Theorem psradd 14412

Description: The addition operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusg.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrplusg.b	|- B = ( Base ` S )
psrplusg.a	|- .+ = ( +g ` R )
psrplusg.p	|- .+b = ( +g ` S )
psradd.x	|- ( ph -> X e. B )
psradd.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
psradd	|- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X oF .+ Y ) )

Proof of Theorem psradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psradd.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
2		reldmpsr 14398	. . . . 5 |- Rel dom mPwSer
3		fnpsr 14400	. . . . . 6 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
4		fnrel 5371	. . . . . 6 |- ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPwSer )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel mPwSer
6		psrplusg.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
7		psrplusg.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 12865	. . . 4 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
9		psrplusg.a	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
10		psrplusg.p	. . . . 5 |- .+b = ( +g ` S )
11	6, 7, 9, 10	psrplusgg 14411	. . . 4 |- ( ( I e. _V /\ R e. _V ) -> .+b = ( oF .+ |` ( B X. B ) ) )
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> .+b = ( oF .+ |` ( B X. B ) ) )
13	12	oveqd 5960	. 2 |- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X ( oF .+ |` ( B X. B ) ) Y ) )
14		psradd.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
15	1, 14	ofmresval 6169	. 2 |- ( ph -> ( X ( oF .+ |` ( B X. B ) ) Y ) = ( X oF .+ Y ) )
16	13, 15	eqtrd 2237	1 |- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X oF .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   X. cxp 4672   |` cres 4676   Rel wrel 4679   Fn wfn 5265   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   oFcof 6155   Basecbs 12803   +g cplusg 12880   mPwSer cmps 14394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-tp 3640  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-of 6157  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-map 6736  df-ixp 6785  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-9 9101  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130  df-struct 12805  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-plusg 12893  df-mulr 12894  df-sca 12896  df-vsca 12897  df-tset 12899  df-rest 13044  df-topn 13045  df-topgen 13063  df-pt 13064  df-psr 14396

This theorem is referenced by:  psraddcl  14413  psr0lid  14415  psrlinv  14417  psrgrp  14418  mplsubgfilemcl  14432  mpladd  14437