Theorem srgfcl 14277

Description: Functionality of the multiplication operation of a ring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgfcl.b	|- B = ( Base ` R )
srgfcl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgfcl	|- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> .x. : ( B X. B ) --> B )

Proof of Theorem srgfcl

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> .x. Fn ( B X. B ) )
2		srgfcl.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
3		srgfcl.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
4	2, 3	srgcl 14274	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a .x. b ) e. B )
5	4	3expb 1235	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a .x. b ) e. B )
6	5	ralrimivva 2632	. . . . 5 |- ( R e. SRing -> A. a e. B A. b e. B ( a .x. b ) e. B )
7		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( c = <. a , b >. -> ( .x. ` c ) = ( .x. ` <. a , b >. ) )
8	7	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( c = <. a , b >. -> ( ( .x. ` c ) e. B <-> ( .x. ` <. a , b >. ) e. B ) )
9		df-ov 6088	. . . . . . . . 9 |- ( a .x. b ) = ( .x. ` <. a , b >. )
10	9	eqcomi 2242	. . . . . . . 8 |- ( .x. ` <. a , b >. ) = ( a .x. b )
11	10	eleq1i 2304	. . . . . . 7 |- ( ( .x. ` <. a , b >. ) e. B <-> ( a .x. b ) e. B )
12	8, 11	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( c = <. a , b >. -> ( ( .x. ` c ) e. B <-> ( a .x. b ) e. B ) )
13	12	ralxp 4923	. . . . 5 |- ( A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B <-> A. a e. B A. b e. B ( a .x. b ) e. B )
14	6, 13	sylibr 134	. . . 4 |- ( R e. SRing -> A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B )
16		fnfvrnss 5868	. . 3 |- ( ( .x. Fn ( B X. B ) /\ A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B ) -> ran .x. C_ B )
17	1, 15, 16	syl2anc 415	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> ran .x. C_ B )
18		df-f 5381	. 2 |- ( .x. : ( B X. B ) --> B <-> ( .x. Fn ( B X. B ) /\ ran .x. C_ B ) )
19	1, 17, 18	sylanbrc 421	1 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> .x. : ( B X. B ) --> B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   <.cop 3712   X. cxp 4772   ran crn 4775   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   .rcmulr 13432  SRingcsrg 14267

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-mgp 14218  df-srg 14268

This theorem is used by: (None)