Theorem prod1dc 11729

Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
prod1dc	|- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) \/ A e. Fin ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )

Distinct variable groups:   A, j, k   j, M, k

Proof of Theorem prod1dc

Dummy variables a f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		simp1 999	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> M e. ZZ )
3		1ap0 8609	. . . 4 |- 1 # 0
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> 1 # 0 )
5	1	prodfclim1 11687	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ) ~~> 1 )
6	2, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> seq M ( x. , ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ) ~~> 1 )
7		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
8		eleq1w 2254	. . . . . 6 |- ( j = a -> ( j e. A <-> a e. A ) )
9	8	dcbid 839	. . . . 5 |- ( j = a -> (DECID j e. A <-> DECID a e. A ) )
10	9	cbvralv 2726	. . . 4 |- ( A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A <-> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
11	7, 10	sylib 122	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
12		simp2 1000	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
13		1ex 8014	. . . . . 6 |- 1 e. _V
14	13	fvconst2 5774	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
15	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
16		eleq1w 2254	. . . . . . 7 |- ( a = k -> ( a e. A <-> k e. A ) )
17	16	dcbid 839	. . . . . 6 |- ( a = k -> (DECID a e. A <-> DECID k e. A ) )
18	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
19		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
20	17, 18, 19	rspcdva 2869	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
21		ifiddc 3591	. . . . 5 |- (DECID k e. A -> if ( k e. A , 1 , 1 ) = 1 )
22	20, 21	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k e. A , 1 , 1 ) = 1 )
23	15, 22	eqtr4d 2229	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` M ) X. { 1 } ) ` k ) = if ( k e. A , 1 , 1 ) )
24		1cnd 8035	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) /\ k e. A ) -> 1 e. CC )
25	1, 2, 4, 6, 11, 12, 23, 24	zprodap0 11724	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
26		fz1f1o 11518	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
27		prodeq1 11696	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A 1 = prod_ k e. (/) 1 )
28		prod0 11728	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) 1 = 1
29	27, 28	eqtrdi 2242	. . . 4 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
30		eqidd 2194	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( f ` j ) -> 1 = 1 )
31		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> (♯ ` A ) e. NN )
32		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
33		1cnd 8035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ k e. A ) -> 1 e. CC )
34		elfznn 10120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> j e. NN )
35	13	fvconst2 5774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) /\ j e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
38	30, 31, 32, 33, 37	fprodseq 11726	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> j <_ (♯ ` A ) )
40	39	iftrued 3564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) )
41	35	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) = 1 )
42	40, 41	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ j <_ (♯ ` A ) ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = 1 )
43		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ -. j <_ (♯ ` A ) ) -> -. j <_ (♯ ` A ) )
44	43	iffalsed 3567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) /\ -. j <_ (♯ ` A ) ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = 1 )
45		nnz 9336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
46		nnz 9336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> (♯ ` A ) e. ZZ )
47		zdcle 9393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID j <_ (♯ ` A ) )
48	45, 46, 47	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) -> DECID j <_ (♯ ` A ) )
49		exmiddc 837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (DECID j <_ (♯ ` A ) -> ( j <_ (♯ ` A ) \/ -. j <_ (♯ ` A ) ) )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) -> ( j <_ (♯ ` A ) \/ -. j <_ (♯ ` A ) ) )
51	42, 44, 50	mpjaodan 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ j e. NN ) -> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) = 1 )
52	51	mpteq2dva 4119	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) = ( j e. NN |-> 1 ) )
53		fconstmpt 4706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN X. { 1 } ) = ( j e. NN |-> 1 )
54	52, 53	eqtr4di 2244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) = ( NN X. { 1 } ) )
55	54	seqeq3d 10526	. . . . . . . . . . 11 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) )
57	56	fveq1d 5556	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , ( ( NN X. { 1 } ) ` j ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) )
58	38, 57	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) )
59		nnuz 9628	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
60	59	prodf1 11685	. . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) = 1 )
61	60	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( NN X. { 1 } ) ) ` (♯ ` A ) ) = 1 )
62	58, 61	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
63	62	ex 115	. . . . . 6 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A 1 = 1 ) )
64	63	exlimdv 1830	. . . . 5 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A 1 = 1 ) )
65	64	imp 124	. . . 4 |- ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
66	29, 65	jaoi 717	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )
67	26, 66	syl 14	. 2 |- ( A e. Fin -> prod_ k e. A 1 = 1 )
68	25, 67	jaoi 717	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) \/ A e. Fin ) -> prod_ k e. A 1 = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   C_ wss 3153   (/)c0 3446   ifcif 3557   {csn 3618   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   X. cxp 4657   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Fincfn 6794   0cc0 7872   1c1 7873   x. cmul 7877   <_ cle 8055   # cap 8600   NNcn 8982   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   seqcseq 10518  ♯chash 10846   ~~> cli 11421   prod_cprod 11693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-proddc 11694

This theorem is referenced by: (None)