Theorem fprodmul 11554

Description: The product of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodmul.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodmul.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodmul.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodmul	|- ( ph -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fprodmul

Dummy variables p f m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1t1e1 9030	. . . . 5 |- ( 1 x. 1 ) = 1
2		prod0 11548	. . . . . 6 |- prod_ k e. (/) B = 1
3		prod0 11548	. . . . . 6 |- prod_ k e. (/) C = 1
4	2, 3	oveq12i 5865	. . . . 5 |- ( prod_ k e. (/) B x. prod_ k e. (/) C ) = ( 1 x. 1 )
5		prod0 11548	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) ( B x. C ) = 1
6	1, 4, 5	3eqtr4ri 2202	. . . 4 |- prod_ k e. (/) ( B x. C ) = ( prod_ k e. (/) B x. prod_ k e. (/) C )
7		prodeq1 11516	. . . 4 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A ( B x. C ) = prod_ k e. (/) ( B x. C ) )
8		prodeq1 11516	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. (/) B )
9		prodeq1 11516	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. (/) C )
10	8, 9	oveq12d 5871	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) = ( prod_ k e. (/) B x. prod_ k e. (/) C ) )
11	6, 7, 10	3eqtr4a 2229	. . 3 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) ) )
13		simprl 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
14		nnuz 9522	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15	13, 14	eleqtrdi 2263	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
16		elnnuz 9523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. NN <-> p e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17	16	biimpri 132	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( ZZ>= ` 1 ) -> p e. NN )
18	17	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> p e. NN )
19		fprodmul.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
20	19	fmpttd 5651	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
21	20	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
22		f1of 5442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
23	22	ad2antll 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
24		fco 5363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. A |-> B ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
25	21, 23, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
26	25	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
27		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> p <_ (♯ ` A ) )
28		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 1 ) )
29	13	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
30	29	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
31		elfz5 9973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> ( p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> p <_ (♯ ` A ) ) )
32	28, 30, 31	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> p <_ (♯ ` A ) ) )
33	27, 32	mpbird 166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
34	26, 33	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) e. CC )
35		1cnd 7936	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. CC )
36	18	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> p e. ZZ )
37	13	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
38	37	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
39		zdcle 9288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID p <_ (♯ ` A ) )
40	36, 38, 39	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID p <_ (♯ ` A ) )
41	34, 35, 40	ifcldadc 3555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC )
42		breq1 3992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> p <_ (♯ ` A ) ) )
43		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) )
44	42, 43	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = p -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
45		eqid 2170	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) )
46	44, 45	fvmptg 5572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. NN /\ if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
47	18, 41, 46	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
48	47, 41	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) e. CC )
49		fprodmul.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
50	49	fmpttd 5651	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
51	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
52		fco 5363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. A |-> C ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
53	51, 23, 52	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
54	53	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
55	54, 33	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) e. CC )
56	55, 35, 40	ifcldadc 3555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC )
57		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) )
58	42, 57	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = p -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
59		eqid 2170	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) )
60	58, 59	fvmptg 5572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. NN /\ if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
61	18, 56, 60	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
62	61, 56	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) e. CC )
63	23	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
64	63, 33	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( f ` p ) e. A )
65		csbov12g 5892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` p ) e. A -> [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) = ( [_ ( f ` p ) / k ]_ B x. [_ ( f ` p ) / k ]_ C ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) = ( [_ ( f ` p ) / k ]_ B x. [_ ( f ` p ) / k ]_ C ) )
67	19, 49	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B x. C ) e. CC )
68	67	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. k e. A ( B x. C ) e. CC )
69	68	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A ( B x. C ) e. CC )
70		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C )
71	70	nfel1 2323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) e. CC
72		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` p ) -> ( B x. C ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) )
73	72	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` p ) -> ( ( B x. C ) e. CC <-> [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) e. CC ) )
74	71, 73	rspc 2828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` p ) e. A -> ( A. k e. A ( B x. C ) e. CC -> [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) e. CC ) )
75	64, 69, 74	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) e. CC )
76		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. A |-> ( B x. C ) ) = ( k e. A |-> ( B x. C ) )
77	76	fvmpts 5574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` p ) e. A /\ [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) e. CC ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) )
78	64, 75, 77	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) )
79	19	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
80	79	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A B e. CC )
81		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ ( f ` p ) / k ]_ B
82	81	nfel1 2323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ ( f ` p ) / k ]_ B e. CC
83		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( f ` p ) -> B = [_ ( f ` p ) / k ]_ B )
84	83	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` p ) -> ( B e. CC <-> [_ ( f ` p ) / k ]_ B e. CC ) )
85	82, 84	rspc 2828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f ` p ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( f ` p ) / k ]_ B e. CC ) )
86	64, 80, 85	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` p ) / k ]_ B e. CC )
87		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
88	87	fvmpts 5574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` p ) e. A /\ [_ ( f ` p ) / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ B )
89	64, 86, 88	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ B )
90	49	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
91	90	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A C e. CC )
92		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ ( f ` p ) / k ]_ C
93	92	nfel1 2323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ ( f ` p ) / k ]_ C e. CC
94		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( f ` p ) -> C = [_ ( f ` p ) / k ]_ C )
95	94	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` p ) -> ( C e. CC <-> [_ ( f ` p ) / k ]_ C e. CC ) )
96	93, 95	rspc 2828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f ` p ) e. A -> ( A. k e. A C e. CC -> [_ ( f ` p ) / k ]_ C e. CC ) )
97	64, 91, 96	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` p ) / k ]_ C e. CC )
98		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
99	98	fvmpts 5574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` p ) e. A /\ [_ ( f ` p ) / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ C )
100	64, 97, 99	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ C )
101	89, 100	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) x. ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) ) = ( [_ ( f ` p ) / k ]_ B x. [_ ( f ` p ) / k ]_ C ) )
102	66, 78, 101	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) x. ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) ) )
103		fvco3 5567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) )
104	63, 33, 103	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) )
105		fvco3 5567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) )
106	63, 33, 105	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) )
107		fvco3 5567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) )
108	63, 33, 107	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) )
109	106, 108	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) x. ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) x. ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) ) )
110	102, 104, 109	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) x. ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) ) )
111	27	iftrued 3533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) )
112	27	iftrued 3533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) )
113	27	iftrued 3533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) )
114	112, 113	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) x. ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) ) )
115	110, 111, 114	3eqtr4d 2213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) )
116	1	eqcomi 2174	. . . . . . . . . . 11 |- 1 = ( 1 x. 1 )
117		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> -. p <_ (♯ ` A ) )
118	117	iffalsed 3536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) = 1 )
119	117	iffalsed 3536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) = 1 )
120	117	iffalsed 3536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) = 1 )
121	119, 120	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) = ( 1 x. 1 ) )
122	116, 118, 121	3eqtr4a 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) )
123		exmiddc 831	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID p <_ (♯ ` A ) -> ( p <_ (♯ ` A ) \/ -. p <_ (♯ ` A ) ) )
124	40, 123	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( p <_ (♯ ` A ) \/ -. p <_ (♯ ` A ) ) )
125	115, 122, 124	mpjaodan 793	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) )
126	78, 75	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) e. CC )
127	104, 126	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) e. CC )
128	127, 35, 40	ifcldadc 3555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC )
129		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) )
130	42, 129	ifbieq1d 3548	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = p -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
131		eqid 2170	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) )
132	130, 131	fvmptg 5572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. NN /\ if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
133	18, 128, 132	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
134	47, 61	oveq12d 5871	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) x. ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) ) = ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) )
135	125, 133, 134	3eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = ( ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) x. ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) ) )
136	15, 48, 62, 135	prod3fmul 11504	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
137		fveq2 5496	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` n ) ) )
138		simprr 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
139	67	fmpttd 5651	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( B x. C ) ) : A --> CC )
140	139	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> ( B x. C ) ) : A --> CC )
141	140	ffvelrnda 5631	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) e. CC )
142		fvco3 5567	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` n ) ) )
143	23, 142	sylan 281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` n ) ) )
144	137, 13, 138, 141, 143	fprodseq 11546	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
145		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
146	21	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
147		fvco3 5567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
148	23, 147	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
149	145, 13, 138, 146, 148	fprodseq 11546	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
150		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
151	51	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
152		fvco3 5567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
153	23, 152	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
154	150, 13, 138, 151, 153	fprodseq 11546	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
155	149, 154	oveq12d 5871	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) x. prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
156	136, 144, 155	3eqtr4d 2213	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = ( prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) x. prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) )
157		prodfct 11550	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A ( B x. C ) e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = prod_ k e. A ( B x. C ) )
158	68, 157	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = prod_ k e. A ( B x. C ) )
159	158	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = prod_ k e. A ( B x. C ) )
160		prodfct 11550	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ k e. A B )
161	79, 160	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ k e. A B )
162		prodfct 11550	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A C e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
163	90, 162	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
164	161, 163	oveq12d 5871	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) x. prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )
165	164	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) x. prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )
166	156, 159, 165	3eqtr3d 2211	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )
167	166	expr 373	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) ) )
168	167	exlimdv 1812	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) ) )
169	168	expimpd 361	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) ) )
170		fprodmul.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
171		fz1f1o 11338	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
172	170, 171	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
173	12, 169, 172	mpjaod 713	1 |- ( ph -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   [_csb 3049   (/)c0 3414   ifcif 3526   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   o. ccom 4615   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772   1c1 7775   x. cmul 7779   <_ cle 7955   NNcn 8878   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965   seqcseq 10401  ♯chash 10709   prod_cprod 11513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514

This theorem is referenced by:  fprodsplitdc  11559  fproddivap  11593