Theorem fprodmul 11756

Description: The product of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodmul.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodmul.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodmul.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodmul	|- ( ph -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fprodmul

Dummy variables p f m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1t1e1 9143	. . . . 5 |- ( 1 x. 1 ) = 1
2		prod0 11750	. . . . . 6 |- prod_ k e. (/) B = 1
3		prod0 11750	. . . . . 6 |- prod_ k e. (/) C = 1
4	2, 3	oveq12i 5934	. . . . 5 |- ( prod_ k e. (/) B x. prod_ k e. (/) C ) = ( 1 x. 1 )
5		prod0 11750	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) ( B x. C ) = 1
6	1, 4, 5	3eqtr4ri 2228	. . . 4 |- prod_ k e. (/) ( B x. C ) = ( prod_ k e. (/) B x. prod_ k e. (/) C )
7		prodeq1 11718	. . . 4 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A ( B x. C ) = prod_ k e. (/) ( B x. C ) )
8		prodeq1 11718	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. (/) B )
9		prodeq1 11718	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. (/) C )
10	8, 9	oveq12d 5940	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) = ( prod_ k e. (/) B x. prod_ k e. (/) C ) )
11	6, 7, 10	3eqtr4a 2255	. . 3 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) ) )
13		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
14		nnuz 9637	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15	13, 14	eleqtrdi 2289	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
16		elnnuz 9638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. NN <-> p e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17	16	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( ZZ>= ` 1 ) -> p e. NN )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> p e. NN )
19		fprodmul.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
20	19	fmpttd 5717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
22		f1of 5504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
23	22	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
24		fco 5423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. A |-> B ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
25	21, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
26	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
27		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> p <_ (♯ ` A ) )
28		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 1 ) )
29	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
30	29	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
31		elfz5 10092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> ( p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> p <_ (♯ ` A ) ) )
32	28, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> p <_ (♯ ` A ) ) )
33	27, 32	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
34	26, 33	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) e. CC )
35		1cnd 8042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. CC )
36	18	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> p e. ZZ )
37	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
38	37	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
39		zdcle 9402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID p <_ (♯ ` A ) )
40	36, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID p <_ (♯ ` A ) )
41	34, 35, 40	ifcldadc 3590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC )
42		breq1 4036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> p <_ (♯ ` A ) ) )
43		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) )
44	42, 43	ifbieq1d 3583	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = p -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
45		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) )
46	44, 45	fvmptg 5637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. NN /\ if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
47	18, 41, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
48	47, 41	eqeltrd 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) e. CC )
49		fprodmul.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
50	49	fmpttd 5717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
52		fco 5423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. A |-> C ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
53	51, 23, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
54	53	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
55	54, 33	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) e. CC )
56	55, 35, 40	ifcldadc 3590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC )
57		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) )
58	42, 57	ifbieq1d 3583	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = p -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
59		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) )
60	58, 59	fvmptg 5637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. NN /\ if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
61	18, 56, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
62	61, 56	eqeltrd 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) e. CC )
63	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
64	63, 33	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( f ` p ) e. A )
65		csbov12g 5961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` p ) e. A -> [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) = ( [_ ( f ` p ) / k ]_ B x. [_ ( f ` p ) / k ]_ C ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) = ( [_ ( f ` p ) / k ]_ B x. [_ ( f ` p ) / k ]_ C ) )
67	19, 49	mulcld 8047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B x. C ) e. CC )
68	67	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. k e. A ( B x. C ) e. CC )
69	68	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A ( B x. C ) e. CC )
70		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C )
71	70	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) e. CC
72		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` p ) -> ( B x. C ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) )
73	72	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` p ) -> ( ( B x. C ) e. CC <-> [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) e. CC ) )
74	71, 73	rspc 2862	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` p ) e. A -> ( A. k e. A ( B x. C ) e. CC -> [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) e. CC ) )
75	64, 69, 74	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) e. CC )
76		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. A |-> ( B x. C ) ) = ( k e. A |-> ( B x. C ) )
77	76	fvmpts 5639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` p ) e. A /\ [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) e. CC ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) )
78	64, 75, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) )
79	19	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
80	79	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A B e. CC )
81		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ ( f ` p ) / k ]_ B
82	81	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ ( f ` p ) / k ]_ B e. CC
83		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( f ` p ) -> B = [_ ( f ` p ) / k ]_ B )
84	83	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` p ) -> ( B e. CC <-> [_ ( f ` p ) / k ]_ B e. CC ) )
85	82, 84	rspc 2862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f ` p ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( f ` p ) / k ]_ B e. CC ) )
86	64, 80, 85	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` p ) / k ]_ B e. CC )
87		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
88	87	fvmpts 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` p ) e. A /\ [_ ( f ` p ) / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ B )
89	64, 86, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ B )
90	49	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
91	90	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A C e. CC )
92		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ ( f ` p ) / k ]_ C
93	92	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ ( f ` p ) / k ]_ C e. CC
94		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( f ` p ) -> C = [_ ( f ` p ) / k ]_ C )
95	94	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` p ) -> ( C e. CC <-> [_ ( f ` p ) / k ]_ C e. CC ) )
96	93, 95	rspc 2862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f ` p ) e. A -> ( A. k e. A C e. CC -> [_ ( f ` p ) / k ]_ C e. CC ) )
97	64, 91, 96	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` p ) / k ]_ C e. CC )
98		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
99	98	fvmpts 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` p ) e. A /\ [_ ( f ` p ) / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ C )
100	64, 97, 99	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ C )
101	89, 100	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) x. ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) ) = ( [_ ( f ` p ) / k ]_ B x. [_ ( f ` p ) / k ]_ C ) )
102	66, 78, 101	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) x. ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) ) )
103		fvco3 5632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) )
104	63, 33, 103	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) )
105		fvco3 5632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) )
106	63, 33, 105	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) )
107		fvco3 5632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) )
108	63, 33, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) )
109	106, 108	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) x. ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) x. ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) ) )
110	102, 104, 109	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) x. ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) ) )
111	27	iftrued 3568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) )
112	27	iftrued 3568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) )
113	27	iftrued 3568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) )
114	112, 113	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) x. ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) ) )
115	110, 111, 114	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) )
116	1	eqcomi 2200	. . . . . . . . . . 11 |- 1 = ( 1 x. 1 )
117		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> -. p <_ (♯ ` A ) )
118	117	iffalsed 3571	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) = 1 )
119	117	iffalsed 3571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) = 1 )
120	117	iffalsed 3571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) = 1 )
121	119, 120	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) = ( 1 x. 1 ) )
122	116, 118, 121	3eqtr4a 2255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) )
123		exmiddc 837	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID p <_ (♯ ` A ) -> ( p <_ (♯ ` A ) \/ -. p <_ (♯ ` A ) ) )
124	40, 123	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( p <_ (♯ ` A ) \/ -. p <_ (♯ ` A ) ) )
125	115, 122, 124	mpjaodan 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) )
126	78, 75	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) e. CC )
127	104, 126	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) e. CC )
128	127, 35, 40	ifcldadc 3590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC )
129		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) )
130	42, 129	ifbieq1d 3583	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = p -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
131		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) )
132	130, 131	fvmptg 5637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. NN /\ if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
133	18, 128, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
134	47, 61	oveq12d 5940	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) x. ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) ) = ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) )
135	125, 133, 134	3eqtr4d 2239	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = ( ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) x. ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) ) )
136	15, 48, 62, 135	prod3fmul 11706	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
137		fveq2 5558	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` n ) ) )
138		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
139	67	fmpttd 5717	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( B x. C ) ) : A --> CC )
140	139	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> ( B x. C ) ) : A --> CC )
141	140	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) e. CC )
142		fvco3 5632	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` n ) ) )
143	23, 142	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` n ) ) )
144	137, 13, 138, 141, 143	fprodseq 11748	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
145		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
146	21	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
147		fvco3 5632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
148	23, 147	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
149	145, 13, 138, 146, 148	fprodseq 11748	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
150		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
151	51	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
152		fvco3 5632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
153	23, 152	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
154	150, 13, 138, 151, 153	fprodseq 11748	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
155	149, 154	oveq12d 5940	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) x. prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
156	136, 144, 155	3eqtr4d 2239	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = ( prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) x. prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) )
157		prodfct 11752	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A ( B x. C ) e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = prod_ k e. A ( B x. C ) )
158	68, 157	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = prod_ k e. A ( B x. C ) )
159	158	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = prod_ k e. A ( B x. C ) )
160		prodfct 11752	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ k e. A B )
161	79, 160	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ k e. A B )
162		prodfct 11752	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A C e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
163	90, 162	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
164	161, 163	oveq12d 5940	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) x. prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )
165	164	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) x. prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )
166	156, 159, 165	3eqtr3d 2237	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )
167	166	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) ) )
168	167	exlimdv 1833	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) ) )
169	168	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) ) )
170		fprodmul.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
171		fz1f1o 11540	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
172	170, 171	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
173	12, 169, 172	mpjaod 719	1 |- ( ph -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   [_csb 3084   (/)c0 3450   ifcif 3561   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   o. ccom 4667   -->wf 5254   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   CCcc 7877   1c1 7880   x. cmul 7884   <_ cle 8062   NNcn 8990   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083   seqcseq 10539  ♯chash 10867   prod_cprod 11715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-proddc 11716

This theorem is referenced by:  fprodsplitdc  11761  fproddivap  11795  gausslemma2dlem5  15307  gausslemma2dlem6  15308