Theorem psrelbas 14171

Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrbas.k	|- K = ( Base ` R )
psrbas.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbas.b	|- B = ( Base ` S )
psrelbas.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrelbas	|- ( ph -> X : D --> K )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   K( f)   X( f)

Proof of Theorem psrelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbas.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
2		psrbas.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
3		psrbas.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
4		psrbas.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		psrbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
6		reldmpsr 14162	. . . . . . 7 |- Rel dom mPwSer
7		fnpsr 14164	. . . . . . . 8 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
8		fnrel 5353	. . . . . . . 8 |- ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPwSer )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Rel mPwSer
10	6, 9, 2, 5	relelbasov 12683	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
12	11	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> I e. _V )
13	11	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> R e. _V )
14	2, 3, 4, 5, 12, 13	psrbasg 14170	. . 3 |- ( ph -> B = ( K ^m D ) )
15	1, 14	eleqtrd 2272	. 2 |- ( ph -> X e. ( K ^m D ) )
16		basfn 12679	. . . . 5 |- Base Fn _V
17		funfvex 5572	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
18	17	funfni 5355	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
19	16, 13, 18	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
20	3, 19	eqeltrid 2280	. . 3 |- ( ph -> K e. _V )
21		fnmap 6711	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
22		nn0ex 9249	. . . . 5 |- NN0 e. _V
23		fnovex 5952	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
24	21, 22, 12, 23	mp3an12i 1352	. . . 4 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
25	4, 24	rabexd 4175	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
26	20, 25	elmapd 6718	. 2 |- ( ph -> ( X e. ( K ^m D ) <-> X : D --> K ) )
27	15, 26	mpbid 147	1 |- ( ph -> X : D --> K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   _Vcvv 2760   X. cxp 4658   `'ccnv 4659   "cima 4663   Rel wrel 4665   Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   ^m cmap 6704   Fincfn 6796   NNcn 8984   NN0cn0 9243   Basecbs 12621   mPwSer cmps 14160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-ixp 6755  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-struct 12623  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-tset 12717  df-rest 12855  df-topn 12856  df-topgen 12874  df-pt 12875  df-psr 14161

This theorem is referenced by:  psrelbasfun  14172  psraddcl  14175