Theorem psrelbas 15188

Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrbas.k	|- K = ( Base ` R )
psrbas.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbas.b	|- B = ( Base ` S )
psrelbas.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrelbas	|- ( ph -> X : D --> K )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   K( f)   X( f)

Proof of Theorem psrelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbas.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
2		psrbas.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
3		psrbas.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
4		psrbas.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		psrbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
6		reldmpsr 15159	. . . . . . 7 |- Rel dom mPwSer
7		fnpsr 15161	. . . . . . . 8 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
8		fnrel 5482	. . . . . . . 8 |- ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPwSer )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Rel mPwSer
10	6, 9, 2, 5	relelbasov 13473	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
12	11	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> I e. _V )
13	11	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> R e. _V )
14	2, 3, 4, 5, 12, 13	psrbasg 15187	. . 3 |- ( ph -> B = ( K ^m D ) )
15	1, 14	eleqtrd 2317	. 2 |- ( ph -> X e. ( K ^m D ) )
16		basfn 13468	. . . . 5 |- Base Fn _V
17		funfvex 5715	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
18	17	funfni 5486	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
19	16, 13, 18	sylancr 418	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
20	3, 19	eqeltrid 2325	. . 3 |- ( ph -> K e. _V )
21		fnmap 6934	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
22		nn0ex 9580	. . . . 5 |- NN0 e. _V
23		fnovex 6121	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
24	21, 22, 12, 23	mp3an12i 1382	. . . 4 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
25	4, 24	rabexd 4283	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
26	20, 25	elmapd 6941	. 2 |- ( ph -> ( X e. ( K ^m D ) <-> X : D --> K ) )
27	15, 26	mpbid 147	1 |- ( ph -> X : D --> K )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   X. cxp 4774   `'ccnv 4775   "cima 4779   Rel wrel 4781   Fn wfn 5375   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ^m cmap 6927   Fincfn 7028   NNcn 9313   NN0cn0 9574   Basecbs 13409   mPwSer cmps 15153

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6929  df-ixp 6987  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-fz 10428  df-struct 13411  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-plusg 13502  df-mulr 13503  df-sca 13505  df-vsca 13506  df-tset 13508  df-rest 13653  df-topn 13654  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-psr 15156

This theorem is used by:  psrelbasfi  15189  psrelbasfun  15190  psraddcl  15193  psrmulclfilem  15198  psr0lid  15201  psrnegcl  15202  psrlinv  15203  psrlidmfi  15208  psrridmfi  15209  psrass1fi  15210  psrdifi  15211  psrdirfi  15212  mvrclfi  15226  mplelf  15230  mplsubgfileminv  15233