Theorem r19.2uz 10758

Description: A version of r19.2m 3444 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
r19.2uz	⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9328	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2		uzid 9333	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
3		elex2 2697	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
5		rexuz3.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleq2s 2232	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
7		r19.2m 3444	. . . 4 ⊢ ((∃𝑘 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
8	6, 7	sylan 281	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
9	5	uztrn2 9336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
10	9	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍))
11	10	anim1d 334	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝜑) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
12	11	reximdv2 2529	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑))
13	12	imp 123	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)
14	8, 13	syldan 280	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)
15	14	rexlimiva 2542	1 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  ∃wrex 2415  ‘cfv 5118  ℤcz 9047  ℤ_≥cuz 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-neg 7929  df-z 9048  df-uz 9320

This theorem is referenced by:  recvguniq  10760  climge0  11087