Theorem psraddcl 15071

Description: Closure of the power series addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Generalize to magmas. (Revised by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psraddcl.s	|- S = ( I mPwSer R )
psraddcl.b	|- B = ( Base ` S )
psraddcl.p	|- .+ = ( +g ` S )
psraddcl.r	|- ( ph -> R e. Mgm )
psraddcl.x	|- ( ph -> X e. B )
psraddcl.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
psraddcl	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem psraddcl

Dummy variables f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psraddcl.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Mgm )
2		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4	2, 3	mgmcl 13679	. . . . . 6 |- ( ( R e. Mgm /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
5	4	3expb 1235	. . . . 5 |- ( ( R e. Mgm /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
6	1, 5	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
7		psraddcl.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
8		eqid 2238	. . . . 5 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
9		psraddcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
10		psraddcl.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
11	7, 2, 8, 9, 10	psrelbas 15066	. . . 4 |- ( ph -> X : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
12		psraddcl.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. B )
13	7, 2, 8, 9, 12	psrelbas 15066	. . . 4 |- ( ph -> Y : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
14		fnmap 6929	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
15		nn0ex 9569	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
16		reldmpsr 15049	. . . . . . . . 9 |- Rel dom mPwSer
17		fnpsr 15051	. . . . . . . . . 10 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
18		fnrel 5479	. . . . . . . . . 10 |- ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) -> Rel mPwSer )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Rel mPwSer
20	16, 19, 7, 9	relelbasov 13416	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
21	10, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
22	21	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. _V )
23		fnovex 6118	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
24	14, 15, 22, 23	mp3an12i 1382	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
25		rabexg 4279	. . . . 5 |- ( ( NN0 ^m I ) e. _V -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
27		inidm 3440	. . . 4 |- ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } i^i { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
28	6, 11, 13, 26, 26, 27	off 6315	. . 3 |- ( ph -> ( X oF ( +g ` R ) Y ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
29		basfn 13411	. . . . 5 |- Base Fn _V
30	1	elexd 2835	. . . . 5 |- ( ph -> R e. _V )
31		funfvex 5712	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
32	31	funfni 5483	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
33	29, 30, 32	sylancr 418	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
34	33, 26	elmapd 6936	. . 3 |- ( ph -> ( ( X oF ( +g ` R ) Y ) e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) <-> ( X oF ( +g ` R ) Y ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) )
35	28, 34	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( X oF ( +g ` R ) Y ) e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
36		psraddcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` S )
37	7, 9, 3, 36, 10, 12	psradd 15070	. 2 |- ( ph -> ( X .+ Y ) = ( X oF ( +g ` R ) Y ) )
38	7, 2, 8, 9, 22, 1	psrbasg 15065	. 2 |- ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
39	35, 37, 38	3eltr4d 2322	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   X. cxp 4772   `'ccnv 4773   "cima 4777   Rel wrel 4779   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   oFcof 6300   ^m cmap 6922   Fincfn 7022   NNcn 9304   NN0cn0 9563   Basecbs 13352   +g cplusg 13431  Mgmcmgm 13674   mPwSer cmps 15045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-ixp 6981  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-struct 13354  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-tset 13450  df-rest 13595  df-topn 13596  df-topgen 13614  df-pt 13615  df-mgm 13676  df-psr 15047

This theorem is used by:  mplsubgfilemcl  15090