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Theorem recvguniq 10424
Description: Limits are unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
recvguniq.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
recvguniq.lre  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
recvguniq.l  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
recvguniq.mre  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
recvguniq.m  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
recvguniq  |-  ( ph  ->  L  =  M )
Distinct variable groups:    j, F, x   
j, L, k, x   
j, M, k, x    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, j)    F( k)

Proof of Theorem recvguniq
StepHypRef Expression
1 recvguniq.lre . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
2 recvguniq.mre . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3 reaplt 8063 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L #  M  <->  ( L  <  M  \/  M  < 
L ) ) )
41, 2, 3syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L #  M  <->  ( L  <  M  \/  M  < 
L ) ) )
5 oveq2 5660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( L  +  x )  =  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )
65breq2d 3857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( L  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
7 oveq2 5660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  +  x )  =  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )
87breq2d 3857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( L  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  L  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
96, 8anbi12d 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) )  /\  L  <  (
( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) ) )
10 oveq2 5660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( M  +  x )  =  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )
1110breq2d 3857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
127breq2d 3857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( M  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  M  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
1311, 12anbi12d 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) ) )
149, 13anbi12d 457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( (
( F `  k
)  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  L  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) ) ) )
1514rexbidv 2381 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )
16 recvguniq.l . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
17 recvguniq.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
18 r19.26 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
1916, 17, 18sylanbrc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
20 nnuz 9052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2120rexanuz2 10420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
2221ralbii 2384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  A. x  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
2319, 22sylibr 132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
2420r19.2uz 10422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
2524ralimi 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
2623, 25syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( M  +  x
)  /\  M  <  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) )
2726adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
28 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  <  M )
291adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  RR )
302adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  RR )
31 difrp 9168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  <  M  <->  ( M  -  L )  e.  RR+ ) )
3229, 30, 31syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  <  M  <->  ( M  -  L )  e.  RR+ ) )
3328, 32mpbid 145 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  -  L )  e.  RR+ )
3433rphalfcld 9184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( ( M  -  L )  /  2 )  e.  RR+ )
3515, 27, 34rspcdva 2727 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) )
36 recvguniq.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
3736ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  F : NN --> RR )
382ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  M  e.  RR )
391ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
40 simprl 498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
41 simprrr 507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) )  ->  M  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) )
4241adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  M  <  ( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )
43 simprll 504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) )
4443adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )
4537, 38, 39, 40, 42, 44recvguniqlem 10423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  -> F.  )
4635, 45rexlimddv 2493 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  -> F.  )
4746ex 113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  <  M  -> F.  ) )
48 oveq2 5660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( L  +  x )  =  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )
4948breq2d 3857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( L  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
50 oveq2 5660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  +  x )  =  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )
5150breq2d 3857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( L  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  L  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
5249, 51anbi12d 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) )  /\  L  <  (
( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) ) )
53 oveq2 5660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( M  +  x )  =  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )
5453breq2d 3857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
5550breq2d 3857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( M  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  M  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
5654, 55anbi12d 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) ) )
5752, 56anbi12d 457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( (
( F `  k
)  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  L  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) ) ) )
5857rexbidv 2381 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )
5926adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
60 difrp 9168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  <  L  <->  ( L  -  M )  e.  RR+ ) )
612, 1, 60syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  <  L  <->  ( L  -  M )  e.  RR+ ) )
6261biimpa 290 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  ( L  -  M )  e.  RR+ )
6362rphalfcld 9184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  ( ( L  -  M )  /  2 )  e.  RR+ )
6458, 59, 63rspcdva 2727 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) )
6536ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  F : NN --> RR )
661ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
672ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  M  e.  RR )
68 simprl 498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
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) ) ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
69 simprlr 505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) )  ->  L  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) )
7069adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
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( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
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2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )
71 simprrl 506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
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( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) )
7271adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )
7365, 66, 67, 68, 70, 72recvguniqlem 10423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  -> F.  )
7464, 73rexlimddv 2493 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  -> F.  )
7574ex 113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  <  L  -> F.  ) )
7647, 75jaod 672 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( L  < 
M  \/  M  < 
L )  -> F.  ) )
774, 76sylbid 148 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L #  M  -> F.  ) )
78 dfnot 1307 . . 3  |-  ( -.  L #  M  <->  ( L #  M  -> F.  ) )
7977, 78sylibr 132 . 2  |-  ( ph  ->  -.  L #  M )
801recnd 7514 . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
812recnd 7514 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
82 apti 8097 . . 3  |-  ( ( L  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( L  =  M  <->  -.  L #  M )
)
8380, 81, 82syl2anc 403 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  =  M  <->  -.  L #  M )
)
8479, 83mpbird 165 1  |-  ( ph  ->  L  =  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289   F. wfal 1294    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   class class class wbr 3845   -->wf 5011   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7346   RRcr 7347   1c1 7349    + caddc 7351    < clt 7520    - cmin 7651   # cap 8056    / cdiv 8137   NNcn 8420   2c2 8471   ZZ>=cuz 9017   RR+crp 9132
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-rp 9133
This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  10453
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