Theorem srgfcl 13850

Description: Functionality of the multiplication operation of a ring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgfcl.b	|- B = ( Base ` R )
srgfcl.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgfcl	|- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> .x. : ( B X. B ) --> B )

Proof of Theorem srgfcl

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> .x. Fn ( B X. B ) )
2		srgfcl.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
3		srgfcl.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
4	2, 3	srgcl 13847	. . . . . . 7 |- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a .x. b ) e. B )
5	4	3expb 1207	. . . . . 6 |- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a .x. b ) e. B )
6	5	ralrimivva 2590	. . . . 5 |- ( R e. SRing -> A. a e. B A. b e. B ( a .x. b ) e. B )
7		fveq2 5599	. . . . . . . 8 |- ( c = <. a , b >. -> ( .x. ` c ) = ( .x. ` <. a , b >. ) )
8	7	eleq1d 2276	. . . . . . 7 |- ( c = <. a , b >. -> ( ( .x. ` c ) e. B <-> ( .x. ` <. a , b >. ) e. B ) )
9		df-ov 5970	. . . . . . . . 9 |- ( a .x. b ) = ( .x. ` <. a , b >. )
10	9	eqcomi 2211	. . . . . . . 8 |- ( .x. ` <. a , b >. ) = ( a .x. b )
11	10	eleq1i 2273	. . . . . . 7 |- ( ( .x. ` <. a , b >. ) e. B <-> ( a .x. b ) e. B )
12	8, 11	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( c = <. a , b >. -> ( ( .x. ` c ) e. B <-> ( a .x. b ) e. B ) )
13	12	ralxp 4839	. . . . 5 |- ( A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B <-> A. a e. B A. b e. B ( a .x. b ) e. B )
14	6, 13	sylibr 134	. . . 4 |- ( R e. SRing -> A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B )
16		fnfvrnss 5763	. . 3 |- ( ( .x. Fn ( B X. B ) /\ A. c e. ( B X. B ) ( .x. ` c ) e. B ) -> ran .x. C_ B )
17	1, 15, 16	syl2anc 411	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> ran .x. C_ B )
18		df-f 5294	. 2 |- ( .x. : ( B X. B ) --> B <-> ( .x. Fn ( B X. B ) /\ ran .x. C_ B ) )
19	1, 17, 18	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. SRing /\ .x. Fn ( B X. B ) ) -> .x. : ( B X. B ) --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   C_ wss 3174   <.cop 3646   X. cxp 4691   ran crn 4694   Fn wfn 5285   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   .rcmulr 13025  SRingcsrg 13840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-mgp 13798  df-srg 13841

This theorem is referenced by: (None)