Theorem recvguniq 11739

Description: Limits are unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
recvguniq.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
recvguniq.lre	|- ( ph -> L e. RR )
recvguniq.l	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) )
recvguniq.mre	|- ( ph -> M e. RR )
recvguniq.m	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
recvguniq	|- ( ph -> L = M )

Distinct variable groups:   j, F, x   j, L, k, x   j, M, k, x   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( x, j)   F( k)

Proof of Theorem recvguniq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recvguniq.lre	. . . . 5 |- ( ph -> L e. RR )
2		recvguniq.mre	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
3		reaplt 8906	. . . . 5 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( L # M <-> ( L < M \/ M < L ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( L # M <-> ( L < M \/ M < L ) ) )
5		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( L + x ) = ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
6	5	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( L + x ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
7		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) + x ) = ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
8	7	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( L < ( ( F ` k ) + x ) <-> L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
9	6, 8	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) )
10		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( M + x ) = ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
11	10	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( M + x ) <-> ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
12	7	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( M < ( ( F ` k ) + x ) <-> M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
13	11, 12	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) )
14	9, 13	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) )
15	14	rexbidv 2551	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) )
16		recvguniq.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) )
17		recvguniq.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) )
18		r19.26 2677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. RR+ ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
19	16, 17, 18	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
20		nnuz 9937	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
21	20	rexanuz2 11735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
22	21	ralbii 2556	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> A. x e. RR+ ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
23	19, 22	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
24	20	r19.2uz 11737	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
25	24	ralimi 2613	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
26	23, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
28		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L < M )
29	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. RR )
30	2	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. RR )
31		difrp 10072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( L < M <-> ( M - L ) e. RR+ ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L < M <-> ( M - L ) e. RR+ ) )
33	28, 32	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M - L ) e. RR+ )
34	33	rphalfcld 10089	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( M - L ) / 2 ) e. RR+ )
35	15, 27, 34	rspcdva 2934	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) )
36		recvguniq.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> RR )
37	36	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR )
38	2	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> M e. RR )
39	1	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
40		simprl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> k e. NN )
41		simprrr 546	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) -> M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
42	41	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
43		simprll 543	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
44	43	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
45	37, 38, 39, 40, 42, 44	recvguniqlem 11738	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F. )
46	35, 45	rexlimddv 2673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> F. )
47	46	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( L < M -> F. ) )
48		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( L + x ) = ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
49	48	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( L + x ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
50		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) + x ) = ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
51	50	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( L < ( ( F ` k ) + x ) <-> L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
52	49, 51	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) )
53		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( M + x ) = ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
54	53	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( M + x ) <-> ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
55	50	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( M < ( ( F ` k ) + x ) <-> M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
56	54, 55	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) )
57	52, 56	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) )
58	57	rexbidv 2551	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) )
59	26	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M < L ) -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
60		difrp 10072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M < L <-> ( L - M ) e. RR+ ) )
61	2, 1, 60	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M < L <-> ( L - M ) e. RR+ ) )
62	61	biimpa 296	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M < L ) -> ( L - M ) e. RR+ )
63	62	rphalfcld 10089	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M < L ) -> ( ( L - M ) / 2 ) e. RR+ )
64	58, 59, 63	rspcdva 2934	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M < L ) -> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) )
65	36	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR )
66	1	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
67	2	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> M e. RR )
68		simprl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> k e. NN )
69		simprlr 544	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) -> L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
70	69	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
71		simprrl 545	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
72	71	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
73	65, 66, 67, 68, 70, 72	recvguniqlem 11738	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F. )
74	64, 73	rexlimddv 2673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < L ) -> F. )
75	74	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( M < L -> F. ) )
76	47, 75	jaod 729	. . . 4 |- ( ph -> ( ( L < M \/ M < L ) -> F. ) )
77	4, 76	sylbid 150	. . 3 |- ( ph -> ( L # M -> F. ) )
78		dfnot 1420	. . 3 |- ( -. L # M <-> ( L # M -> F. ) )
79	77, 78	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> -. L # M )
80	1	recnd 8344	. . 3 |- ( ph -> L e. CC )
81	2	recnd 8344	. . 3 |- ( ph -> M e. CC )
82		apti 8940	. . 3 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC ) -> ( L = M <-> -. L # M ) )
83	80, 81, 82	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( L = M <-> -. L # M ) )
84	79, 83	mpbird 167	1 |- ( ph -> L = M )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   F. wfal 1407   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   class class class wbr 4125   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   - cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   ZZ>=cuz 9900   RR+crp 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11768