Theorem r19.2uz 11759

Description: A version of r19.2m 3614 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
r19.2uz	⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9931	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2		uzid 9936	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
3		elex2 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
5		rexuz3.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleq2s 2333	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
7		r19.2m 3614	. . . 4 ⊢ ((∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
8	6, 7	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
9	5	uztrn2 9940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
10	9	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍))
11	10	anim1d 336	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
12	11	reximdv2 2649	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑))
13	12	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)
14	8, 13	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)
15	14	rexlimiva 2663	1 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ‘cfv 5377  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-neg 8500  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  recvguniq  11761  climge0  12091