Theorem mplbasss 14739

Description: The set of polynomials is a subset of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval2.p	|- P = ( I mPoly R )
mplval2.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplval2.u	|- U = ( Base ` P )
mplbasss.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
mplbasss	|- U C_ B

Proof of Theorem mplbasss

Dummy variables f a b k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmmpl 14732	. . . . . . 7 |- Rel dom mPoly
2		fnmpl 14736	. . . . . . . 8 |- mPoly Fn ( _V X. _V )
3		fnrel 5430	. . . . . . . 8 |- ( mPoly Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPoly )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Rel mPoly
5		mplval2.p	. . . . . . 7 |- P = ( I mPoly R )
6		mplval2.u	. . . . . . 7 |- U = ( Base ` P )
7	1, 4, 5, 6	relelbasov 13168	. . . . . 6 |- ( x e. U -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
8		mplval2.s	. . . . . . 7 |- S = ( I mPwSer R )
9		mplbasss.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` S )
10		eqid 2230	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
11	5, 8, 9, 10, 6	mplbascoe 14734	. . . . . 6 |- ( ( I e. _V /\ R e. _V ) -> U = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` R ) ) } )
12	7, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. U -> U = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` R ) ) } )
13		ssrab2 3311	. . . . 5 |- { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` R ) ) } C_ B
14	12, 13	eqsstrdi 3278	. . . 4 |- ( x e. U -> U C_ B )
15	14	sseld 3225	. . 3 |- ( x e. U -> ( x e. U -> x e. B ) )
16	15	pm2.43i 49	. 2 |- ( x e. U -> x e. B )
17	16	ssriv 3230	1 |- U C_ B

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2201   A.wral 2509   E.wrex 2510   {crab 2513   _Vcvv 2801   C_ wss 3199   class class class wbr 4089   X. cxp 4725   Rel wrel 4732   Fn wfn 5323   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   ^m cmap 6822   < clt 8219   NN0cn0 9407   Basecbs 13105   0gc0g 13362   mPwSer cmps 14699   mPoly cmpl 14700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-i2m1 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-of 6240  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6824  df-ixp 6873  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-tset 13202  df-rest 13347  df-topn 13348  df-topgen 13366  df-pt 13367  df-psr 14701  df-mplcoe 14702

This theorem is referenced by:  mplelf  14740  mplsubgfilemcl  14742  mplsubgfileminv  14743  mplsubgfi  14744  mpladd  14747  mplnegfi  14748