Theorem fprodcllem 11755

Description: Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllem.1	|- ( ph -> S C_ CC )
fprodcllem.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
fprodcllem.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodcllem.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
fprodcllem.5	|- ( ph -> 1 e. S )

Assertion

Ref	Expression
fprodcllem	|- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   x, B, y   S, k, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fprodcllem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 11702	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. (/) B )
2		prod0 11734	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) B = 1
3	1, 2	eqtrdi 2245	. . . 4 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A B = 1 )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> prod_ k e. A B = 1 )
5		fprodcllem.5	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. S )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> 1 e. S )
7	4, 6	eqeltrd 2273	. 2 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> prod_ k e. A B e. S )
8		fprodcllem.1	. . . 4 |- ( ph -> S C_ CC )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> S C_ CC )
10		fprodcllem.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
11	10	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
12		fprodcllem.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
13	12	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A e. Fin )
14		fprodcllem.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
15	14	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A =/= (/) ) /\ k e. A ) -> B e. S )
16		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A =/= (/) )
17	9, 11, 13, 15, 16	fprodcl2lem 11754	. 2 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> prod_ k e. A B e. S )
18		fin0or 6947	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ E. w w e. A ) )
19		n0r 3464	. . . 4 |- ( E. w w e. A -> A =/= (/) )
20	19	orim2i 762	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ E. w w e. A ) -> ( A = (/) \/ A =/= (/) ) )
21	12, 18, 20	3syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ A =/= (/) ) )
22	7, 17, 21	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   =/= wne 2367   C_ wss 3157   (/)c0 3450  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   CCcc 7875   1c1 7878   x. cmul 7882   prod_cprod 11699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995  ax-arch 7996  ax-caucvg 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-q 9691  df-rp 9726  df-fz 10081  df-fzo 10215  df-seqfrec 10525  df-exp 10616  df-ihash 10853  df-cj 10992  df-re 10993  df-im 10994  df-rsqrt 11148  df-abs 11149  df-clim 11428  df-proddc 11700

This theorem is referenced by:  fprodcl  11756  fprodrecl  11757  fprodzcl  11758  fprodnncl  11759  fprodrpcl  11760  fprodnn0cl  11761  fprodcllemf  11762