Theorem psraddcl 14442

Description: Closure of the power series addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Generalize to magmas. (Revised by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psraddcl.s	|- S = ( I mPwSer R )
psraddcl.b	|- B = ( Base ` S )
psraddcl.p	|- .+ = ( +g ` S )
psraddcl.r	|- ( ph -> R e. Mgm )
psraddcl.x	|- ( ph -> X e. B )
psraddcl.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
psraddcl	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem psraddcl

Dummy variables f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psraddcl.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Mgm )
2		eqid 2205	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		eqid 2205	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4	2, 3	mgmcl 13191	. . . . . 6 |- ( ( R e. Mgm /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
5	4	3expb 1207	. . . . 5 |- ( ( R e. Mgm /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
6	1, 5	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
7		psraddcl.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
8		eqid 2205	. . . . 5 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
9		psraddcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
10		psraddcl.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
11	7, 2, 8, 9, 10	psrelbas 14437	. . . 4 |- ( ph -> X : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
12		psraddcl.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. B )
13	7, 2, 8, 9, 12	psrelbas 14437	. . . 4 |- ( ph -> Y : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
14		fnmap 6742	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
15		nn0ex 9301	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
16		reldmpsr 14427	. . . . . . . . 9 |- Rel dom mPwSer
17		fnpsr 14429	. . . . . . . . . 10 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
18		fnrel 5372	. . . . . . . . . 10 |- ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPwSer )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Rel mPwSer
20	16, 19, 7, 9	relelbasov 12894	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
21	10, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
22	21	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. _V )
23		fnovex 5977	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
24	14, 15, 22, 23	mp3an12i 1354	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
25		rabexg 4187	. . . . 5 |- ( ( NN0 ^m I ) e. _V -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
27		inidm 3382	. . . 4 |- ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } i^i { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
28	6, 11, 13, 26, 26, 27	off 6171	. . 3 |- ( ph -> ( X oF ( +g ` R ) Y ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
29		basfn 12890	. . . . 5 |- Base Fn _V
30	1	elexd 2785	. . . . 5 |- ( ph -> R e. _V )
31		funfvex 5593	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
32	31	funfni 5376	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
33	29, 30, 32	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
34	33, 26	elmapd 6749	. . 3 |- ( ph -> ( ( X oF ( +g ` R ) Y ) e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) <-> ( X oF ( +g ` R ) Y ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) )
35	28, 34	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( X oF ( +g ` R ) Y ) e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
36		psraddcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` S )
37	7, 9, 3, 36, 10, 12	psradd 14441	. 2 |- ( ph -> ( X .+ Y ) = ( X oF ( +g ` R ) Y ) )
38	7, 2, 8, 9, 22, 1	psrbasg 14436	. 2 |- ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
39	35, 37, 38	3eltr4d 2289	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   {crab 2488   _Vcvv 2772   X. cxp 4673   `'ccnv 4674   "cima 4678   Rel wrel 4680   Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   oFcof 6156   ^m cmap 6735   Fincfn 6827   NNcn 9036   NN0cn0 9295   Basecbs 12832   +g cplusg 12909  Mgmcmgm 13186   mPwSer cmps 14423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-tp 3641  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-of 6158  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-map 6737  df-ixp 6786  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-struct 12834  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-sca 12925  df-vsca 12926  df-tset 12928  df-rest 13073  df-topn 13074  df-topgen 13092  df-pt 13093  df-mgm 13188  df-psr 14425

This theorem is referenced by:  mplsubgfilemcl  14461