Theorem psraddcl 14164

Description: Closure of the power series addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Generalize to magmas. (Revised by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psraddcl.s	|- S = ( I mPwSer R )
psraddcl.b	|- B = ( Base ` S )
psraddcl.p	|- .+ = ( +g ` S )
psraddcl.r	|- ( ph -> R e. Mgm )
psraddcl.x	|- ( ph -> X e. B )
psraddcl.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
psraddcl	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem psraddcl

Dummy variables f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psraddcl.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Mgm )
2		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4	2, 3	mgmcl 12942	. . . . . 6 |- ( ( R e. Mgm /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
5	4	3expb 1206	. . . . 5 |- ( ( R e. Mgm /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
6	1, 5	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
7		psraddcl.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
8		eqid 2193	. . . . 5 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
9		psraddcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
10		psraddcl.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
11	7, 2, 8, 9, 10	psrelbas 14160	. . . 4 |- ( ph -> X : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
12		psraddcl.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. B )
13	7, 2, 8, 9, 12	psrelbas 14160	. . . 4 |- ( ph -> Y : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
14		fnmap 6709	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
15		nn0ex 9246	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
16		reldmpsr 14151	. . . . . . . . 9 |- Rel dom mPwSer
17		fnpsr 14153	. . . . . . . . . 10 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
18		fnrel 5352	. . . . . . . . . 10 |- ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPwSer )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Rel mPwSer
20	16, 19, 7, 9	relelbasov 12680	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
21	10, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
22	21	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. _V )
23		fnovex 5951	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
24	14, 15, 22, 23	mp3an12i 1352	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
25		rabexg 4172	. . . . 5 |- ( ( NN0 ^m I ) e. _V -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
27		inidm 3368	. . . 4 |- ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } i^i { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
28	6, 11, 13, 26, 26, 27	off 6143	. . 3 |- ( ph -> ( X oF ( +g ` R ) Y ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
29		basfn 12676	. . . . 5 |- Base Fn _V
30	1	elexd 2773	. . . . 5 |- ( ph -> R e. _V )
31		funfvex 5571	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
32	31	funfni 5354	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
33	29, 30, 32	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
34	33, 26	elmapd 6716	. . 3 |- ( ph -> ( ( X oF ( +g ` R ) Y ) e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) <-> ( X oF ( +g ` R ) Y ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) )
35	28, 34	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( X oF ( +g ` R ) Y ) e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
36		psraddcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` S )
37	7, 9, 3, 36, 10, 12	psradd 14163	. 2 |- ( ph -> ( X .+ Y ) = ( X oF ( +g ` R ) Y ) )
38	7, 2, 8, 9, 22, 1	psrbasg 14159	. 2 |- ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
39	35, 37, 38	3eltr4d 2277	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   _Vcvv 2760   X. cxp 4657   `'ccnv 4658   "cima 4662   Rel wrel 4664   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   oFcof 6128   ^m cmap 6702   Fincfn 6794   NNcn 8982   NN0cn0 9240   Basecbs 12618   +g cplusg 12695  Mgmcmgm 12937   mPwSer cmps 14149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-ixp 6753  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-tset 12714  df-rest 12852  df-topn 12853  df-topgen 12871  df-pt 12872  df-mgm 12939  df-psr 14150

This theorem is referenced by: (None)