Theorem fprodmul 11583

Description: The product of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodmul.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodmul.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodmul.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodmul	|- ( ph -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fprodmul

Dummy variables p f m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1t1e1 9060	. . . . 5 |- ( 1 x. 1 ) = 1
2		prod0 11577	. . . . . 6 |- prod_ k e. (/) B = 1
3		prod0 11577	. . . . . 6 |- prod_ k e. (/) C = 1
4	2, 3	oveq12i 5881	. . . . 5 |- ( prod_ k e. (/) B x. prod_ k e. (/) C ) = ( 1 x. 1 )
5		prod0 11577	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) ( B x. C ) = 1
6	1, 4, 5	3eqtr4ri 2209	. . . 4 |- prod_ k e. (/) ( B x. C ) = ( prod_ k e. (/) B x. prod_ k e. (/) C )
7		prodeq1 11545	. . . 4 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A ( B x. C ) = prod_ k e. (/) ( B x. C ) )
8		prodeq1 11545	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. (/) B )
9		prodeq1 11545	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. (/) C )
10	8, 9	oveq12d 5887	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) = ( prod_ k e. (/) B x. prod_ k e. (/) C ) )
11	6, 7, 10	3eqtr4a 2236	. . 3 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) ) )
13		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
14		nnuz 9552	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15	13, 14	eleqtrdi 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
16		elnnuz 9553	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. NN <-> p e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17	16	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( ZZ>= ` 1 ) -> p e. NN )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> p e. NN )
19		fprodmul.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
20	19	fmpttd 5667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
22		f1of 5457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
23	22	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
24		fco 5377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. A |-> B ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
25	21, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
26	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
27		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> p <_ (♯ ` A ) )
28		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 1 ) )
29	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
30	29	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
31		elfz5 10003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> ( p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> p <_ (♯ ` A ) ) )
32	28, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> p <_ (♯ ` A ) ) )
33	27, 32	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
34	26, 33	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) e. CC )
35		1cnd 7964	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. CC )
36	18	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> p e. ZZ )
37	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
38	37	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
39		zdcle 9318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID p <_ (♯ ` A ) )
40	36, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID p <_ (♯ ` A ) )
41	34, 35, 40	ifcldadc 3563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC )
42		breq1 4003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> p <_ (♯ ` A ) ) )
43		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) )
44	42, 43	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = p -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
45		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) )
46	44, 45	fvmptg 5588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. NN /\ if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
47	18, 41, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
48	47, 41	eqeltrd 2254	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) e. CC )
49		fprodmul.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
50	49	fmpttd 5667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
52		fco 5377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. A |-> C ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
53	51, 23, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
54	53	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
55	54, 33	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) e. CC )
56	55, 35, 40	ifcldadc 3563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC )
57		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) )
58	42, 57	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = p -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
59		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) )
60	58, 59	fvmptg 5588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. NN /\ if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
61	18, 56, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
62	61, 56	eqeltrd 2254	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) e. CC )
63	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
64	63, 33	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( f ` p ) e. A )
65		csbov12g 5908	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` p ) e. A -> [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) = ( [_ ( f ` p ) / k ]_ B x. [_ ( f ` p ) / k ]_ C ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) = ( [_ ( f ` p ) / k ]_ B x. [_ ( f ` p ) / k ]_ C ) )
67	19, 49	mulcld 7968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B x. C ) e. CC )
68	67	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. k e. A ( B x. C ) e. CC )
69	68	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A ( B x. C ) e. CC )
70		nfcsb1v 3090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C )
71	70	nfel1 2330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) e. CC
72		csbeq1a 3066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` p ) -> ( B x. C ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) )
73	72	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( f ` p ) -> ( ( B x. C ) e. CC <-> [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) e. CC ) )
74	71, 73	rspc 2835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` p ) e. A -> ( A. k e. A ( B x. C ) e. CC -> [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) e. CC ) )
75	64, 69, 74	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) e. CC )
76		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. A |-> ( B x. C ) ) = ( k e. A |-> ( B x. C ) )
77	76	fvmpts 5590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` p ) e. A /\ [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) e. CC ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) )
78	64, 75, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ ( B x. C ) )
79	19	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
80	79	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A B e. CC )
81		nfcsb1v 3090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ ( f ` p ) / k ]_ B
82	81	nfel1 2330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ ( f ` p ) / k ]_ B e. CC
83		csbeq1a 3066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( f ` p ) -> B = [_ ( f ` p ) / k ]_ B )
84	83	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` p ) -> ( B e. CC <-> [_ ( f ` p ) / k ]_ B e. CC ) )
85	82, 84	rspc 2835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f ` p ) e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ ( f ` p ) / k ]_ B e. CC ) )
86	64, 80, 85	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` p ) / k ]_ B e. CC )
87		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
88	87	fvmpts 5590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` p ) e. A /\ [_ ( f ` p ) / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ B )
89	64, 86, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ B )
90	49	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
91	90	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> A. k e. A C e. CC )
92		nfcsb1v 3090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ ( f ` p ) / k ]_ C
93	92	nfel1 2330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ ( f ` p ) / k ]_ C e. CC
94		csbeq1a 3066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( f ` p ) -> C = [_ ( f ` p ) / k ]_ C )
95	94	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( f ` p ) -> ( C e. CC <-> [_ ( f ` p ) / k ]_ C e. CC ) )
96	93, 95	rspc 2835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f ` p ) e. A -> ( A. k e. A C e. CC -> [_ ( f ` p ) / k ]_ C e. CC ) )
97	64, 91, 96	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> [_ ( f ` p ) / k ]_ C e. CC )
98		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
99	98	fvmpts 5590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` p ) e. A /\ [_ ( f ` p ) / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ C )
100	64, 97, 99	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) = [_ ( f ` p ) / k ]_ C )
101	89, 100	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) x. ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) ) = ( [_ ( f ` p ) / k ]_ B x. [_ ( f ` p ) / k ]_ C ) )
102	66, 78, 101	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) x. ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) ) )
103		fvco3 5583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) )
104	63, 33, 103	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) )
105		fvco3 5583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) )
106	63, 33, 105	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) )
107		fvco3 5583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ p e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) )
108	63, 33, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) )
109	106, 108	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) x. ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` p ) ) x. ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` p ) ) ) )
110	102, 104, 109	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) x. ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) ) )
111	27	iftrued 3541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) )
112	27	iftrued 3541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) )
113	27	iftrued 3541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) )
114	112, 113	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) x. ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) ) )
115	110, 111, 114	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) )
116	1	eqcomi 2181	. . . . . . . . . . 11 |- 1 = ( 1 x. 1 )
117		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> -. p <_ (♯ ` A ) )
118	117	iffalsed 3544	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) = 1 )
119	117	iffalsed 3544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) = 1 )
120	117	iffalsed 3544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) = 1 )
121	119, 120	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) = ( 1 x. 1 ) )
122	116, 118, 121	3eqtr4a 2236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p <_ (♯ ` A ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) )
123		exmiddc 836	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID p <_ (♯ ` A ) -> ( p <_ (♯ ` A ) \/ -. p <_ (♯ ` A ) ) )
124	40, 123	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( p <_ (♯ ` A ) \/ -. p <_ (♯ ` A ) ) )
125	115, 122, 124	mpjaodan 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) = ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) )
126	78, 75	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` p ) ) e. CC )
127	104, 126	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) e. CC )
128	127, 35, 40	ifcldadc 3563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC )
129		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) )
130	42, 129	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = p -> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
131		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) )
132	130, 131	fvmptg 5588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. NN /\ if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
133	18, 128, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` p ) , 1 ) )
134	47, 61	oveq12d 5887	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) x. ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) ) = ( if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` p ) , 1 ) x. if ( p <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` p ) , 1 ) ) )
135	125, 133, 134	3eqtr4d 2220	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) = ( ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) x. ( ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ` p ) ) )
136	15, 48, 62, 135	prod3fmul 11533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
137		fveq2 5511	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` n ) ) )
138		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
139	67	fmpttd 5667	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( B x. C ) ) : A --> CC )
140	139	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> ( B x. C ) ) : A --> CC )
141	140	ffvelcdmda 5647	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) e. CC )
142		fvco3 5583	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` n ) ) )
143	23, 142	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` ( f ` n ) ) )
144	137, 13, 138, 141, 143	fprodseq 11575	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
145		fveq2 5511	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
146	21	ffvelcdmda 5647	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
147		fvco3 5583	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
148	23, 147	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
149	145, 13, 138, 146, 148	fprodseq 11575	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
150		fveq2 5511	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
151	51	ffvelcdmda 5647	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
152		fvco3 5583	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
153	23, 152	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
154	150, 13, 138, 151, 153	fprodseq 11575	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
155	149, 154	oveq12d 5887	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) x. prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) , 1 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) ) )
156	136, 144, 155	3eqtr4d 2220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = ( prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) x. prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) )
157		prodfct 11579	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. A ( B x. C ) e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = prod_ k e. A ( B x. C ) )
158	68, 157	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = prod_ k e. A ( B x. C ) )
159	158	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B x. C ) ) ` m ) = prod_ k e. A ( B x. C ) )
160		prodfct 11579	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ k e. A B )
161	79, 160	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ k e. A B )
162		prodfct 11579	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A C e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
163	90, 162	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
164	161, 163	oveq12d 5887	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) x. prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )
165	164	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) x. prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )
166	156, 159, 165	3eqtr3d 2218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )
167	166	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) ) )
168	167	exlimdv 1819	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) ) )
169	168	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) ) )
170		fprodmul.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
171		fz1f1o 11367	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
172	170, 171	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
173	12, 169, 172	mpjaod 718	1 |- ( ph -> prod_ k e. A ( B x. C ) = ( prod_ k e. A B x. prod_ k e. A C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   [_csb 3057   (/)c0 3422   ifcif 3534   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   o. ccom 4627   -->wf 5208   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   Fincfn 6734   CCcc 7800   1c1 7803   x. cmul 7807   <_ cle 7983   NNcn 8908   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995   seqcseq 10431  ♯chash 10739   prod_cprod 11542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-proddc 11543

This theorem is referenced by:  fprodsplitdc  11588  fproddivap  11622