Theorem prod1dc 11768

Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
prod1dc	|- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) \/ A e. Fin ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )

Distinct variable groups:   A, j, k   j, M, k

Proof of Theorem prod1dc

Dummy variables a f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		simp1 999	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> M e. ZZ )
3		1ap0 8634	. . . 4 |- 1 # 0
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> 1 # 0 )
5	1	prodfclim1 11726	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ) ~~> 1 )
6	2, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> seq M ( x. , ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ) ~~> 1 )
7		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
8		eleq1w 2257	. . . . . 6 |- ( j = a -> ( j e. A <-> a e. A ) )
9	8	dcbid 839	. . . . 5 |- ( j = a -> (DECID j e. A <-> DECID a e. A ) )
10	9	cbvralv 2729	. . . 4 |- ( A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A <-> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
11	7, 10	sylib 122	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
12		simp2 1000	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
13		1ex 8038	. . . . . 6 |- 1 e. _V
14	13	fvconst2 5781	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
15	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
16		eleq1w 2257	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( a e. A <-> k e. A ) )
17	16	dcbid 839	. . . . . 6 |- ( a = k -> (DECID a e. A <-> DECID k e. A ) )
18	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
19		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
20	17, 18, 19	rspcdva 2873	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
21		ifiddc 3596	. . . . 5 |- (DECID k e. A -> if ( k e. A , 1 , 1 ) = 1 )
22	20, 21	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , 1 , 1 ) = 1 )
23	15, 22	eqtr4d 2232	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ` k ) = if ( k e. A , 1 , 1 ) )
24		1cnd 8059	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. A ) -> 1 e. CC )
25	1, 2, 4, 6, 11, 12, 23, 24	zprodap0 11763	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
26		fz1f1o 11557	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
27		prodeq1 11735	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A 1 = prod_ k e. (/) 1 )
28		prod0 11767	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) 1 = 1
29	27, 28	eqtrdi 2245	. . . 4 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
30		eqidd 2197	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( f ` j ) -> 1 = 1 )
31		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` A ) e. NN )
32		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
33		1cnd 8059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ k e. A ) -> 1 e. CC )
34		elfznn 10146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> j e. NN )
35	13	fvconst2 5781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ j e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
38	30, 31, 32, 33, 37	fprodseq 11765	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> j <_ (♯ ` A ) )
40	39	iftrued 3569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) )
41	35	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
42	40, 41	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = 1 )
43		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ -. j <_ (♯ ` A ) ) -> -. j <_ (♯ ` A ) )
44	43	iffalsed 3572	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ -. j <_ (♯ ` A ) ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = 1 )
45		nnz 9362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
46		nnz 9362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> (♯ ` A ) e. ZZ )
47		zdcle 9419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID j <_ (♯ ` A ) )
48	45, 46, 47	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) -> DECID j <_ (♯ ` A ) )
49		exmiddc 837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (DECID j <_ (♯ ` A ) -> ( j <_ (♯ ` A ) \/ -. j <_ (♯ ` A ) ) )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) -> ( j <_ (♯ ` A ) \/ -. j <_ (♯ ` A ) ) )
51	42, 44, 50	mpjaodan 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = 1 )
52	51	mpteq2dva 4124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) = ( j e. NN |-> 1 ) )
53		fconstmpt 4711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN X. { 1 } ) = ( j e. NN |-> 1 )
54	52, 53	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) = ( NN X. { 1 } ) )
55	54	seqeq3d 10564	. . . . . . . . . . 11 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) )
57	56	fveq1d 5563	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) )
58	38, 57	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) )
59		nnuz 9654	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
60	59	prodf1 11724	. . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) = 1 )
61	60	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) = 1 )
62	58, 61	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
63	62	ex 115	. . . . . 6 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A 1 = 1 ) )
64	63	exlimdv 1833	. . . . 5 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A 1 = 1 ) )
65	64	imp 124	. . . 4 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
66	29, 65	jaoi 717	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
67	26, 66	syl 14	. 2 |- ( A e. Fin -> prod_ k e. A 1 = 1 )
68	25, 67	jaoi 717	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) \/ A e. Fin ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   (/)c0 3451   ifcif 3562   {csn 3623   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   X. cxp 4662   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Fincfn 6808   0cc0 7896   1c1 7897   x. cmul 7901   <_ cle 8079   # cap 8625   NNcn 9007   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100   seqcseq 10556  ♯chash 10884   ~~> cli 11460   prod_cprod 11732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-proddc 11733

This theorem is referenced by: (None)