Theorem relelbasov 13208

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasov.o	|- Rel dom O
relelbasov.r	|- Rel O
elbasov.s	|- S = ( X O Y )
elbasov.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
relelbasov	|- ( A e. B -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Proof of Theorem relelbasov

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbasov.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
2	1	basm 13207	. 2 |- ( A e. B -> E. j j e. S )
3		elbasov.o	. . . . 5 |- Rel dom O
4		df-rel 4738	. . . . 5 |- ( Rel dom O <-> dom O C_ ( _V X. _V ) )
5	3, 4	mpbi 145	. . . 4 |- dom O C_ ( _V X. _V )
6		relelbasov.r	. . . . 5 |- Rel O
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> j e. S )
8		elbasov.s	. . . . . . 7 |- S = ( X O Y )
9	7, 8	eleqtrdi 2324	. . . . . 6 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> j e. ( X O Y ) )
10		df-ov 6031	. . . . . 6 |- ( X O Y ) = ( O ` <. X , Y >. )
11	9, 10	eleqtrdi 2324	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> j e. ( O ` <. X , Y >. ) )
12		relelfvdm 5680	. . . . 5 |- ( ( Rel O /\ j e. ( O ` <. X , Y >. ) ) -> <. X , Y >. e. dom O )
13	6, 11, 12	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> <. X , Y >. e. dom O )
14	5, 13	sselid 3226	. . 3 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> <. X , Y >. e. ( _V X. _V ) )
15		opelxp 4761	. . 3 |- ( <. X , Y >. e. ( _V X. _V ) <-> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
16	14, 15	sylib 122	. 2 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
17	2, 16	exlimddv 1947	1 |- ( A e. B -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   <.cop 3676   X. cxp 4729   dom cdm 4731   Rel wrel 4736   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9186  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151

This theorem is referenced by:  psrelbas  14759  psradd  14763  psraddcl  14764  mplrcl  14778  mplbasss  14780  mpladd  14788