Theorem txmetcn 15620

Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )
txmetcnp.4	|- L = ( MetOpen ` E )

Assertion

Ref	Expression
txmetcn	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, w, x, y, z, F   u, J, v, w, x, y, z   u, K, v, w, x, y, z   u, X, v, w, x, y, z   u, Y, v, w, x, y, z   u, Z, v, w, x, y, z   u, C, v, w, x, y, z   u, D, v, w, x, y, z   u, E, v, w, x, y, z   w, L, x, y, z

Allowed substitution hints:   L( v, u)

Proof of Theorem txmetcn

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` C )
2	1	mopntopon 15544	. . . . 5 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3		metcn.4	. . . . . 6 |- K = ( MetOpen ` D )
4	3	mopntopon 15544	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
5		txtopon 15363	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
6	2, 4, 5	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
7	6	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
8		txmetcnp.4	. . . . 5 |- L = ( MetOpen ` E )
9	8	mopntopon 15544	. . . 4 |- ( E e. ( *Met ` Z ) -> L e. (TopOn ` Z ) )
10	9	3ad2ant3 1051	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> L e. (TopOn ` Z ) )
11		cncnp 15331	. . 3 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) ) ) )
12	7, 10, 11	syl2anc 415	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) ) ) )
13		fveq2 5695	. . . . . 6 |- ( t = <. x , y >. -> ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) = ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) )
14	13	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( t = <. x , y >. -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) <-> F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) ) )
15	14	ralxp 4923	. . . 4 |- ( A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) <-> A. x e. X A. y e. Y F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) )
16		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> F : ( X X. Y ) --> Z )
17	1, 3, 8	txmetcnp 15619	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )
18	17	adantlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )
19	16, 18	mpbirand 445	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) )
20	19	2ralbidva 2572	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) -> ( A. x e. X A. y e. Y F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) )
21	15, 20	bitrid 192	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) -> ( A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) <-> A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) )
22	21	pm5.32da 456	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )
23	12, 22	bitrd 188	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   <.cop 3712   class class class wbr 4130   X. cxp 4772   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   < clt 8360   RR+crp 10054   *Metcxmet 14873   MetOpencmopn 14878  TopOnctopon 15111   Cn ccn 15286   CnP ccnp 15287   tX ctx 15353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-cn 15289  df-cnp 15290  df-tx 15354

This theorem is used by:  addcncntoplem  15662