Theorem relelbasov 13138

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasov.o	⊢ Rel dom 𝑂
relelbasov.r	⊢ Rel 𝑂
elbasov.s	⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
elbasov.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
relelbasov	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

Proof of Theorem relelbasov

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbasov.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2	1	basm 13137	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑆)
3		elbasov.o	. . . . 5 ⊢ Rel dom 𝑂
4		df-rel 4730	. . . . 5 ⊢ (Rel dom 𝑂 ↔ dom 𝑂 ⊆ (V × V))
5	3, 4	mpbi 145	. . . 4 ⊢ dom 𝑂 ⊆ (V × V)
6		relelbasov.r	. . . . 5 ⊢ Rel 𝑂
7		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ 𝑆)
8		elbasov.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
9	7, 8	eleqtrdi 2322	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ (𝑋𝑂𝑌))
10		df-ov 6016	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝑂𝑌) = (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
11	9, 10	eleqtrdi 2322	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
12		relelfvdm 5667	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝑂 ∧ 𝑗 ∈ (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝑂)
13	6, 11, 12	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝑂)
14	5, 13	sselid 3223	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (V × V))
15		opelxp 4753	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (V × V) ↔ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
16	14, 15	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
17	2, 16	exlimddv 1945	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ⊆ wss 3198  ⟨cop 3670   × cxp 4721  dom cdm 4723  Rel wrel 4728  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1re 8119  ax-addrcl 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9137  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081

This theorem is referenced by:  psrelbas  14682  psradd  14686  psraddcl  14687  mplrcl  14701  mplbasss  14703  mpladd  14711