ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodge0i Unicode version

Theorem prodge0i 8884
Description: Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1  |-  A  e.  RR
prodgt0.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
prodge0i  |-  ( ( 0  <  A  /\  0  <_  ( A  x.  B ) )  -> 
0  <_  B )

Proof of Theorem prodge0i
StepHypRef Expression
1 ltplus1.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 prodgt0.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 prodge0 8829 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  < 
A  /\  0  <_  ( A  x.  B ) ) )  ->  0  <_  B )
41, 2, 3mpanl12 436 1  |-  ( ( 0  <  A  /\  0  <_  ( A  x.  B ) )  -> 
0  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   RRcr 7828   0cc0 7829    x. cmul 7834    < clt 8010    <_ cle 8011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator