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Theorem recvguniq 11003
Description: Limits are unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
recvguniq.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
recvguniq.lre  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
recvguniq.l  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
recvguniq.mre  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
recvguniq.m  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
recvguniq  |-  ( ph  ->  L  =  M )
Distinct variable groups:    j, F, x   
j, L, k, x   
j, M, k, x    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, j)    F( k)

Proof of Theorem recvguniq
StepHypRef Expression
1 recvguniq.lre . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
2 recvguniq.mre . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3 reaplt 8544 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L #  M  <->  ( L  <  M  \/  M  < 
L ) ) )
41, 2, 3syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L #  M  <->  ( L  <  M  \/  M  < 
L ) ) )
5 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( L  +  x )  =  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )
65breq2d 4015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( L  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
7 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  +  x )  =  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )
87breq2d 4015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( L  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  L  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
96, 8anbi12d 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) )  /\  L  <  (
( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) ) )
10 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( M  +  x )  =  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )
1110breq2d 4015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
127breq2d 4015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( M  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  M  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
1311, 12anbi12d 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) ) )
149, 13anbi12d 473 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( (
( F `  k
)  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  L  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) ) ) )
1514rexbidv 2478 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )
16 recvguniq.l . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
17 recvguniq.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
18 r19.26 2603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
1916, 17, 18sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
20 nnuz 9562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2120rexanuz2 10999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
2221ralbii 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  A. x  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
2319, 22sylibr 134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
2420r19.2uz 11001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
2524ralimi 2540 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
2623, 25syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( M  +  x
)  /\  M  <  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) )
2726adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
28 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  <  M )
291adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  RR )
302adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  RR )
31 difrp 9691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  <  M  <->  ( M  -  L )  e.  RR+ ) )
3229, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  <  M  <->  ( M  -  L )  e.  RR+ ) )
3328, 32mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  -  L )  e.  RR+ )
3433rphalfcld 9708 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( ( M  -  L )  /  2 )  e.  RR+ )
3515, 27, 34rspcdva 2846 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) )
36 recvguniq.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
3736ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  F : NN --> RR )
382ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  M  e.  RR )
391ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
40 simprl 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
41 simprrr 540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) )  ->  M  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) )
4241adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  M  <  ( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )
43 simprll 537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) )
4443adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )
4537, 38, 39, 40, 42, 44recvguniqlem 11002 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  -> F.  )
4635, 45rexlimddv 2599 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  -> F.  )
4746ex 115 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  <  M  -> F.  ) )
48 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( L  +  x )  =  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )
4948breq2d 4015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( L  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
50 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  +  x )  =  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )
5150breq2d 4015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( L  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  L  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
5249, 51anbi12d 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) )  /\  L  <  (
( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) ) )
53 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( M  +  x )  =  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )
5453breq2d 4015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
5550breq2d 4015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( M  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  M  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
5654, 55anbi12d 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) ) )
5752, 56anbi12d 473 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( (
( F `  k
)  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  L  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) ) ) )
5857rexbidv 2478 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )
5926adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
60 difrp 9691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  <  L  <->  ( L  -  M )  e.  RR+ ) )
612, 1, 60syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  <  L  <->  ( L  -  M )  e.  RR+ ) )
6261biimpa 296 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  ( L  -  M )  e.  RR+ )
6362rphalfcld 9708 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  ( ( L  -  M )  /  2 )  e.  RR+ )
6458, 59, 63rspcdva 2846 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) )
6536ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  F : NN --> RR )
661ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
672ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  M  e.  RR )
68 simprl 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
69 simprlr 538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) )  ->  L  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) )
7069adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )
71 simprrl 539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) )
7271adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )
7365, 66, 67, 68, 70, 72recvguniqlem 11002 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  -> F.  )
7464, 73rexlimddv 2599 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  -> F.  )
7574ex 115 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  <  L  -> F.  ) )
7647, 75jaod 717 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( L  < 
M  \/  M  < 
L )  -> F.  ) )
774, 76sylbid 150 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L #  M  -> F.  ) )
78 dfnot 1371 . . 3  |-  ( -.  L #  M  <->  ( L #  M  -> F.  ) )
7977, 78sylibr 134 . 2  |-  ( ph  ->  -.  L #  M )
801recnd 7985 . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
812recnd 7985 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
82 apti 8578 . . 3  |-  ( ( L  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( L  =  M  <->  -.  L #  M )
)
8380, 81, 82syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  =  M  <->  -.  L #  M )
)
8479, 83mpbird 167 1  |-  ( ph  ->  L  =  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353   F. wfal 1358    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4003   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   1c1 7811    + caddc 7813    < clt 7991    - cmin 8127   # cap 8537    / cdiv 8628   NNcn 8918   2c2 8969   ZZ>=cuz 9527   RR+crp 9652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653
This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11032
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