Theorem ressabsg 12537

Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ressabsg	|- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s B ) )

Proof of Theorem ressabsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 997	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> A e. X )
2		simp2 998	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> B C_ A )
3	1, 2	ssexd 4145	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> B e. _V )
4		ressressg 12536	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. _V /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s ( A i^i B ) ) )
5	3, 4	syld3an2 1285	. 2 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s ( A i^i B ) ) )
6		sseqin2 3356	. . . 4 |- ( B C_ A <-> ( A i^i B ) = B )
7	2, 6	sylib 122	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( A i^i B ) = B )
8	7	oveq2d 5893	. 2 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( W ↾s ( A i^i B ) ) = ( W ↾s B ) )
9	5, 8	eqtrd 2210	1 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   i^i cin 3130   C_ wss 3131  (class class class)co 5877   ↾_s cress 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-inn 8922  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472

This theorem is referenced by:  subsubg  13062  subsubrg  13371  lsslss  13473