Theorem recvguniq 11177

Description: Limits are unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
recvguniq.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
recvguniq.lre	|- ( ph -> L e. RR )
recvguniq.l	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) )
recvguniq.mre	|- ( ph -> M e. RR )
recvguniq.m	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
recvguniq	|- ( ph -> L = M )

Distinct variable groups:   j, F, x   j, L, k, x   j, M, k, x   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( x, j)   F( k)

Proof of Theorem recvguniq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recvguniq.lre	. . . . 5 |- ( ph -> L e. RR )
2		recvguniq.mre	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
3		reaplt 8632	. . . . 5 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( L # M <-> ( L < M \/ M < L ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( L # M <-> ( L < M \/ M < L ) ) )
5		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( L + x ) = ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
6	5	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( L + x ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
7		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) + x ) = ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
8	7	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( L < ( ( F ` k ) + x ) <-> L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
9	6, 8	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) )
10		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( M + x ) = ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
11	10	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( M + x ) <-> ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
12	7	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( M < ( ( F ` k ) + x ) <-> M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) )
13	11, 12	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) )
14	9, 13	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) )
15	14	rexbidv 2498	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( M - L ) / 2 ) -> ( E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) )
16		recvguniq.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) )
17		recvguniq.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) )
18		r19.26 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. RR+ ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
19	16, 17, 18	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
20		nnuz 9654	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
21	20	rexanuz2 11173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
22	21	ralbii 2503	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> A. x e. RR+ ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
23	19, 22	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
24	20	r19.2uz 11175	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
25	24	ralimi 2560	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
26	23, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
28		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L < M )
29	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. RR )
30	2	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. RR )
31		difrp 9784	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( L < M <-> ( M - L ) e. RR+ ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L < M <-> ( M - L ) e. RR+ ) )
33	28, 32	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M - L ) e. RR+ )
34	33	rphalfcld 9801	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( M - L ) / 2 ) e. RR+ )
35	15, 27, 34	rspcdva 2873	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) )
36		recvguniq.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> RR )
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR )
38	2	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> M e. RR )
39	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
40		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> k e. NN )
41		simprrr 540	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) -> M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
42	41	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
43		simprll 537	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
44	43	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) )
45	37, 38, 39, 40, 42, 44	recvguniqlem 11176	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( M - L ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( M - L ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F. )
46	35, 45	rexlimddv 2619	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> F. )
47	46	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( L < M -> F. ) )
48		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( L + x ) = ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
49	48	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( L + x ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
50		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) + x ) = ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
51	50	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( L < ( ( F ` k ) + x ) <-> L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
52	49, 51	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) )
53		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( M + x ) = ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
54	53	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( F ` k ) < ( M + x ) <-> ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
55	50	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( M < ( ( F ` k ) + x ) <-> M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) )
56	54, 55	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) )
57	52, 56	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) )
58	57	rexbidv 2498	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( L - M ) / 2 ) -> ( E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) )
59	26	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M < L ) -> A. x e. RR+ E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + x ) /\ L < ( ( F ` k ) + x ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + x ) /\ M < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
60		difrp 9784	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M < L <-> ( L - M ) e. RR+ ) )
61	2, 1, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M < L <-> ( L - M ) e. RR+ ) )
62	61	biimpa 296	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M < L ) -> ( L - M ) e. RR+ )
63	62	rphalfcld 9801	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M < L ) -> ( ( L - M ) / 2 ) e. RR+ )
64	58, 59, 63	rspcdva 2873	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M < L ) -> E. k e. NN ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) )
65	36	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR )
66	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
67	2	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> M e. RR )
68		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> k e. NN )
69		simprlr 538	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) -> L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
70	69	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
71		simprrl 539	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
72	71	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) )
73	65, 66, 67, 68, 70, 72	recvguniqlem 11176	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M < L ) /\ ( k e. NN /\ ( ( ( F ` k ) < ( L + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( M + ( ( L - M ) / 2 ) ) /\ M < ( ( F ` k ) + ( ( L - M ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> F. )
74	64, 73	rexlimddv 2619	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M < L ) -> F. )
75	74	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( M < L -> F. ) )
76	47, 75	jaod 718	. . . 4 |- ( ph -> ( ( L < M \/ M < L ) -> F. ) )
77	4, 76	sylbid 150	. . 3 |- ( ph -> ( L # M -> F. ) )
78		dfnot 1382	. . 3 |- ( -. L # M <-> ( L # M -> F. ) )
79	77, 78	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> -. L # M )
80	1	recnd 8072	. . 3 |- ( ph -> L e. CC )
81	2	recnd 8072	. . 3 |- ( ph -> M e. CC )
82		apti 8666	. . 3 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC ) -> ( L = M <-> -. L # M ) )
83	80, 81, 82	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( L = M <-> -. L # M ) )
84	79, 83	mpbird 167	1 |- ( ph -> L = M )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   F. wfal 1369   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   class class class wbr 4034   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   - cmin 8214   # cap 8625   / cdiv 8716   NNcn 9007   2c2 9058   ZZ>=cuz 9618   RR+crp 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11206