Theorem mpladd 14338

Description: The addition operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpladd.p	|- P = ( I mPoly R )
mpladd.b	|- B = ( Base ` P )
mpladd.a	|- .+ = ( +g ` R )
mpladd.g	|- .+b = ( +g ` P )
mpladd.x	|- ( ph -> X e. B )
mpladd.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
mpladd	|- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X oF .+ Y ) )

Proof of Theorem mpladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpladd.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
2		reldmmpl 14323	. . . . 5 |- Rel dom mPoly
3		fnmpl 14327	. . . . . 6 |- mPoly Fn ( _V X. _V )
4		fnrel 5357	. . . . . 6 |- ( mPoly Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPoly )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel mPoly
6		mpladd.p	. . . . 5 |- P = ( I mPoly R )
7		mpladd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` P )
8	2, 5, 6, 7	relelbasov 12767	. . . 4 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
9		eqid 2196	. . . . 5 |- ( I mPwSer R ) = ( I mPwSer R )
10		mpladd.g	. . . . 5 |- .+b = ( +g ` P )
11	6, 9, 10	mplplusgg 14337	. . . 4 |- ( ( I e. _V /\ R e. _V ) -> .+b = ( +g ` ( I mPwSer R ) ) )
12	1, 8, 11	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> .+b = ( +g ` ( I mPwSer R ) ) )
13	12	oveqd 5942	. 2 |- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X ( +g ` ( I mPwSer R ) ) Y ) )
14		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( Base ` ( I mPwSer R ) )
15		mpladd.a	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
16		eqid 2196	. . 3 |- ( +g ` ( I mPwSer R ) ) = ( +g ` ( I mPwSer R ) )
17	6, 9, 7, 14	mplbasss 14330	. . . 4 |- B C_ ( Base ` ( I mPwSer R ) )
18	17, 1	sselid 3182	. . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) )
19		mpladd.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
20	17, 19	sselid 3182	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) )
21	9, 14, 15, 16, 18, 20	psradd 14313	. 2 |- ( ph -> ( X ( +g ` ( I mPwSer R ) ) Y ) = ( X oF .+ Y ) )
22	13, 21	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> ( X .+b Y ) = ( X oF .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   X. cxp 4662   Rel wrel 4669   Fn wfn 5254   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   oFcof 6137   Basecbs 12705   +g cplusg 12782   mPwSer cmps 14295   mPoly cmpl 14296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-ixp 6767  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103  df-struct 12707  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-iress 12713  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-sca 12798  df-vsca 12799  df-tset 12801  df-rest 12945  df-topn 12946  df-topgen 12964  df-pt 12965  df-psr 14297  df-mplcoe 14298

This theorem is referenced by: (None)