ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodmul Unicode version

Theorem fprodmul 11483
Description: The product of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodmul.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodmul.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodmul.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodmul  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fprodmul
Dummy variables  p  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1t1e1 8980 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
2 prod0 11477 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  (/)  B  =  1
3 prod0 11477 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  (/)  C  =  1
42, 3oveq12i 5833 . . . . 5  |-  ( prod_
k  e.  (/)  B  x.  prod_ k  e.  (/)  C )  =  ( 1  x.  1 )
5 prod0 11477 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  ( B  x.  C )  =  1
61, 4, 53eqtr4ri 2189 . . . 4  |-  prod_ k  e.  (/)  ( B  x.  C )  =  (
prod_ k  e.  (/)  B  x.  prod_ k  e.  (/)  C )
7 prodeq1 11445 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C )  =  prod_ k  e.  (/)  ( B  x.  C ) )
8 prodeq1 11445 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  (/)  B )
9 prodeq1 11445 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  (/)  C )
108, 9oveq12d 5839 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( prod_
k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C )  =  (
prod_ k  e.  (/)  B  x.  prod_ k  e.  (/)  C ) )
116, 7, 103eqtr4a 2216 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C )  =  (
prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) )
1211a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) ) )
13 simprl 521 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
14 nnuz 9469 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1513, 14eleqtrdi 2250 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
16 elnnuz 9470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  NN  <->  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1716biimpri 132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  p  e.  NN )
1817adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  p  e.  NN )
19 fprodmul.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2019fmpttd 5621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2120adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
22 f1of 5413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A  ->  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
2322ad2antll 483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
24 fco 5334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A ) ) --> CC )
2521, 23, 24syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A
) ) --> CC )
2625ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A
) ) --> CC )
27 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  ->  p  <_  ( `  A )
)
28 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
2913ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
3029nnzd 9280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  ZZ )
31 elfz5 9915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  ->  ( p  e.  ( 1 ... ( `  A ) )  <->  p  <_  ( `  A ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( p  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  <->  p  <_  ( `  A ) ) )
3327, 32mpbird 166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  ->  p  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
3426, 33ffvelrnd 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  p )  e.  CC )
35 1cnd 7889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  p  <_  ( `  A )
)  ->  1  e.  CC )
3618nnzd 9280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  p  e.  ZZ )
3713adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  A
)  e.  NN )
3837nnzd 9280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  A
)  e.  ZZ )
39 zdcle 9235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  -> DECID  p  <_  ( `  A
) )
4036, 38, 39syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  p  <_  ( `  A
) )
4134, 35, 40ifcldadc 3534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
p  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  p ) ,  1 )  e.  CC )
42 breq1 3968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  (
n  <_  ( `  A
)  <->  p  <_  ( `  A
) ) )
43 fveq2 5467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  p )
)
4442, 43ifbieq1d 3527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  p  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  1 )  =  if ( p  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  p ) ,  1 ) )
45 eqid 2157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  1 ) )
4644, 45fvmptg 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  NN  /\  if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  p
) ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  1 ) ) `  p )  =  if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  p
) ,  1 ) )
4718, 41, 46syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  1 ) ) `  p )  =  if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 p ) ,  1 ) )
4847, 41eqeltrd 2234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  1 ) ) `  p )  e.  CC )
49 fprodmul.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5049fmpttd 5621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
5150adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
52 fco 5334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A ) ) --> CC )
5351, 23, 52syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A
) ) --> CC )
5453ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A
) ) --> CC )
5554, 33ffvelrnd 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  p )  e.  CC )
5655, 35, 40ifcldadc 3534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
p  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  p ) ,  1 )  e.  CC )
57 fveq2 5467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  (
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  p )
)
5842, 57ifbieq1d 3527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  p  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  n ) ,  1 )  =  if ( p  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  p ) ,  1 ) )
59 eqid 2157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  n ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 n ) ,  1 ) )
6058, 59fvmptg 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  NN  /\  if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  p
) ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 n ) ,  1 ) ) `  p )  =  if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  p
) ,  1 ) )
6118, 56, 60syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ,  1 ) ) `  p )  =  if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 p ) ,  1 ) )
6261, 56eqeltrd 2234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ,  1 ) ) `  p )  e.  CC )
6323ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
6463, 33ffvelrnd 5602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( f `  p
)  e.  A )
65 csbov12g 5857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  p )  e.  A  ->  [_ (
f `  p )  /  k ]_ ( B  x.  C )  =  ( [_ (
f `  p )  /  k ]_ B  x.  [_ ( f `  p )  /  k ]_ C ) )
6664, 65syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ ( B  x.  C
)  =  ( [_ ( f `  p
)  /  k ]_ B  x.  [_ ( f `
 p )  / 
k ]_ C ) )
6719, 49mulcld 7893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
6867ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  CC )
6968ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  ->  A. k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  CC )
70 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k [_ ( f `  p
)  /  k ]_ ( B  x.  C
)
7170nfel1 2310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k
[_ ( f `  p )  /  k ]_ ( B  x.  C
)  e.  CC
72 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( f `  p )  ->  ( B  x.  C )  =  [_ ( f `  p )  /  k ]_ ( B  x.  C
) )
7372eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( f `  p )  ->  (
( B  x.  C
)  e.  CC  <->  [_ ( f `
 p )  / 
k ]_ ( B  x.  C )  e.  CC ) )
7471, 73rspc 2810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  p )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  CC  ->  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ ( B  x.  C
)  e.  CC ) )
7564, 69, 74sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ ( B  x.  C
)  e.  CC )
76 eqid 2157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )
7776fvmpts 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  p
)  e.  A  /\  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ ( B  x.  C
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `
 ( f `  p ) )  = 
[_ ( f `  p )  /  k ]_ ( B  x.  C
) )
7864, 75, 77syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  ( f `  p
) )  =  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ ( B  x.  C
) )
7919ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
8079ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
81 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ ( f `  p
)  /  k ]_ B
8281nfel1 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k
[_ ( f `  p )  /  k ]_ B  e.  CC
83 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( f `  p )  ->  B  =  [_ ( f `  p )  /  k ]_ B )
8483eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( f `  p )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( f `
 p )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
8582, 84rspc 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f `  p )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
8664, 80, 85sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ B  e.  CC )
87 eqid 2157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
8887fvmpts 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  p
)  e.  A  /\  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  p
) )  =  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ B )
8964, 86, 88syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  p
) )  =  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ B )
9049ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
9190ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
92 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ ( f `  p
)  /  k ]_ C
9392nfel1 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k
[_ ( f `  p )  /  k ]_ C  e.  CC
94 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( f `  p )  ->  C  =  [_ ( f `  p )  /  k ]_ C )
9594eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( f `  p )  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ ( f `
 p )  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
9693, 95rspc 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f `  p )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  C  e.  CC  ->  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ C  e.  CC )
)
9764, 91, 96sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  ->  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ C  e.  CC )
98 eqid 2157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
9998fvmpts 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  p
)  e.  A  /\  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  p
) )  =  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ C )
10064, 97, 99syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  p
) )  =  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ C )
10189, 100oveq12d 5839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  p ) )  x.  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  p
) ) )  =  ( [_ ( f `
 p )  / 
k ]_ B  x.  [_ ( f `  p
)  /  k ]_ C ) )
10266, 78, 1013eqtr4d 2200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  ( f `  p
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  p
) )  x.  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  p )
) ) )
103 fvco3 5538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  p )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) `  (
f `  p )
) )
10463, 33, 103syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  p )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) `  (
f `  p )
) )
105 fvco3 5538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  p )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  p )
) )
10663, 33, 105syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  p )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  p )
) )
107 fvco3 5538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  p )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  p )
) )
10863, 33, 107syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  p )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  p )
) )
109106, 108oveq12d 5839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 p )  x.  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  p ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  p ) )  x.  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  p
) ) ) )
110102, 104, 1093eqtr4d 2200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  p )  =  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  p )  x.  (
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  p
) ) )
11127iftrued 3512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  ->  if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  p
) ,  1 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `
 p ) )
11227iftrued 3512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  ->  if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  p
) ,  1 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 p ) )
11327iftrued 3512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  ->  if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  p
) ,  1 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 p ) )
114112, 113oveq12d 5839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 p ) ,  1 )  x.  if ( p  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  p ) ,  1 ) )  =  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  p )  x.  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  p ) ) )
115110, 111, 1143eqtr4d 2200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  ->  if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  p
) ,  1 )  =  ( if ( p  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  p ) ,  1 )  x.  if ( p  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  p ) ,  1 ) ) )
1161eqcomi 2161 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =  ( 1  x.  1 )
117 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  p  <_  ( `  A )
)  ->  -.  p  <_  ( `  A )
)
118117iffalsed 3515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  p  <_  ( `  A )
)  ->  if (
p  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  o.  f
) `  p ) ,  1 )  =  1 )
119117iffalsed 3515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  p  <_  ( `  A )
)  ->  if (
p  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  p ) ,  1 )  =  1 )
120117iffalsed 3515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  p  <_  ( `  A )
)  ->  if (
p  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  p ) ,  1 )  =  1 )
121119, 120oveq12d 5839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  p  <_  ( `  A )
)  ->  ( if ( p  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  p ) ,  1 )  x.  if ( p  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  p ) ,  1 ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
122116, 118, 1213eqtr4a 2216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  p  <_  ( `  A )
)  ->  if (
p  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  o.  f
) `  p ) ,  1 )  =  ( if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 p ) ,  1 )  x.  if ( p  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  p ) ,  1 ) ) )
123 exmiddc 822 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  p  <_ 
( `  A )  -> 
( p  <_  ( `  A )  \/  -.  p  <_  ( `  A )
) )
12440, 123syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( p  <_  ( `  A )  \/  -.  p  <_  ( `  A ) ) )
125115, 122, 124mpjaodan 788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
p  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  o.  f
) `  p ) ,  1 )  =  ( if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 p ) ,  1 )  x.  if ( p  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  p ) ,  1 ) ) )
12678, 75eqeltrd 2234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  ( f `  p
) )  e.  CC )
127104, 126eqeltrd 2234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  p )  e.  CC )
128127, 35, 40ifcldadc 3534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
p  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  o.  f
) `  p ) ,  1 )  e.  CC )
129 fveq2 5467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  n
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  o.  f
) `  p )
)
13042, 129ifbieq1d 3527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  p  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  o.  f
) `  n ) ,  1 )  =  if ( p  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  p ) ,  1 ) )
131 eqid 2157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  o.  f
) `  n ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `
 n ) ,  1 ) )
132130, 131fvmptg 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  NN  /\  if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  p
) ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `
 n ) ,  1 ) ) `  p )  =  if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  p
) ,  1 ) )
13318, 128, 132syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  n
) ,  1 ) ) `  p )  =  if ( p  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `
 p ) ,  1 ) )
13447, 61oveq12d 5839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  1 ) ) `  p )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  n ) ,  1 ) ) `
 p ) )  =  ( if ( p  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  p ) ,  1 )  x.  if ( p  <_ 
( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  p ) ,  1 ) ) )
135125, 133, 1343eqtr4d 2200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  n
) ,  1 ) ) `  p )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  1 ) ) `  p )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) `  n ) ,  1 ) ) `
 p ) ) )
13615, 48, 62, 135prod3fmul 11433 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `
 n ) ,  1 ) ) ) `
 ( `  A
) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n ) ,  1 ) ) ) `  ( `  A
) )  x.  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ,  1 ) ) ) `  ( `  A ) ) ) )
137 fveq2 5467 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
138 simprr 522 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )
13967fmpttd 5621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) : A --> CC )
140139adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) : A --> CC )
141140ffvelrnda 5601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) `  m
)  e.  CC )
142 fvco3 5538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) `  (
f `  n )
) )
14323, 142sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  ( f `  n
) ) )
144137, 13, 138, 141, 143fprodseq 11475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  n
) ,  1 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
145 fveq2 5467 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
14621ffvelrnda 5601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  CC )
147 fvco3 5538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
14823, 147sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) ) )
149145, 13, 138, 146, 148fprodseq 11475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) ,  1 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
150 fveq2 5467 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
15151ffvelrnda 5601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
152 fvco3 5538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
15323, 152sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `
 n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) )
154150, 13, 138, 151, 153fprodseq 11475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ,  1 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
155149, 154oveq12d 5839 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  x.  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n ) ,  1 ) ) ) `
 ( `  A
) )  x.  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ,  1 ) ) ) `  ( `  A ) ) ) )
156136, 144, 1553eqtr4d 2200 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) `  m
)  =  ( prod_
m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  x.  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m ) ) )
157 prodfct 11479 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  ( B  x.  C )  e.  CC  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `
 m )  = 
prod_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )
15868, 157syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C ) )
159158adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) `  m
)  =  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C ) )
160 prodfct 11479 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
prod_ k  e.  A  B )
16179, 160syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  B )
162 prodfct 11479 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  C  e.  CC  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m )  = 
prod_ k  e.  A  C )
16390, 162syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  C )
164161, 163oveq12d 5839 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  x.  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( prod_
k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) )
165164adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  x.  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( prod_
k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) )
166156, 159, 1653eqtr3d 2198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C )  =  ( prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C
) )
167166expr 373 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C )  =  ( prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C
) ) )
168167exlimdv 1799 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C )  =  (
prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) ) )
169168expimpd 361 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C )  =  ( prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) ) )
170 fprodmul.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
171 fz1f1o 11267 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( `  A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
172170, 171syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
17312, 169, 172mpjaod 708 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698  DECID wdc 820    = wceq 1335   E.wex 1472    e. wcel 2128   A.wral 2435   [_csb 3031   (/)c0 3394   ifcif 3505   class class class wbr 3965    |-> cmpt 4025    o. ccom 4589   -->wf 5165   -1-1-onto->wf1o 5168   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   Fincfn 6682   CCcc 7725   1c1 7728    x. cmul 7732    <_ cle 7908   NNcn 8828   ZZcz 9162   ZZ>=cuz 9434   ...cfz 9907    seqcseq 10339  ♯chash 10644   prod_cprod 11442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845  ax-arch 7846  ax-caucvg 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-3 8888  df-4 8889  df-n0 9086  df-z 9163  df-uz 9435  df-q 9524  df-rp 9556  df-fz 9908  df-fzo 10037  df-seqfrec 10340  df-exp 10414  df-ihash 10645  df-cj 10737  df-re 10738  df-im 10739  df-rsqrt 10893  df-abs 10894  df-clim 11171  df-proddc 11443
This theorem is referenced by:  fprodsplitdc  11488  fproddivap  11522
  Copyright terms: Public domain W3C validator