Theorem mpladd 14851

Description: The addition operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpladd.p	|- P = ( I mPoly R )
mpladd.b	|- B = ( Base ` P )
mpladd.a	|- .+ = ( +g ` R )
mpladd.g	|- .+b = ( +g ` P )
mpladd.x	|- ( ph -> X e. B )
mpladd.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
mpladd	|- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X oF .+ Y ) )

Proof of Theorem mpladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpladd.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
2		reldmmpl 14836	. . . . 5 |- Rel dom mPoly
3		fnmpl 14840	. . . . . 6 |- mPoly Fn ( _V X. _V )
4		fnrel 5453	. . . . . 6 |- ( mPoly Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPoly )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel mPoly
6		mpladd.p	. . . . 5 |- P = ( I mPoly R )
7		mpladd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` P )
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 13267	. . . 4 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
9		eqid 2232	. . . . 5 |- ( I mPwSer R ) = ( I mPwSer R )
10		mpladd.g	. . . . 5 |- .+b = ( +g ` P )
11	6, 9, 10	mplplusgg 14850	. . . 4 |- ( ( I e. _V /\ R e. _V ) -> .+b = ( +g ` ( I mPwSer R ) ) )
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> .+b = ( +g ` ( I mPwSer R ) ) )
13	12	oveqd 6066	. 2 |- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X ( +g ` ( I mPwSer R ) ) Y ) )
14		eqid 2232	. . 3 |- ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( Base ` ( I mPwSer R ) )
15		mpladd.a	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
16		eqid 2232	. . 3 |- ( +g ` ( I mPwSer R ) ) = ( +g ` ( I mPwSer R ) )
17	6, 9, 7, 14	mplbasss 14843	. . . 4 |- B C_ ( Base ` ( I mPwSer R ) )
18	17, 1	sselid 3235	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) )
19		mpladd.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
20	17, 19	sselid 3235	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) )
21	9, 14, 15, 16, 18, 20	psradd 14826	. 2 |- ( ph -> ( X ( +g ` ( I mPwSer R ) ) Y ) = ( X oF .+ Y ) )
22	13, 21	eqtrd 2265	1 |- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X oF .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   X. cxp 4746   Rel wrel 4753   Fn wfn 5346   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   oFcof 6263   Basecbs 13204   +g cplusg 13282   mPwSer cmps 14801   mPoly cmpl 14802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-ixp 6933  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342  df-struct 13206  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-iress 13212  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-tset 13301  df-rest 13446  df-topn 13447  df-topgen 13465  df-pt 13466  df-psr 14803  df-mplcoe 14804

This theorem is referenced by: (None)