Theorem prod1dc 11732

Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
prod1dc	|- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) \/ A e. Fin ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )

Distinct variable groups:   A, j, k   j, M, k

Proof of Theorem prod1dc

Dummy variables a f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		simp1 999	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> M e. ZZ )
3		1ap0 8611	. . . 4 |- 1 # 0
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> 1 # 0 )
5	1	prodfclim1 11690	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ) ~~> 1 )
6	2, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> seq M ( x. , ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ) ~~> 1 )
7		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
8		eleq1w 2254	. . . . . 6 |- ( j = a -> ( j e. A <-> a e. A ) )
9	8	dcbid 839	. . . . 5 |- ( j = a -> (DECID j e. A <-> DECID a e. A ) )
10	9	cbvralv 2726	. . . 4 |- ( A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A <-> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
11	7, 10	sylib 122	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
12		simp2 1000	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
13		1ex 8016	. . . . . 6 |- 1 e. _V
14	13	fvconst2 5775	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
15	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
16		eleq1w 2254	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( a e. A <-> k e. A ) )
17	16	dcbid 839	. . . . . 6 |- ( a = k -> (DECID a e. A <-> DECID k e. A ) )
18	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
19		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
20	17, 18, 19	rspcdva 2870	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
21		ifiddc 3592	. . . . 5 |- (DECID k e. A -> if ( k e. A , 1 , 1 ) = 1 )
22	20, 21	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , 1 , 1 ) = 1 )
23	15, 22	eqtr4d 2229	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ` k ) = if ( k e. A , 1 , 1 ) )
24		1cnd 8037	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. A ) -> 1 e. CC )
25	1, 2, 4, 6, 11, 12, 23, 24	zprodap0 11727	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
26		fz1f1o 11521	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
27		prodeq1 11699	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A 1 = prod_ k e. (/) 1 )
28		prod0 11731	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) 1 = 1
29	27, 28	eqtrdi 2242	. . . 4 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
30		eqidd 2194	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( f ` j ) -> 1 = 1 )
31		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` A ) e. NN )
32		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
33		1cnd 8037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ k e. A ) -> 1 e. CC )
34		elfznn 10123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> j e. NN )
35	13	fvconst2 5775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ j e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
38	30, 31, 32, 33, 37	fprodseq 11729	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> j <_ (♯ ` A ) )
40	39	iftrued 3565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) )
41	35	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
42	40, 41	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = 1 )
43		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ -. j <_ (♯ ` A ) ) -> -. j <_ (♯ ` A ) )
44	43	iffalsed 3568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ -. j <_ (♯ ` A ) ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = 1 )
45		nnz 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
46		nnz 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> (♯ ` A ) e. ZZ )
47		zdcle 9396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID j <_ (♯ ` A ) )
48	45, 46, 47	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) -> DECID j <_ (♯ ` A ) )
49		exmiddc 837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (DECID j <_ (♯ ` A ) -> ( j <_ (♯ ` A ) \/ -. j <_ (♯ ` A ) ) )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) -> ( j <_ (♯ ` A ) \/ -. j <_ (♯ ` A ) ) )
51	42, 44, 50	mpjaodan 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = 1 )
52	51	mpteq2dva 4120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) = ( j e. NN |-> 1 ) )
53		fconstmpt 4707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN X. { 1 } ) = ( j e. NN |-> 1 )
54	52, 53	eqtr4di 2244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) = ( NN X. { 1 } ) )
55	54	seqeq3d 10529	. . . . . . . . . . 11 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) )
57	56	fveq1d 5557	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) )
58	38, 57	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) )
59		nnuz 9631	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
60	59	prodf1 11688	. . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) = 1 )
61	60	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) = 1 )
62	58, 61	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
63	62	ex 115	. . . . . 6 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A 1 = 1 ) )
64	63	exlimdv 1830	. . . . 5 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A 1 = 1 ) )
65	64	imp 124	. . . 4 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
66	29, 65	jaoi 717	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
67	26, 66	syl 14	. 2 |- ( A e. Fin -> prod_ k e. A 1 = 1 )
68	25, 67	jaoi 717	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) \/ A e. Fin ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   C_ wss 3154   (/)c0 3447   ifcif 3558   {csn 3619   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   X. cxp 4658   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Fincfn 6796   0cc0 7874   1c1 7875   x. cmul 7879   <_ cle 8057   # cap 8602   NNcn 8984   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077   seqcseq 10521  ♯chash 10849   ~~> cli 11424   prod_cprod 11696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-proddc 11697

This theorem is referenced by: (None)