ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  r19.2uz GIF version

Theorem r19.2uz 10935
Description: A version of r19.2m 3495 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
r19.2uz (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.2uz
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9475 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2 uzid 9480 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
3 elex2 2742 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
41, 2, 33syl 17 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
5 rexuz3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
64, 5eleq2s 2261 . . . 4 (𝑗𝑍 → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
7 r19.2m 3495 . . . 4 ((∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
86, 7sylan 281 . . 3 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
95uztrn2 9483 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
109ex 114 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘𝑍))
1110anim1d 334 . . . . 5 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝜑) → (𝑘𝑍𝜑)))
1211reximdv2 2565 . . . 4 (𝑗𝑍 → (∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝜑))
1312imp 123 . . 3 ((𝑗𝑍 ∧ ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘𝑍 𝜑)
148, 13syldan 280 . 2 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘𝑍 𝜑)
1514rexlimiva 2578 1 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1343  wex 1480  wcel 2136  wral 2444  wrex 2445  cfv 5188  cz 9191  cuz 9466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-neg 8072  df-z 9192  df-uz 9467
This theorem is referenced by:  recvguniq  10937  climge0  11266
  Copyright terms: Public domain W3C validator