Theorem prodeq1 12268

Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2386	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
2		nfcv 2386	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
3	1, 2	prodeq1f 12267	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  ∏cprod 12265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-cnv 4762  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-recs 6549  df-frec 6635  df-seqfrec 10837  df-proddc 12266

This theorem is referenced by:  prodeq1i  12276  prodeq1d  12279  prod1dc  12301  fprodf1o  12303  fprodssdc  12305  fprodmul  12306  fprodcl2lem  12320  fprodcllem  12321  fprodconst  12335  fprodap0  12336  fprod2d  12338  fprodrec  12344  fprodap0f  12351  fprodle  12355  fprodmodd  12356