Theorem srgfcl 13985

Description: Functionality of the multiplication operation of a ring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgfcl.b	|- B = ( Base ` R )
srgfcl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgfcl	|- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> .x. : ( B X. B ) --> B )

Proof of Theorem srgfcl

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> .x. Fn ( B X. B ) )
2		srgfcl.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
3		srgfcl.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
4	2, 3	srgcl 13982	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a .x. b ) e. B )
5	4	3expb 1230	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a .x. b ) e. B )
6	5	ralrimivva 2614	. . . . 5 |- ( R e. SRing -> A. a e. B A. b e. B ( a .x. b ) e. B )
7		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( c = <. a , b >. -> ( .x. ` c ) = ( .x. ` <. a , b >. ) )
8	7	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( c = <. a , b >. -> ( ( .x. ` c ) e. B <-> ( .x. ` <. a , b >. ) e. B ) )
9		df-ov 6020	. . . . . . . . 9 |- ( a .x. b ) = ( .x. ` <. a , b >. )
10	9	eqcomi 2235	. . . . . . . 8 |- ( .x. ` <. a , b >. ) = ( a .x. b )
11	10	eleq1i 2297	. . . . . . 7 |- ( ( .x. ` <. a , b >. ) e. B <-> ( a .x. b ) e. B )
12	8, 11	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( c = <. a , b >. -> ( ( .x. ` c ) e. B <-> ( a .x. b ) e. B ) )
13	12	ralxp 4873	. . . . 5 |- ( A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B <-> A. a e. B A. b e. B ( a .x. b ) e. B )
14	6, 13	sylibr 134	. . . 4 |- ( R e. SRing -> A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B )
16		fnfvrnss 5807	. . 3 |- ( ( .x. Fn ( B X. B ) /\ A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B ) -> ran .x. C_ B )
17	1, 15, 16	syl2anc 411	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> ran .x. C_ B )
18		df-f 5330	. 2 |- ( .x. : ( B X. B ) --> B <-> ( .x. Fn ( B X. B ) /\ ran .x. C_ B ) )
19	1, 17, 18	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> .x. : ( B X. B ) --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   C_ wss 3200   <.cop 3672   X. cxp 4723   ran crn 4726   Fn wfn 5321   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   .rcmulr 13160  SRingcsrg 13975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-mgp 13933  df-srg 13976

This theorem is referenced by: (None)