Theorem psrelbas 14961

Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrbas.k	|- K = ( Base ` R )
psrbas.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbas.b	|- B = ( Base ` S )
psrelbas.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrelbas	|- ( ph -> X : D --> K )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   K( f)   X( f)

Proof of Theorem psrelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbas.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
2		psrbas.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
3		psrbas.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
4		psrbas.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		psrbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
6		reldmpsr 14944	. . . . . . 7 |- Rel dom mPwSer
7		fnpsr 14946	. . . . . . . 8 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
8		fnrel 5461	. . . . . . . 8 |- ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPwSer )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Rel mPwSer
10	6, 9, 2, 5	relelbasov 13365	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
12	11	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> I e. _V )
13	11	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> R e. _V )
14	2, 3, 4, 5, 12, 13	psrbasg 14960	. . 3 |- ( ph -> B = ( K ^m D ) )
15	1, 14	eleqtrd 2313	. 2 |- ( ph -> X e. ( K ^m D ) )
16		basfn 13361	. . . . 5 |- Base Fn _V
17		funfvex 5694	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
18	17	funfni 5465	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
19	16, 13, 18	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
20	3, 19	eqeltrid 2321	. . 3 |- ( ph -> K e. _V )
21		fnmap 6904	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
22		nn0ex 9524	. . . . 5 |- NN0 e. _V
23		fnovex 6093	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
24	21, 22, 12, 23	mp3an12i 1378	. . . 4 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
25	4, 24	rabexd 4263	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
26	20, 25	elmapd 6911	. 2 |- ( ph -> ( X e. ( K ^m D ) <-> X : D --> K ) )
27	15, 26	mpbid 147	1 |- ( ph -> X : D --> K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   {crab 2526   _Vcvv 2815   X. cxp 4754   `'ccnv 4755   "cima 4759   Rel wrel 4761   Fn wfn 5354   -->wf 5355   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   ^m cmap 6897   Fincfn 6990   NNcn 9259   NN0cn0 9518   Basecbs 13302   mPwSer cmps 14940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-tp 3703  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-of 6277  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-map 6899  df-ixp 6949  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-5 9321  df-6 9322  df-7 9323  df-8 9324  df-9 9325  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-fz 10367  df-struct 13304  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-plusg 13393  df-mulr 13394  df-sca 13396  df-vsca 13397  df-tset 13399  df-rest 13544  df-topn 13545  df-topgen 13563  df-pt 13564  df-psr 14942

This theorem is referenced by:  psrelbasfi  14962  psrelbasfun  14963  psraddcl  14966  psr0lid  14968  psrnegcl  14969  psrlinv  14970  mplelf  14983