Theorem psradd 14231

Description: The addition operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusg.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrplusg.b	|- B = ( Base ` S )
psrplusg.a	|- .+ = ( +g ` R )
psrplusg.p	|- .+b = ( +g ` S )
psradd.x	|- ( ph -> X e. B )
psradd.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
psradd	|- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X oF .+ Y ) )

Proof of Theorem psradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psradd.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
2		reldmpsr 14219	. . . . 5 |- Rel dom mPwSer
3		fnpsr 14221	. . . . . 6 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
4		fnrel 5356	. . . . . 6 |- ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPwSer )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel mPwSer
6		psrplusg.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
7		psrplusg.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 12740	. . . 4 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
9		psrplusg.a	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
10		psrplusg.p	. . . . 5 |- .+b = ( +g ` S )
11	6, 7, 9, 10	psrplusgg 14230	. . . 4 |- ( ( I e. _V /\ R e. _V ) -> .+b = ( oF .+ |` ( B X. B ) ) )
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> .+b = ( oF .+ |` ( B X. B ) ) )
13	12	oveqd 5939	. 2 |- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X ( oF .+ |` ( B X. B ) ) Y ) )
14		psradd.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
15	1, 14	ofmresval 6147	. 2 |- ( ph -> ( X ( oF .+ |` ( B X. B ) ) Y ) = ( X oF .+ Y ) )
16	13, 15	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X oF .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   X. cxp 4661   |` cres 4665   Rel wrel 4668   Fn wfn 5253   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   oFcof 6133   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   mPwSer cmps 14217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-ixp 6758  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-tset 12774  df-rest 12912  df-topn 12913  df-topgen 12931  df-pt 12932  df-psr 14218

This theorem is referenced by:  psraddcl  14232