Theorem relelbasov 12680

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasov.o	⊢ Rel dom 𝑂
relelbasov.r	⊢ Rel 𝑂
elbasov.s	⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
elbasov.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
relelbasov	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

Proof of Theorem relelbasov

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbasov.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2	1	basm 12679	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑆)
3		elbasov.o	. . . . 5 ⊢ Rel dom 𝑂
4		df-rel 4666	. . . . 5 ⊢ (Rel dom 𝑂 ↔ dom 𝑂 ⊆ (V × V))
5	3, 4	mpbi 145	. . . 4 ⊢ dom 𝑂 ⊆ (V × V)
6		relelbasov.r	. . . . 5 ⊢ Rel 𝑂
7		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ 𝑆)
8		elbasov.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
9	7, 8	eleqtrdi 2286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ (𝑋𝑂𝑌))
10		df-ov 5921	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝑂𝑌) = (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
11	9, 10	eleqtrdi 2286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
12		relelfvdm 5586	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝑂 ∧ 𝑗 ∈ (𝑂‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝑂)
13	6, 11, 12	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝑂)
14	5, 13	sselid 3177	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (V × V))
15		opelxp 4689	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (V × V) ↔ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
16	14, 15	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
17	2, 16	exlimddv 1910	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ⊆ wss 3153  ⟨cop 3621   × cxp 4657  dom cdm 4659  Rel wrel 4664  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624

This theorem is referenced by:  psrelbas  14160  psradd  14163  psraddcl  14164