Theorem txmetcn 15262

Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )
txmetcnp.4	|- L = ( MetOpen ` E )

Assertion

Ref	Expression
txmetcn	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, w, x, y, z, F   u, J, v, w, x, y, z   u, K, v, w, x, y, z   u, X, v, w, x, y, z   u, Y, v, w, x, y, z   u, Z, v, w, x, y, z   u, C, v, w, x, y, z   u, D, v, w, x, y, z   u, E, v, w, x, y, z   w, L, x, y, z

Allowed substitution hints:   L( v, u)

Proof of Theorem txmetcn

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` C )
2	1	mopntopon 15186	. . . . 5 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3		metcn.4	. . . . . 6 |- K = ( MetOpen ` D )
4	3	mopntopon 15186	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
5		txtopon 15005	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
6	2, 4, 5	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
7	6	3adant3 1043	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
8		txmetcnp.4	. . . . 5 |- L = ( MetOpen ` E )
9	8	mopntopon 15186	. . . 4 |- ( E e. ( *Met ` Z ) -> L e. (TopOn ` Z ) )
10	9	3ad2ant3 1046	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> L e. (TopOn ` Z ) )
11		cncnp 14973	. . 3 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) ) ) )
12	7, 10, 11	syl2anc 411	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) ) ) )
13		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( t = <. x , y >. -> ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) = ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) )
14	13	eleq2d 2301	. . . . 5 |- ( t = <. x , y >. -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) <-> F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) ) )
15	14	ralxp 4873	. . . 4 |- ( A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) <-> A. x e. X A. y e. Y F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) )
16		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> F : ( X X. Y ) --> Z )
17	1, 3, 8	txmetcnp 15261	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )
18	17	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )
19	16, 18	mpbirand 441	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) )
20	19	2ralbidva 2554	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) -> ( A. x e. X A. y e. Y F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) )
21	15, 20	bitrid 192	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) -> ( A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) <-> A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) )
22	21	pm5.32da 452	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )
23	12, 22	bitrd 188	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   <.cop 3672   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   < clt 8214   RR+crp 9888   *Metcxmet 14569   MetOpencmopn 14574  TopOnctopon 14753   Cn ccn 14928   CnP ccnp 14929   tX ctx 14995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-map 6819  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11420  df-re 11421  df-im 11422  df-rsqrt 11576  df-abs 11577  df-topgen 13361  df-psmet 14576  df-xmet 14577  df-bl 14579  df-mopn 14580  df-top 14741  df-topon 14754  df-bases 14786  df-cn 14931  df-cnp 14932  df-tx 14996

This theorem is referenced by:  addcncntoplem  15304