Theorem mplbasss 14330

Description: The set of polynomials is a subset of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval2.p	|- P = ( I mPoly R )
mplval2.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplval2.u	|- U = ( Base ` P )
mplbasss.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
mplbasss	|- U C_ B

Proof of Theorem mplbasss

Dummy variables f a b k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmmpl 14323	. . . . . . 7 |- Rel dom mPoly
2		fnmpl 14327	. . . . . . . 8 |- mPoly Fn ( _V X. _V )
3		fnrel 5357	. . . . . . . 8 |- ( mPoly Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPoly )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Rel mPoly
5		mplval2.p	. . . . . . 7 |- P = ( I mPoly R )
6		mplval2.u	. . . . . . 7 |- U = ( Base ` P )
7	1, 4, 5, 6	relelbasov 12767	. . . . . 6 |- ( x e. U -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
8		mplval2.s	. . . . . . 7 |- S = ( I mPwSer R )
9		mplbasss.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` S )
10		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
11	5, 8, 9, 10, 6	mplbascoe 14325	. . . . . 6 |- ( ( I e. _V /\ R e. _V ) -> U = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` R ) ) } )
12	7, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. U -> U = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` R ) ) } )
13		ssrab2 3269	. . . . 5 |- { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` R ) ) } C_ B
14	12, 13	eqsstrdi 3236	. . . 4 |- ( x e. U -> U C_ B )
15	14	sseld 3183	. . 3 |- ( x e. U -> ( x e. U -> x e. B ) )
16	15	pm2.43i 49	. 2 |- ( x e. U -> x e. B )
17	16	ssriv 3188	1 |- U C_ B

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   X. cxp 4662   Rel wrel 4669   Fn wfn 5254   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ^m cmap 6716   < clt 8080   NN0cn0 9268   Basecbs 12705   0gc0g 12960   mPwSer cmps 14295   mPoly cmpl 14296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-i2m1 8003

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-ixp 6767  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-iress 12713  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-sca 12798  df-vsca 12799  df-tset 12801  df-rest 12945  df-topn 12946  df-topgen 12964  df-pt 12965  df-psr 14297  df-mplcoe 14298

This theorem is referenced by:  mplelf  14331  mplsubgfilemcl  14333  mplsubgfileminv  14334  mplsubgfi  14335  mpladd  14338  mplnegfi  14339