Theorem fprodcllem 11614

Description: Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllem.1	|- ( ph -> S C_ CC )
fprodcllem.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
fprodcllem.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodcllem.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
fprodcllem.5	|- ( ph -> 1 e. S )

Assertion

Ref	Expression
fprodcllem	|- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   x, B, y   S, k, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fprodcllem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11561	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. (/) B )
2		prod0 11593	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) B = 1
3	1, 2	eqtrdi 2226	. . . 4 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A B = 1 )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> prod_ k e. A B = 1 )
5		fprodcllem.5	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. S )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> 1 e. S )
7	4, 6	eqeltrd 2254	. 2 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> prod_ k e. A B e. S )
8		fprodcllem.1	. . . 4 |- ( ph -> S C_ CC )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> S C_ CC )
10		fprodcllem.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
11	10	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
12		fprodcllem.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
13	12	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A e. Fin )
14		fprodcllem.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
15	14	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A =/= (/) ) /\ k e. A ) -> B e. S )
16		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A =/= (/) )
17	9, 11, 13, 15, 16	fprodcl2lem 11613	. 2 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> prod_ k e. A B e. S )
18		fin0or 6886	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ E. w w e. A ) )
19		n0r 3437	. . . 4 |- ( E. w w e. A -> A =/= (/) )
20	19	orim2i 761	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ E. w w e. A ) -> ( A = (/) \/ A =/= (/) ) )
21	12, 18, 20	3syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ A =/= (/) ) )
22	7, 17, 21	mpjaodan 798	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   =/= wne 2347   C_ wss 3130   (/)c0 3423  (class class class)co 5875   Fincfn 6740   CCcc 7809   1c1 7812   x. cmul 7816   prod_cprod 11558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-proddc 11559

This theorem is referenced by:  fprodcl  11615  fprodrecl  11616  fprodzcl  11617  fprodnncl  11618  fprodrpcl  11619  fprodnn0cl  11620  fprodcllemf  11621