Theorem relelbasov 13418

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasov.o	⊢ Rel dom 𝑂
relelbasov.r	⊢ Rel 𝑂
elbasov.s	⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
elbasov.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
relelbasov	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

Proof of Theorem relelbasov

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbasov.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2	1	basm 13416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑆)
3		elbasov.o	. . . . 5 ⊢ Rel dom 𝑂
4		df-rel 4781	. . . . 5 ⊢ (Rel dom 𝑂 ↔ dom 𝑂 ⊆ (V × V))
5	3, 4	mpbi 145	. . . 4 ⊢ dom 𝑂 ⊆ (V × V)
6		relelbasov.r	. . . . 5 ⊢ Rel 𝑂
7		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ 𝑆)
8		elbasov.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
9	7, 8	eleqtrdi 2331	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ (𝑋𝑂𝑌))
10		df-ov 6088	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝑂𝑌) = (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
11	9, 10	eleqtrdi 2331	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
12		relelfvdm 5727	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝑂 ∧ 𝑗 ∈ (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝑂)
13	6, 11, 12	sylancr 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝑂)
14	5, 13	sselid 3246	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (V × V))
15		opelxp 4804	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (V × V) ↔ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
16	14, 15	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
17	2, 16	exlimddv 1954	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3712   × cxp 4772  dom cdm 4774  Rel wrel 4779  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9306  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360

This theorem is used by:  psrelbas  15068  psradd  15072  psraddcl  15073  mplrcl  15087  mplbasss  15089  mpladd  15097