Theorem psraddcl 14994

Description: Closure of the power series addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Generalize to magmas. (Revised by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psraddcl.s	|- S = ( I mPwSer R )
psraddcl.b	|- B = ( Base ` S )
psraddcl.p	|- .+ = ( +g ` S )
psraddcl.r	|- ( ph -> R e. Mgm )
psraddcl.x	|- ( ph -> X e. B )
psraddcl.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
psraddcl	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem psraddcl

Dummy variables f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psraddcl.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Mgm )
2		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4	2, 3	mgmcl 13656	. . . . . 6 |- ( ( R e. Mgm /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
5	4	3expb 1235	. . . . 5 |- ( ( R e. Mgm /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
6	1, 5	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
7		psraddcl.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
8		eqid 2238	. . . . 5 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
9		psraddcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
10		psraddcl.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
11	7, 2, 8, 9, 10	psrelbas 14989	. . . 4 |- ( ph -> X : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
12		psraddcl.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. B )
13	7, 2, 8, 9, 12	psrelbas 14989	. . . 4 |- ( ph -> Y : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
14		fnmap 6919	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
15		nn0ex 9548	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
16		reldmpsr 14972	. . . . . . . . 9 |- Rel dom mPwSer
17		fnpsr 14974	. . . . . . . . . 10 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
18		fnrel 5474	. . . . . . . . . 10 |- ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPwSer )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Rel mPwSer
20	16, 19, 7, 9	relelbasov 13393	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
21	10, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
22	21	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. _V )
23		fnovex 6108	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
24	14, 15, 22, 23	mp3an12i 1382	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
25		rabexg 4274	. . . . 5 |- ( ( NN0 ^m I ) e. _V -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
27		inidm 3440	. . . 4 |- ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } i^i { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
28	6, 11, 13, 26, 26, 27	off 6305	. . 3 |- ( ph -> ( X oF ( +g ` R ) Y ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
29		basfn 13389	. . . . 5 |- Base Fn _V
30	1	elexd 2835	. . . . 5 |- ( ph -> R e. _V )
31		funfvex 5707	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
32	31	funfni 5478	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
33	29, 30, 32	sylancr 418	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
34	33, 26	elmapd 6926	. . 3 |- ( ph -> ( ( X oF ( +g ` R ) Y ) e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) <-> ( X oF ( +g ` R ) Y ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) )
35	28, 34	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( X oF ( +g ` R ) Y ) e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
36		psraddcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` S )
37	7, 9, 3, 36, 10, 12	psradd 14993	. 2 |- ( ph -> ( X .+ Y ) = ( X oF ( +g ` R ) Y ) )
38	7, 2, 8, 9, 22, 1	psrbasg 14988	. 2 |- ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
39	35, 37, 38	3eltr4d 2322	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   X. cxp 4767   `'ccnv 4768   "cima 4772   Rel wrel 4774   Fn wfn 5367   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   oFcof 6290   ^m cmap 6912   Fincfn 7012   NNcn 9283   NN0cn0 9542   Basecbs 13330   +g cplusg 13408  Mgmcmgm 13651   mPwSer cmps 14968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-ixp 6971  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-struct 13332  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-tset 13427  df-rest 13572  df-topn 13573  df-topgen 13591  df-pt 13592  df-mgm 13653  df-psr 14970

This theorem is referenced by:  mplsubgfilemcl  15013