Theorem relelbasov 13090

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasov.o	|- Rel dom O
relelbasov.r	|- Rel O
elbasov.s	|- S = ( X O Y )
elbasov.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
relelbasov	|- ( A e. B -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Proof of Theorem relelbasov

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbasov.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
2	1	basm 13089	. 2 |- ( A e. B -> E. j j e. S )
3		elbasov.o	. . . . 5 |- Rel dom O
4		df-rel 4725	. . . . 5 |- ( Rel dom O <-> dom O C_ ( _V X. _V ) )
5	3, 4	mpbi 145	. . . 4 |- dom O C_ ( _V X. _V )
6		relelbasov.r	. . . . 5 |- Rel O
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> j e. S )
8		elbasov.s	. . . . . . 7 |- S = ( X O Y )
9	7, 8	eleqtrdi 2322	. . . . . 6 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> j e. ( X O Y ) )
10		df-ov 6003	. . . . . 6 |- ( X O Y ) = ( O ` <. X , Y >. )
11	9, 10	eleqtrdi 2322	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> j e. ( O ` <. X , Y >. ) )
12		relelfvdm 5658	. . . . 5 |- ( ( Rel O /\ j e. ( O ` <. X , Y >. ) ) -> <. X , Y >. e. dom O )
13	6, 11, 12	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> <. X , Y >. e. dom O )
14	5, 13	sselid 3222	. . 3 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> <. X , Y >. e. ( _V X. _V ) )
15		opelxp 4748	. . 3 |- ( <. X , Y >. e. ( _V X. _V ) <-> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
16	14, 15	sylib 122	. 2 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
17	2, 16	exlimddv 1945	1 |- ( A e. B -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   <.cop 3669   X. cxp 4716   dom cdm 4718   Rel wrel 4723   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-ov 6003  df-inn 9107  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033

This theorem is referenced by:  psrelbas  14633  psradd  14637  psraddcl  14638  mplrcl  14652  mplbasss  14654  mpladd  14662