Theorem relelbasov 12865

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasov.o	|- Rel dom O
relelbasov.r	|- Rel O
elbasov.s	|- S = ( X O Y )
elbasov.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
relelbasov	|- ( A e. B -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Proof of Theorem relelbasov

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbasov.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
2	1	basm 12864	. 2 |- ( A e. B -> E. j j e. S )
3		elbasov.o	. . . . 5 |- Rel dom O
4		df-rel 4681	. . . . 5 |- ( Rel dom O <-> dom O C_ ( _V X. _V ) )
5	3, 4	mpbi 145	. . . 4 |- dom O C_ ( _V X. _V )
6		relelbasov.r	. . . . 5 |- Rel O
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> j e. S )
8		elbasov.s	. . . . . . 7 |- S = ( X O Y )
9	7, 8	eleqtrdi 2297	. . . . . 6 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> j e. ( X O Y ) )
10		df-ov 5946	. . . . . 6 |- ( X O Y ) = ( O ` <. X , Y >. )
11	9, 10	eleqtrdi 2297	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> j e. ( O ` <. X , Y >. ) )
12		relelfvdm 5607	. . . . 5 |- ( ( Rel O /\ j e. ( O ` <. X , Y >. ) ) -> <. X , Y >. e. dom O )
13	6, 11, 12	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> <. X , Y >. e. dom O )
14	5, 13	sselid 3190	. . 3 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> <. X , Y >. e. ( _V X. _V ) )
15		opelxp 4704	. . 3 |- ( <. X , Y >. e. ( _V X. _V ) <-> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
16	14, 15	sylib 122	. 2 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
17	2, 16	exlimddv 1921	1 |- ( A e. B -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   C_ wss 3165   <.cop 3635   X. cxp 4672   dom cdm 4674   Rel wrel 4679   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-ov 5946  df-inn 9036  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809

This theorem is referenced by:  psrelbas  14408  psradd  14412  psraddcl  14413  mplrcl  14427  mplbasss  14429  mpladd  14437