Theorem mpladd 14990

Description: The addition operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpladd.p	|- P = ( I mPoly R )
mpladd.b	|- B = ( Base ` P )
mpladd.a	|- .+ = ( +g ` R )
mpladd.g	|- .+b = ( +g ` P )
mpladd.x	|- ( ph -> X e. B )
mpladd.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
mpladd	|- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X oF .+ Y ) )

Proof of Theorem mpladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpladd.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
2		reldmmpl 14975	. . . . 5 |- Rel dom mPoly
3		fnmpl 14979	. . . . . 6 |- mPoly Fn ( _V X. _V )
4		fnrel 5460	. . . . . 6 |- ( mPoly Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPoly )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel mPoly
6		mpladd.p	. . . . 5 |- P = ( I mPoly R )
7		mpladd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` P )
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 13364	. . . 4 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
9		eqid 2234	. . . . 5 |- ( I mPwSer R ) = ( I mPwSer R )
10		mpladd.g	. . . . 5 |- .+b = ( +g ` P )
11	6, 9, 10	mplplusgg 14989	. . . 4 |- ( ( I e. _V /\ R e. _V ) -> .+b = ( +g ` ( I mPwSer R ) ) )
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> .+b = ( +g ` ( I mPwSer R ) ) )
13	12	oveqd 6076	. 2 |- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X ( +g ` ( I mPwSer R ) ) Y ) )
14		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( Base ` ( I mPwSer R ) )
15		mpladd.a	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
16		eqid 2234	. . 3 |- ( +g ` ( I mPwSer R ) ) = ( +g ` ( I mPwSer R ) )
17	6, 9, 7, 14	mplbasss 14982	. . . 4 |- B C_ ( Base ` ( I mPwSer R ) )
18	17, 1	sselid 3240	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) )
19		mpladd.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
20	17, 19	sselid 3240	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) )
21	9, 14, 15, 16, 18, 20	psradd 14965	. 2 |- ( ph -> ( X ( +g ` ( I mPwSer R ) ) Y ) = ( X oF .+ Y ) )
22	13, 21	eqtrd 2267	1 |- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X oF .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   X. cxp 4753   Rel wrel 4760   Fn wfn 5353   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   oFcof 6274   Basecbs 13301   +g cplusg 13379   mPwSer cmps 14940   mPoly cmpl 14941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-tp 3703  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-of 6276  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-map 6898  df-ixp 6948  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-9 9324  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-fz 10366  df-struct 13303  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-sets 13308  df-iress 13309  df-plusg 13392  df-mulr 13393  df-sca 13395  df-vsca 13396  df-tset 13398  df-rest 13543  df-topn 13544  df-topgen 13562  df-pt 13563  df-psr 14942  df-mplcoe 14943

This theorem is referenced by: (None)