Theorem recvguniq 10424

Description: Limits are unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
recvguniq.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
recvguniq.lre	|- ( ph -> L e. RR )
recvguniq.l	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) )
recvguniq.mre	|- ( ph -> M e. RR )
recvguniq.m	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
recvguniq	|- ( ph -> L = M )

Distinct variable groups:   j, F, x   j, L, k, x   j, M, k, x   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( x, j)   F( k)

Proof of Theorem recvguniq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recvguniq.lre	. . . . 5 |- ( ph -> L e. RR )
2		recvguniq.mre	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
3		reaplt 8063	. . . . 5 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( L # M <-> ( L < M \/ M < L ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ph -> ( L # M <-> ( L < M \/ M < L ) ) )
5		oveq2 5660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( L + x ) = ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
6	5	breq2d 3857	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( L + x ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
7		oveq2 5660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) + x ) = ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
8	7	breq2d 3857	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( L < ( ( F ` k ) + x ) <-> L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
9	6, 8	anbi12d 457	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) )
10		oveq2 5660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( M + x ) = ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
11	10	breq2d 3857	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( M + x ) <-> ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
12	7	breq2d 3857	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( M < ( ( F ` k ) + x ) <-> M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
13	11, 12	anbi12d 457	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) )
14	9, 13	anbi12d 457	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) )
15	14	rexbidv 2381	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) )
16		recvguniq.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) )
17		recvguniq.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) )
18		r19.26 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. RR+ ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
19	16, 17, 18	sylanbrc 408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
20		nnuz 9052	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
21	20	rexanuz2 10420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
22	21	ralbii 2384	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> A. x e. RR+ ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
23	19, 22	sylibr 132	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
24	20	r19.2uz 10422	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
25	24	ralimi 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
26	23, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
27	26	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
28		simpr 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L < M )
29	1	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. RR )
30	2	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. RR )
31		difrp 9168	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( L < M <-> ( M - L ) e. RR+ ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L < M <-> ( M - L ) e. RR+ ) )
33	28, 32	mpbid 145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M - L ) e. RR+ )
34	33	rphalfcld 9184	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( M - L ) / 2 ) e. RR+ )
35	15, 27, 34	rspcdva 2727	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) )
36		recvguniq.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> RR )
37	36	ad2antrr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR )
38	2	ad2antrr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> M e. RR )
39	1	ad2antrr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
40		simprl 498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> k e. NN )
41		simprrr 507	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) -> M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
42	41	adantl 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
43		simprll 504	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
44	43	adantl 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
45	37, 38, 39, 40, 42, 44	recvguniqlem 10423	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F. )
46	35, 45	rexlimddv 2493	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> F. )
47	46	ex 113	. . . . 5 |- ( ph -> ( L < M -> F. ) )
48		oveq2 5660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( L + x ) = ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
49	48	breq2d 3857	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( L + x ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
50		oveq2 5660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) + x ) = ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
51	50	breq2d 3857	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( L < ( ( F ` k ) + x ) <-> L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
52	49, 51	anbi12d 457	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) )
53		oveq2 5660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( M + x ) = ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
54	53	breq2d 3857	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( M + x ) <-> ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
55	50	breq2d 3857	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( M < ( ( F ` k ) + x ) <-> M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
56	54, 55	anbi12d 457	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) )
57	52, 56	anbi12d 457	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) )
58	57	rexbidv 2381	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) )
59	26	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M < L ) -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
60		difrp 9168	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M < L <-> ( L - M ) e. RR+ ) )
61	2, 1, 60	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M < L <-> ( L - M ) e. RR+ ) )
62	61	biimpa 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M < L ) -> ( L - M ) e. RR+ )
63	62	rphalfcld 9184	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M < L ) -> ( ( L - M ) / 2 ) e. RR+ )
64	58, 59, 63	rspcdva 2727	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M < L ) -> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) )
65	36	ad2antrr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR )
66	1	ad2antrr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
67	2	ad2antrr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> M e. RR )
68		simprl 498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> k e. NN )
69		simprlr 505	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) -> L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
70	69	adantl 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
71		simprrl 506	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
72	71	adantl 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
73	65, 66, 67, 68, 70, 72	recvguniqlem 10423	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F. )
74	64, 73	rexlimddv 2493	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < L ) -> F. )
75	74	ex 113	. . . . 5 |- ( ph -> ( M < L -> F. ) )
76	47, 75	jaod 672	. . . 4 |- ( ph -> ( ( L < M \/ M < L ) -> F. ) )
77	4, 76	sylbid 148	. . 3 |- ( ph -> ( L # M -> F. ) )
78		dfnot 1307	. . 3 |- ( -. L # M <-> ( L # M -> F. ) )
79	77, 78	sylibr 132	. 2 |- ( ph -> -. L # M )
80	1	recnd 7514	. . 3 |- ( ph -> L e. CC )
81	2	recnd 7514	. . 3 |- ( ph -> M e. CC )
82		apti 8097	. . 3 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC ) -> ( L = M <-> -. L # M ) )
83	80, 81, 82	syl2anc 403	. 2 |- ( ph -> ( L = M <-> -. L # M ) )
84	79, 83	mpbird 165	1 |- ( ph -> L = M )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 664   = wceq 1289   F. wfal 1294   e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   class class class wbr 3845   -->wf 5011   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7346   RRcr 7347   1c1 7349   + caddc 7351   < clt 7520   - cmin 7651   # cap 8056   / cdiv 8137   NNcn 8420   2c2 8471   ZZ>=cuz 9017   RR+crp 9132

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-rp 9133

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  10453