Theorem txmetcn 13590

Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )
txmetcnp.4	|- L = ( MetOpen ` E )

Assertion

Ref	Expression
txmetcn	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, w, x, y, z, F   u, J, v, w, x, y, z   u, K, v, w, x, y, z   u, X, v, w, x, y, z   u, Y, v, w, x, y, z   u, Z, v, w, x, y, z   u, C, v, w, x, y, z   u, D, v, w, x, y, z   u, E, v, w, x, y, z   w, L, x, y, z

Allowed substitution hints:   L( v, u)

Proof of Theorem txmetcn

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` C )
2	1	mopntopon 13514	. . . . 5 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3		metcn.4	. . . . . 6 |- K = ( MetOpen ` D )
4	3	mopntopon 13514	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
5		txtopon 13333	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
6	2, 4, 5	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
7	6	3adant3 1017	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
8		txmetcnp.4	. . . . 5 |- L = ( MetOpen ` E )
9	8	mopntopon 13514	. . . 4 |- ( E e. ( *Met ` Z ) -> L e. (TopOn ` Z ) )
10	9	3ad2ant3 1020	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> L e. (TopOn ` Z ) )
11		cncnp 13301	. . 3 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) ) ) )
12	7, 10, 11	syl2anc 411	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) ) ) )
13		fveq2 5507	. . . . . 6 |- ( t = <. x , y >. -> ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) = ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) )
14	13	eleq2d 2245	. . . . 5 |- ( t = <. x , y >. -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) <-> F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) ) )
15	14	ralxp 4763	. . . 4 |- ( A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) <-> A. x e. X A. y e. Y F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) )
16		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> F : ( X X. Y ) --> Z )
17	1, 3, 8	txmetcnp 13589	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )
18	17	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )
19	16, 18	mpbirand 441	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) )
20	19	2ralbidva 2497	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) -> ( A. x e. X A. y e. Y F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) )
21	15, 20	bitrid 192	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) -> ( A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) <-> A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) )
22	21	pm5.32da 452	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )
23	12, 22	bitrd 188	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   <.cop 3592   class class class wbr 3998   X. cxp 4618   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   < clt 7966   RR+crp 9624   *Metcxmet 13051   MetOpencmopn 13056  TopOnctopon 13079   Cn ccn 13256   CnP ccnp 13257   tX ctx 13323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-map 6640  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-xneg 9743  df-xadd 9744  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-topgen 12631  df-psmet 13058  df-xmet 13059  df-bl 13061  df-mopn 13062  df-top 13067  df-topon 13080  df-bases 13112  df-cn 13259  df-cnp 13260  df-tx 13324

This theorem is referenced by:  addcncntoplem  13622