Theorem psraddcl 14659

Description: Closure of the power series addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Generalize to magmas. (Revised by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psraddcl.s	|- S = ( I mPwSer R )
psraddcl.b	|- B = ( Base ` S )
psraddcl.p	|- .+ = ( +g ` S )
psraddcl.r	|- ( ph -> R e. Mgm )
psraddcl.x	|- ( ph -> X e. B )
psraddcl.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
psraddcl	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem psraddcl

Dummy variables f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psraddcl.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Mgm )
2		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4	2, 3	mgmcl 13407	. . . . . 6 |- ( ( R e. Mgm /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
5	4	3expb 1228	. . . . 5 |- ( ( R e. Mgm /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
6	1, 5	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
7		psraddcl.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
8		eqid 2229	. . . . 5 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
9		psraddcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
10		psraddcl.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
11	7, 2, 8, 9, 10	psrelbas 14654	. . . 4 |- ( ph -> X : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
12		psraddcl.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. B )
13	7, 2, 8, 9, 12	psrelbas 14654	. . . 4 |- ( ph -> Y : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
14		fnmap 6810	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
15		nn0ex 9386	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
16		reldmpsr 14644	. . . . . . . . 9 |- Rel dom mPwSer
17		fnpsr 14646	. . . . . . . . . 10 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
18		fnrel 5419	. . . . . . . . . 10 |- ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPwSer )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Rel mPwSer
20	16, 19, 7, 9	relelbasov 13110	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
21	10, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
22	21	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. _V )
23		fnovex 6040	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
24	14, 15, 22, 23	mp3an12i 1375	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
25		rabexg 4227	. . . . 5 |- ( ( NN0 ^m I ) e. _V -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
27		inidm 3413	. . . 4 |- ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } i^i { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
28	6, 11, 13, 26, 26, 27	off 6237	. . 3 |- ( ph -> ( X oF ( +g ` R ) Y ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
29		basfn 13106	. . . . 5 |- Base Fn _V
30	1	elexd 2813	. . . . 5 |- ( ph -> R e. _V )
31		funfvex 5646	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
32	31	funfni 5423	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
33	29, 30, 32	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
34	33, 26	elmapd 6817	. . 3 |- ( ph -> ( ( X oF ( +g ` R ) Y ) e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) <-> ( X oF ( +g ` R ) Y ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) )
35	28, 34	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( X oF ( +g ` R ) Y ) e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
36		psraddcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` S )
37	7, 9, 3, 36, 10, 12	psradd 14658	. 2 |- ( ph -> ( X .+ Y ) = ( X oF ( +g ` R ) Y ) )
38	7, 2, 8, 9, 22, 1	psrbasg 14653	. 2 |- ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
39	35, 37, 38	3eltr4d 2313	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   _Vcvv 2799   X. cxp 4717   `'ccnv 4718   "cima 4722   Rel wrel 4724   Fn wfn 5313   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   oFcof 6222   ^m cmap 6803   Fincfn 6895   NNcn 9121   NN0cn0 9380   Basecbs 13047   +g cplusg 13125  Mgmcmgm 13402   mPwSer cmps 14640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-ixp 6854  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-struct 13049  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-sca 13141  df-vsca 13142  df-tset 13144  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13308  df-pt 13309  df-mgm 13404  df-psr 14642

This theorem is referenced by:  mplsubgfilemcl  14678