Theorem srgfcl 13161

Description: Functionality of the multiplication operation of a ring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgfcl.b	|- B = ( Base ` R )
srgfcl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgfcl	|- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> .x. : ( B X. B ) --> B )

Proof of Theorem srgfcl

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> .x. Fn ( B X. B ) )
2		srgfcl.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
3		srgfcl.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
4	2, 3	srgcl 13158	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a .x. b ) e. B )
5	4	3expb 1204	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a .x. b ) e. B )
6	5	ralrimivva 2559	. . . . 5 |- ( R e. SRing -> A. a e. B A. b e. B ( a .x. b ) e. B )
7		fveq2 5517	. . . . . . . 8 |- ( c = <. a , b >. -> ( .x. ` c ) = ( .x. ` <. a , b >. ) )
8	7	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( c = <. a , b >. -> ( ( .x. ` c ) e. B <-> ( .x. ` <. a , b >. ) e. B ) )
9		df-ov 5880	. . . . . . . . 9 |- ( a .x. b ) = ( .x. ` <. a , b >. )
10	9	eqcomi 2181	. . . . . . . 8 |- ( .x. ` <. a , b >. ) = ( a .x. b )
11	10	eleq1i 2243	. . . . . . 7 |- ( ( .x. ` <. a , b >. ) e. B <-> ( a .x. b ) e. B )
12	8, 11	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( c = <. a , b >. -> ( ( .x. ` c ) e. B <-> ( a .x. b ) e. B ) )
13	12	ralxp 4772	. . . . 5 |- ( A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B <-> A. a e. B A. b e. B ( a .x. b ) e. B )
14	6, 13	sylibr 134	. . . 4 |- ( R e. SRing -> A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B )
16		fnfvrnss 5678	. . 3 |- ( ( .x. Fn ( B X. B ) /\ A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B ) -> ran .x. C_ B )
17	1, 15, 16	syl2anc 411	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> ran .x. C_ B )
18		df-f 5222	. 2 |- ( .x. : ( B X. B ) --> B <-> ( .x. Fn ( B X. B ) /\ ran .x. C_ B ) )
19	1, 17, 18	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> .x. : ( B X. B ) --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3131   <.cop 3597   X. cxp 4626   ran crn 4629   Fn wfn 5213   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   .rcmulr 12539  SRingcsrg 13151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-mgp 13136  df-srg 13152

This theorem is referenced by: (None)