ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  r19.2uz GIF version

Theorem r19.2uz 10772
Description: A version of r19.2m 3449 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
r19.2uz (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.2uz
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9342 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2 uzid 9347 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
3 elex2 2702 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
41, 2, 33syl 17 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
5 rexuz3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
64, 5eleq2s 2234 . . . 4 (𝑗𝑍 → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
7 r19.2m 3449 . . . 4 ((∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
86, 7sylan 281 . . 3 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
95uztrn2 9350 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
109ex 114 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘𝑍))
1110anim1d 334 . . . . 5 (𝑗𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝜑) → (𝑘𝑍𝜑)))
1211reximdv2 2531 . . . 4 (𝑗𝑍 → (∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝜑))
1312imp 123 . . 3 ((𝑗𝑍 ∧ ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘𝑍 𝜑)
148, 13syldan 280 . 2 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → ∃𝑘𝑍 𝜑)
1514rexlimiva 2544 1 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∃𝑘𝑍 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wex 1468  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  cfv 5123  cz 9061  cuz 9333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-neg 7943  df-z 9062  df-uz 9334
This theorem is referenced by:  recvguniq  10774  climge0  11101
  Copyright terms: Public domain W3C validator