Theorem relelbasov 12765

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasov.o	|- Rel dom O
relelbasov.r	|- Rel O
elbasov.s	|- S = ( X O Y )
elbasov.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
relelbasov	|- ( A e. B -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Proof of Theorem relelbasov

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbasov.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
2	1	basm 12764	. 2 |- ( A e. B -> E. j j e. S )
3		elbasov.o	. . . . 5 |- Rel dom O
4		df-rel 4671	. . . . 5 |- ( Rel dom O <-> dom O C_ ( _V X. _V ) )
5	3, 4	mpbi 145	. . . 4 |- dom O C_ ( _V X. _V )
6		relelbasov.r	. . . . 5 |- Rel O
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> j e. S )
8		elbasov.s	. . . . . . 7 |- S = ( X O Y )
9	7, 8	eleqtrdi 2289	. . . . . 6 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> j e. ( X O Y ) )
10		df-ov 5928	. . . . . 6 |- ( X O Y ) = ( O ` <. X , Y >. )
11	9, 10	eleqtrdi 2289	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> j e. ( O ` <. X , Y >. ) )
12		relelfvdm 5593	. . . . 5 |- ( ( Rel O /\ j e. ( O ` <. X , Y >. ) ) -> <. X , Y >. e. dom O )
13	6, 11, 12	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> <. X , Y >. e. dom O )
14	5, 13	sselid 3182	. . 3 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> <. X , Y >. e. ( _V X. _V ) )
15		opelxp 4694	. . 3 |- ( <. X , Y >. e. ( _V X. _V ) <-> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
16	14, 15	sylib 122	. 2 |- ( ( A e. B /\ j e. S ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
17	2, 16	exlimddv 1913	1 |- ( A e. B -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   <.cop 3626   X. cxp 4662   dom cdm 4664   Rel wrel 4669   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709

This theorem is referenced by:  psrelbas  14304  psradd  14307  psraddcl  14308