 9465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
46		nnz 9465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> (♯ ` A ) e. ZZ )
47		zdcle 9523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID j <_ (♯ ` A ) )
48	45, 46, 47	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) -> DECID j <_ (♯ ` A ) )
49		exmiddc 841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (DECID j <_ (♯ ` A ) -> ( j <_ (♯ ` A ) \/ -. j <_ (♯ ` A ) ) )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) -> ( j <_ (♯ ` A ) \/ -. j <_ (♯ ` A ) ) )
51	42, 44, 50	mpjaodan 803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = 1 )
52	51	mpteq2dva 4174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) = ( j e. NN |-> 1 ) )
53		fconstmpt 4766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN X. { 1 } ) = ( j e. NN |-> 1 )
54	52, 53	eqtr4di 2280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) = ( NN X. { 1 } ) )
55	54	seqeq3d 10677	. . . . . . . . . . 11 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) )
57	56	fveq1d 5629	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) )
58	38, 57	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) )
59		nnuz 9758	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
60	59	prodf1 12053	. . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) = 1 )
61	60	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) = 1 )
62	58, 61	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
63	62	ex 115	. . . . . 6 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A 1 = 1 ) )
64	63	exlimdv 1865	. . . . 5 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A 1 = 1 ) )
65	64	imp 124	. . . 4 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
66	29, 65	jaoi 721	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
67	26, 66	syl 14	. 2 |- ( A e. Fin -> prod_ k e. A 1 = 1 )
68	25, 67	jaoi 721	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) \/ A e. Fin ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ifcif 3602   {csn 3666   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   X. cxp 4717   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Fincfn 6887   0cc0 7999   1c1 8000   x. cmul 8004   <_ cle 8182   # cap 8728   NNcn 9110   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   ...cfz 10204   seqcseq 10669  ♯chash 10997   ~~> cli 11789   prod_cprod 12061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-proddc 12062

This theorem is referenced by: (None)