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Theorem recvguniq 10707
Description: Limits are unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
recvguniq.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
recvguniq.lre  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
recvguniq.l  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
recvguniq.mre  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
recvguniq.m  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
recvguniq  |-  ( ph  ->  L  =  M )
Distinct variable groups:    j, F, x   
j, L, k, x   
j, M, k, x    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, j)    F( k)

Proof of Theorem recvguniq
StepHypRef Expression
1 recvguniq.lre . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
2 recvguniq.mre . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3 reaplt 8313 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L #  M  <->  ( L  <  M  \/  M  < 
L ) ) )
41, 2, 3syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L #  M  <->  ( L  <  M  \/  M  < 
L ) ) )
5 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( L  +  x )  =  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )
65breq2d 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( L  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
7 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  +  x )  =  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )
87breq2d 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( L  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  L  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
96, 8anbi12d 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) )  /\  L  <  (
( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) ) )
10 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( M  +  x )  =  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )
1110breq2d 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
127breq2d 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( M  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  M  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
1311, 12anbi12d 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) ) )
149, 13anbi12d 462 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( (
( F `  k
)  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  L  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) ) ) )
1514rexbidv 2413 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )
16 recvguniq.l . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
17 recvguniq.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
18 r19.26 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
1916, 17, 18sylanbrc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
20 nnuz 9310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2120rexanuz2 10703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
2221ralbii 2416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  A. x  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
2319, 22sylibr 133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
2420r19.2uz 10705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
2524ralimi 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
2623, 25syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( M  +  x
)  /\  M  <  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) )
2726adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
28 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  <  M )
291adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  RR )
302adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  RR )
31 difrp 9426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  <  M  <->  ( M  -  L )  e.  RR+ ) )
3229, 30, 31syl2anc 406 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  <  M  <->  ( M  -  L )  e.  RR+ ) )
3328, 32mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  -  L )  e.  RR+ )
3433rphalfcld 9442 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( ( M  -  L )  /  2 )  e.  RR+ )
3515, 27, 34rspcdva 2766 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) )
36 recvguniq.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
3736ad2antrr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  F : NN --> RR )
382ad2antrr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  M  e.  RR )
391ad2antrr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
40 simprl 503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
41 simprrr 512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) )  ->  M  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) )
4241adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  M  <  ( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )
43 simprll 509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) )
4443adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )
4537, 38, 39, 40, 42, 44recvguniqlem 10706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  -> F.  )
4635, 45rexlimddv 2529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  -> F.  )
4746ex 114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  <  M  -> F.  ) )
48 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( L  +  x )  =  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )
4948breq2d 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( L  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
50 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  +  x )  =  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )
5150breq2d 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( L  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  L  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
5249, 51anbi12d 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) )  /\  L  <  (
( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) ) )
53 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( M  +  x )  =  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )
5453breq2d 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
5550breq2d 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( M  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  M  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
5654, 55anbi12d 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) ) )
5752, 56anbi12d 462 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( (
( F `  k
)  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  L  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) ) ) )
5857rexbidv 2413 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )
5926adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
60 difrp 9426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  <  L  <->  ( L  -  M )  e.  RR+ ) )
612, 1, 60syl2anc 406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  <  L  <->  ( L  -  M )  e.  RR+ ) )
6261biimpa 292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  ( L  -  M )  e.  RR+ )
6362rphalfcld 9442 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  ( ( L  -  M )  /  2 )  e.  RR+ )
6458, 59, 63rspcdva 2766 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) )
6536ad2antrr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  F : NN --> RR )
661ad2antrr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
672ad2antrr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  M  e.  RR )
68 simprl 503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
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( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
69 simprlr 510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) )  ->  L  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) )
7069adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
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( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
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2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )
71 simprrl 511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
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( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) )
7271adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )
7365, 66, 67, 68, 70, 72recvguniqlem 10706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  -> F.  )
7464, 73rexlimddv 2529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  -> F.  )
7574ex 114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  <  L  -> F.  ) )
7647, 75jaod 689 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( L  < 
M  \/  M  < 
L )  -> F.  ) )
774, 76sylbid 149 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L #  M  -> F.  ) )
78 dfnot 1332 . . 3  |-  ( -.  L #  M  <->  ( L #  M  -> F.  ) )
7977, 78sylibr 133 . 2  |-  ( ph  ->  -.  L #  M )
801recnd 7758 . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
812recnd 7758 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
82 apti 8347 . . 3  |-  ( ( L  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( L  =  M  <->  -.  L #  M )
)
8380, 81, 82syl2anc 406 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  =  M  <->  -.  L #  M )
)
8479, 83mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  L  =  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    = wceq 1314   F. wfal 1319    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392   class class class wbr 3897   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   1c1 7585    + caddc 7587    < clt 7764    - cmin 7897   # cap 8306    / cdiv 8392   NNcn 8677   2c2 8728   ZZ>=cuz 9275   RR+crp 9390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-rp 9391
This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  10736
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