Theorem txmetcn 13159

Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )
txmetcnp.4	|- L = ( MetOpen ` E )

Assertion

Ref	Expression
txmetcn	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, w, x, y, z, F   u, J, v, w, x, y, z   u, K, v, w, x, y, z   u, X, v, w, x, y, z   u, Y, v, w, x, y, z   u, Z, v, w, x, y, z   u, C, v, w, x, y, z   u, D, v, w, x, y, z   u, E, v, w, x, y, z   w, L, x, y, z

Allowed substitution hints:   L( v, u)

Proof of Theorem txmetcn

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` C )
2	1	mopntopon 13083	. . . . 5 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3		metcn.4	. . . . . 6 |- K = ( MetOpen ` D )
4	3	mopntopon 13083	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
5		txtopon 12902	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
6	2, 4, 5	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
7	6	3adant3 1007	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
8		txmetcnp.4	. . . . 5 |- L = ( MetOpen ` E )
9	8	mopntopon 13083	. . . 4 |- ( E e. ( *Met ` Z ) -> L e. (TopOn ` Z ) )
10	9	3ad2ant3 1010	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> L e. (TopOn ` Z ) )
11		cncnp 12870	. . 3 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) ) ) )
12	7, 10, 11	syl2anc 409	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) ) ) )
13		fveq2 5486	. . . . . 6 |- ( t = <. x , y >. -> ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) = ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) )
14	13	eleq2d 2236	. . . . 5 |- ( t = <. x , y >. -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) <-> F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) ) )
15	14	ralxp 4747	. . . 4 |- ( A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) <-> A. x e. X A. y e. Y F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) )
16		simplr 520	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> F : ( X X. Y ) --> Z )
17	1, 3, 8	txmetcnp 13158	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )
18	17	adantlr 469	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )
19	16, 18	mpbirand 438	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) )
20	19	2ralbidva 2488	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) -> ( A. x e. X A. y e. Y F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) )
21	15, 20	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) -> ( A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) <-> A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) )
22	21	pm5.32da 448	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )
23	12, 22	bitrd 187	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   <.cop 3579   class class class wbr 3982   X. cxp 4602   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   < clt 7933   RR+crp 9589   *Metcxmet 12620   MetOpencmopn 12625  TopOnctopon 12648   Cn ccn 12825   CnP ccnp 12826   tX ctx 12892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-tx 12893

This theorem is referenced by:  addcncntoplem  13191