Theorem relelbasov 13147

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasov.o	⊢ Rel dom 𝑂
relelbasov.r	⊢ Rel 𝑂
elbasov.s	⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
elbasov.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
relelbasov	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

Proof of Theorem relelbasov

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbasov.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2	1	basm 13146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑆)
3		elbasov.o	. . . . 5 ⊢ Rel dom 𝑂
4		df-rel 4732	. . . . 5 ⊢ (Rel dom 𝑂 ↔ dom 𝑂 ⊆ (V × V))
5	3, 4	mpbi 145	. . . 4 ⊢ dom 𝑂 ⊆ (V × V)
6		relelbasov.r	. . . . 5 ⊢ Rel 𝑂
7		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ 𝑆)
8		elbasov.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
9	7, 8	eleqtrdi 2324	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ (𝑋𝑂𝑌))
10		df-ov 6021	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝑂𝑌) = (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
11	9, 10	eleqtrdi 2324	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
12		relelfvdm 5671	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝑂 ∧ 𝑗 ∈ (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝑂)
13	6, 11, 12	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝑂)
14	5, 13	sselid 3225	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (V × V))
15		opelxp 4755	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (V × V) ↔ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
16	14, 15	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
17	2, 16	exlimddv 1947	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  ⟨cop 3672   × cxp 4723  dom cdm 4725  Rel wrel 4730  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090

This theorem is referenced by:  psrelbas  14692  psradd  14696  psraddcl  14697  mplrcl  14711  mplbasss  14713  mpladd  14721