Theorem recvguniq 11705

Description: Limits are unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
recvguniq.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
recvguniq.lre	|- ( ph -> L e. RR )
recvguniq.l	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) )
recvguniq.mre	|- ( ph -> M e. RR )
recvguniq.m	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
recvguniq	|- ( ph -> L = M )

Distinct variable groups:   j, F, x   j, L, k, x   j, M, k, x   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( x, j)   F( k)

Proof of Theorem recvguniq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recvguniq.lre	. . . . 5 |- ( ph -> L e. RR )
2		recvguniq.mre	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
3		reaplt 8879	. . . . 5 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( L # M <-> ( L < M \/ M < L ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( L # M <-> ( L < M \/ M < L ) ) )
5		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( L + x ) = ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
6	5	breq2d 4126	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( L + x ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
7		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) + x ) = ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
8	7	breq2d 4126	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( L < ( ( F ` k ) + x ) <-> L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
9	6, 8	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) )
10		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( M + x ) = ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
11	10	breq2d 4126	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( M + x ) <-> ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
12	7	breq2d 4126	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( M < ( ( F ` k ) + x ) <-> M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) )
14	9, 13	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) )
15	14	rexbidv 2545	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) )
16		recvguniq.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) )
17		recvguniq.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) )
18		r19.26 2671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. RR+ ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
19	16, 17, 18	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
20		nnuz 9908	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
21	20	rexanuz2 11701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
22	21	ralbii 2550	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> A. x e. RR+ ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
23	19, 22	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
24	20	r19.2uz 11703	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
25	24	ralimi 2607	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
26	23, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
28		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L < M )
29	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. RR )
30	2	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. RR )
31		difrp 10043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( L < M <-> ( M - L ) e. RR+ ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L < M <-> ( M - L ) e. RR+ ) )
33	28, 32	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M - L ) e. RR+ )
34	33	rphalfcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( M - L ) / 2 ) e. RR+ )
35	15, 27, 34	rspcdva 2928	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) )
36		recvguniq.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> RR )
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR )
38	2	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> M e. RR )
39	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
40		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> k e. NN )
41		simprrr 542	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) -> M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
42	41	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
43		simprll 539	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
44	43	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
45	37, 38, 39, 40, 42, 44	recvguniqlem 11704	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F. )
46	35, 45	rexlimddv 2667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> F. )
47	46	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( L < M -> F. ) )
48		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( L + x ) = ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
49	48	breq2d 4126	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( L + x ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
50		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) + x ) = ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
51	50	breq2d 4126	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( L < ( ( F ` k ) + x ) <-> L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
52	49, 51	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) )
53		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( M + x ) = ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
54	53	breq2d 4126	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( M + x ) <-> ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
55	50	breq2d 4126	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( M < ( ( F ` k ) + x ) <-> M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
56	54, 55	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) )
57	52, 56	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) )
58	57	rexbidv 2545	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) )
59	26	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M < L ) -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
60		difrp 10043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M < L <-> ( L - M ) e. RR+ ) )
61	2, 1, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M < L <-> ( L - M ) e. RR+ ) )
62	61	biimpa 296	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M < L ) -> ( L - M ) e. RR+ )
63	62	rphalfcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M < L ) -> ( ( L - M ) / 2 ) e. RR+ )
64	58, 59, 63	rspcdva 2928	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M < L ) -> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) )
65	36	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR )
66	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
67	2	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> M e. RR )
68		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> k e. NN )
69		simprlr 540	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) -> L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
70	69	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
71		simprrl 541	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
72	71	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
73	65, 66, 67, 68, 70, 72	recvguniqlem 11704	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F. )
74	64, 73	rexlimddv 2667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < L ) -> F. )
75	74	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( M < L -> F. ) )
76	47, 75	jaod 725	. . . 4 |- ( ph -> ( ( L < M \/ M < L ) -> F. ) )
77	4, 76	sylbid 150	. . 3 |- ( ph -> ( L # M -> F. ) )
78		dfnot 1416	. . 3 |- ( -. L # M <-> ( L # M -> F. ) )
79	77, 78	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> -. L # M )
80	1	recnd 8318	. . 3 |- ( ph -> L e. CC )
81	2	recnd 8318	. . 3 |- ( ph -> M e. CC )
82		apti 8913	. . 3 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC ) -> ( L = M <-> -. L # M ) )
83	80, 81, 82	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( L = M <-> -. L # M ) )
84	79, 83	mpbird 167	1 |- ( ph -> L = M )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   F. wfal 1403   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   class class class wbr 4114   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   - cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   ZZ>=cuz 9871   RR+crp 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11734