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Theorem prod1dc 11487
Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
prod1dc  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  \/  A  e.  Fin )  ->  prod_ k  e.  A 
1  =  1 )
Distinct variable groups:    A, j, k   
j, M, k

Proof of Theorem prod1dc
Dummy variables  a  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2157 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 simp1 982 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
3 1ap0 8466 . . . 4  |-  1 #  0
43a1i 9 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  ->  1 #  0 )
51prodfclim1 11445 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  x.  , 
( ( ZZ>= `  M
)  X.  { 1 } ) )  ~~>  1 )
62, 5syl 14 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  ->  seq M (  x.  , 
( ( ZZ>= `  M
)  X.  { 1 } ) )  ~~>  1 )
7 simp3 984 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
8 eleq1w 2218 . . . . . 6  |-  ( j  =  a  ->  (
j  e.  A  <->  a  e.  A ) )
98dcbid 824 . . . . 5  |-  ( j  =  a  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  a  e.  A )
)
109cbvralv 2680 . . . 4  |-  ( A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A  <->  A. a  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  a  e.  A )
117, 10sylib 121 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  ->  A. a  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  a  e.  A )
12 simp2 983 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M )
)
13 1ex 7874 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
1413fvconst2 5684 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ZZ>= `  M )  X.  { 1 } ) `
 k )  =  1 )
1514adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  M )  X. 
{ 1 } ) `
 k )  =  1 )
16 eleq1w 2218 . . . . . . 7  |-  ( a  =  k  ->  (
a  e.  A  <->  k  e.  A ) )
1716dcbid 824 . . . . . 6  |-  ( a  =  k  ->  (DECID  a  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
1811adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  A. a  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  a  e.  A )
19 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
2017, 18, 19rspcdva 2821 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )  -> DECID 
k  e.  A )
21 ifiddc 3538 . . . . 5  |-  (DECID  k  e.  A  ->  if (
k  e.  A , 
1 ,  1 )  =  1 )
2220, 21syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  if ( k  e.  A ,  1 ,  1 )  =  1 )
2315, 22eqtr4d 2193 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  M )  X. 
{ 1 } ) `
 k )  =  if ( k  e.  A ,  1 ,  1 ) )
24 1cnd 7895 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  /\  k  e.  A
)  ->  1  e.  CC )
251, 2, 4, 6, 11, 12, 23, 24zprodap0 11482 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  ->  prod_ k  e.  A  1  =  1 )
26 fz1f1o 11276 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( `  A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
27 prodeq1 11454 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  1  =  prod_ k  e.  (/)  1 )
28 prod0 11486 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  1  =  1
2927, 28eqtrdi 2206 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  1  = 
1 )
30 eqidd 2158 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( f `  j )  ->  1  =  1 )
31 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( `  A )  e.  NN )
32 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )
33 1cnd 7895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A )  /\  k  e.  A )  ->  1  e.  CC )
34 elfznn 9957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  j  e.  NN )
3513fvconst2 5684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( NN  X.  {
1 } ) `  j )  =  1 )
3634, 35syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  ( ( NN  X.  { 1 } ) `  j )  =  1 )
3736adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A )  /\  j  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( NN 
X.  { 1 } ) `  j )  =  1 )
3830, 31, 32, 33, 37fprodseq 11484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A 
1  =  (  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
39 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  j  <_  ( `  A
) )  ->  j  <_  ( `  A )
)
4039iftrued 3512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  j  <_  ( `  A
) )  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 )  =  ( ( NN  X.  { 1 } ) `  j
) )
4135ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  j  <_  ( `  A
) )  ->  (
( NN  X.  {
1 } ) `  j )  =  1 )
4240, 41eqtrd 2190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  j  <_  ( `  A
) )  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 )  =  1 )
43 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  -.  j  <_  ( `  A ) )  ->  -.  j  <_  ( `  A
) )
4443iffalsed 3515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  -.  j  <_  ( `  A ) )  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 )  =  1 )
45 nnz 9187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
46 nnz 9187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `  A )  e.  NN  ->  ( `  A )  e.  ZZ )
47 zdcle 9241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  -> DECID  j  <_  ( `  A
) )
4845, 46, 47syl2anr 288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  j  e.  NN )  -> DECID  j  <_  ( `  A
) )
49 exmiddc 822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (DECID  j  <_ 
( `  A )  -> 
( j  <_  ( `  A )  \/  -.  j  <_  ( `  A )
) )
5048, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (
j  <_  ( `  A
)  \/  -.  j  <_  ( `  A )
) )
5142, 44, 50mpjaodan 788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 )  =  1 )
5251mpteq2dva 4055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `  A )  e.  NN  ->  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  1 ) )
53 fconstmpt 4634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN 
X.  { 1 } )  =  ( j  e.  NN  |->  1 )
5452, 53eqtr4di 2208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `  A )  e.  NN  ->  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 ) )  =  ( NN  X.  { 1 } ) )
5554seqeq3d 10356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `  A )  e.  NN  ->  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN 
X.  { 1 } ) `  j ) ,  1 ) ) )  =  seq 1
(  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) ) )
5655adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN 
X.  { 1 } ) `  j ) ,  1 ) ) )  =  seq 1
(  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) ) )
5756fveq1d 5471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  j ) ,  1 ) ) ) `  ( `  A ) )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) ) `  ( `  A ) ) )
5838, 57eqtrd 2190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A 
1  =  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  {
1 } ) ) `
 ( `  A
) ) )
59 nnuz 9475 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6059prodf1 11443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `  A )  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { 1 } ) ) `  ( `  A ) )  =  1 )
6160adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) ) `  ( `  A ) )  =  1 )
6258, 61eqtrd 2190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A 
1  =  1 )
6362ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( `  A )  e.  NN  ->  ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  1  =  1 ) )
6463exlimdv 1799 . . . . 5  |-  ( ( `  A )  e.  NN  ->  ( E. f  f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A 
1  =  1 ) )
6564imp 123 . . . 4  |-  ( ( ( `  A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A  1  =  1 )
6629, 65jaoi 706 . . 3  |-  ( ( A  =  (/)  \/  (
( `  A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ k  e.  A  1  =  1 )
6726, 66syl 14 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  prod_ k  e.  A  1  =  1 )
6825, 67jaoi 706 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )  \/  A  e.  Fin )  ->  prod_ k  e.  A 
1  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698  DECID wdc 820    /\ w3a 963    = wceq 1335   E.wex 1472    e. wcel 2128   A.wral 2435    C_ wss 3102   (/)c0 3394   ifcif 3505   {csn 3560   class class class wbr 3966    |-> cmpt 4026    X. cxp 4585   -1-1-onto->wf1o 5170   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   Fincfn 6686   0cc0 7733   1c1 7734    x. cmul 7738    <_ cle 7914   # cap 8457   NNcn 8834   ZZcz 9168   ZZ>=cuz 9440   ...cfz 9913    seqcseq 10348  ♯chash 10653    ~~> cli 11179   prod_cprod 11451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-ihash 10654  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-proddc 11452
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