Theorem relelbasov 13393

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasov.o	|- Rel dom O
relelbasov.r	|- Rel O
elbasov.s	|- S = ( X O Y )
elbasov.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
relelbasov	|- ( A e. B -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Proof of Theorem relelbasov

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbasov.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
2	1	basm 13392	. 2 |- ( A e. B -> E. j j e. S )
3		elbasov.o	. . . . 5 |- Rel dom O
4		df-rel 4776	. . . . 5 |- ( Rel dom O <-> dom O C_ ( _V X. _V ) )
5	3, 4	mpbi 145	. . . 4 |- dom O C_ ( _V X. _V )
6		relelbasov.r	. . . . 5 |- Rel O
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> j e. S )
8		elbasov.s	. . . . . . 7 |- S = ( X O Y )
9	7, 8	eleqtrdi 2331	. . . . . 6 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> j e. ( X O Y ) )
10		df-ov 6078	. . . . . 6 |- ( X O Y ) = ( O ` <. X , Y >. )
11	9, 10	eleqtrdi 2331	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> j e. ( O ` <. X , Y >. ) )
12		relelfvdm 5722	. . . . 5 |- ( ( Rel O /\ j e. ( O ` <. X , Y >. ) ) -> <. X , Y >. e. dom O )
13	6, 11, 12	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> <. X , Y >. e. dom O )
14	5, 13	sselid 3246	. . 3 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> <. X , Y >. e. ( _V X. _V ) )
15		opelxp 4799	. . 3 |- ( <. X , Y >. e. ( _V X. _V ) <-> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
16	14, 15	sylib 122	. 2 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
17	2, 16	exlimddv 1954	1 |- ( A e. B -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   <.cop 3708   X. cxp 4767   dom cdm 4769   Rel wrel 4774   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336

This theorem is referenced by:  psrelbas  14989  psradd  14993  psraddcl  14994  mplrcl  15008  mplbasss  15010  mpladd  15018