Theorem psradd 14526

Description: The addition operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusg.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrplusg.b	|- B = ( Base ` S )
psrplusg.a	|- .+ = ( +g ` R )
psrplusg.p	|- .+b = ( +g ` S )
psradd.x	|- ( ph -> X e. B )
psradd.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
psradd	|- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X oF .+ Y ) )

Proof of Theorem psradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psradd.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
2		reldmpsr 14512	. . . . 5 |- Rel dom mPwSer
3		fnpsr 14514	. . . . . 6 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
4		fnrel 5386	. . . . . 6 |- ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPwSer )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel mPwSer
6		psrplusg.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
7		psrplusg.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 12979	. . . 4 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
9		psrplusg.a	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` R )
10		psrplusg.p	. . . . 5 |- .+b = ( +g ` S )
11	6, 7, 9, 10	psrplusgg 14525	. . . 4 |- ( ( I e. _V /\ R e. _V ) -> .+b = ( oF .+ |` ( B X. B ) ) )
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> .+b = ( oF .+ |` ( B X. B ) ) )
13	12	oveqd 5979	. 2 |- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X ( oF .+ |` ( B X. B ) ) Y ) )
14		psradd.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
15	1, 14	ofmresval 6188	. 2 |- ( ph -> ( X ( oF .+ |` ( B X. B ) ) Y ) = ( X oF .+ Y ) )
16	13, 15	eqtrd 2239	1 |- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X oF .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   X. cxp 4686   |` cres 4690   Rel wrel 4693   Fn wfn 5280   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   oFcof 6174   Basecbs 12917   +g cplusg 12994   mPwSer cmps 14508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-of 6176  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-map 6755  df-ixp 6804  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-7 9130  df-8 9131  df-9 9132  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-fz 10161  df-struct 12919  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-plusg 13007  df-mulr 13008  df-sca 13010  df-vsca 13011  df-tset 13013  df-rest 13158  df-topn 13159  df-topgen 13177  df-pt 13178  df-psr 14510

This theorem is referenced by:  psraddcl  14527  psr0lid  14529  psrlinv  14531  psrgrp  14532  mplsubgfilemcl  14546  mpladd  14551