Theorem ressabsg 12697

Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ressabsg	|- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s B ) )

Proof of Theorem ressabsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> A e. X )
2		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> B C_ A )
3	1, 2	ssexd 4170	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> B e. _V )
4		ressressg 12696	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. _V /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s ( A i^i B ) ) )
5	3, 4	syld3an2 1296	. 2 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s ( A i^i B ) ) )
6		sseqin2 3379	. . . 4 |- ( B C_ A <-> ( A i^i B ) = B )
7	2, 6	sylib 122	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( A i^i B ) = B )
8	7	oveq2d 5935	. 2 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( W ↾s ( A i^i B ) ) = ( W ↾s B ) )
9	5, 8	eqtrd 2226	1 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   i^i cin 3153   C_ wss 3154  (class class class)co 5919   ↾_s cress 12622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-inn 8985  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629

This theorem is referenced by:  subsubm  13058  subsubg  13270  subsubrng  13713  subsubrg  13744  lsslss  13880