Theorem psradd 14993

Description: The addition operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusg.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrplusg.b	|- B = ( Base ` S )
psrplusg.a	|- .+ = ( +g ` R )
psrplusg.p	|- .+b = ( +g ` S )
psradd.x	|- ( ph -> X e. B )
psradd.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
psradd	|- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X oF .+ Y ) )

Proof of Theorem psradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psradd.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
2		reldmpsr 14972	. . . . 5 |- Rel dom mPwSer
3		fnpsr 14974	. . . . . 6 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
4		fnrel 5474	. . . . . 6 |- ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPwSer )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel mPwSer
6		psrplusg.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
7		psrplusg.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 13393	. . . 4 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
9		psrplusg.a	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
10		psrplusg.p	. . . . 5 |- .+b = ( +g ` S )
11	6, 7, 9, 10	psrplusgg 14992	. . . 4 |- ( ( I e. _V /\ R e. _V ) -> .+b = ( oF .+ |` ( B X. B ) ) )
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> .+b = ( oF .+ |` ( B X. B ) ) )
13	12	oveqd 6092	. 2 |- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X ( oF .+ |` ( B X. B ) ) Y ) )
14		psradd.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
15	1, 14	ofmresval 6304	. 2 |- ( ph -> ( X ( oF .+ |` ( B X. B ) ) Y ) = ( X oF .+ Y ) )
16	13, 15	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X oF .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   X. cxp 4767   |` cres 4771   Rel wrel 4774   Fn wfn 5367   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   oFcof 6290   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   mPwSer cmps 14968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-ixp 6971  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-struct 13332  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-tset 13427  df-rest 13572  df-topn 13573  df-topgen 13591  df-pt 13592  df-psr 14970

This theorem is referenced by:  psraddcl  14994  psr0lid  14996  psrlinv  14998  psrgrp  14999  mplsubgfilemcl  15013  mpladd  15018