Theorem mplbasss 14838

Description: The set of polynomials is a subset of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplval2.p	|- P = ( I mPoly R )
mplval2.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplval2.u	|- U = ( Base ` P )
mplbasss.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
mplbasss	|- U C_ B

Proof of Theorem mplbasss

Dummy variables f a b k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmmpl 14831	. . . . . . 7 |- Rel dom mPoly
2		fnmpl 14835	. . . . . . . 8 |- mPoly Fn ( _V X. _V )
3		fnrel 5453	. . . . . . . 8 |- ( mPoly Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPoly )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Rel mPoly
5		mplval2.p	. . . . . . 7 |- P = ( I mPoly R )
6		mplval2.u	. . . . . . 7 |- U = ( Base ` P )
7	1, 4, 5, 6	relelbasov 13264	. . . . . 6 |- ( x e. U -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
8		mplval2.s	. . . . . . 7 |- S = ( I mPwSer R )
9		mplbasss.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` S )
10		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
11	5, 8, 9, 10, 6	mplbascoe 14833	. . . . . 6 |- ( ( I e. _V /\ R e. _V ) -> U = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` R ) ) } )
12	7, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. U -> U = { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` R ) ) } )
13		ssrab2 3322	. . . . 5 |- { f e. B | E. a e. ( NN0 ^m I ) A. b e. ( NN0 ^m I ) ( A. k e. I ( a ` k ) < ( b ` k ) -> ( f ` b ) = ( 0g ` R ) ) } C_ B
14	12, 13	eqsstrdi 3289	. . . 4 |- ( x e. U -> U C_ B )
15	14	sseld 3236	. . 3 |- ( x e. U -> ( x e. U -> x e. B ) )
16	15	pm2.43i 49	. 2 |- ( x e. U -> x e. B )
17	16	ssriv 3241	1 |- U C_ B

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   {crab 2524   _Vcvv 2812   C_ wss 3210   class class class wbr 4108   X. cxp 4746   Rel wrel 4753   Fn wfn 5346   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   ^m cmap 6881   < clt 8304   NN0cn0 9492   Basecbs 13201   0gc0g 13458   mPwSer cmps 14796   mPoly cmpl 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-i2m1 8228

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-ixp 6933  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-tset 13298  df-rest 13443  df-topn 13444  df-topgen 13462  df-pt 13463  df-psr 14798  df-mplcoe 14799

This theorem is referenced by:  mplelf  14839  mplsubgfilemcl  14841  mplsubgfileminv  14842  mplsubgfi  14843  mpladd  14846  mplnegfi  14847