Theorem ressabsg 12591

Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ressabsg	|- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s B ) )

Proof of Theorem ressabsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> A e. X )
2		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> B C_ A )
3	1, 2	ssexd 4158	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> B e. _V )
4		ressressg 12590	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. _V /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s ( A i^i B ) ) )
5	3, 4	syld3an2 1296	. 2 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s ( A i^i B ) ) )
6		sseqin2 3369	. . . 4 |- ( B C_ A <-> ( A i^i B ) = B )
7	2, 6	sylib 122	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( A i^i B ) = B )
8	7	oveq2d 5913	. 2 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( W ↾s ( A i^i B ) ) = ( W ↾s B ) )
9	5, 8	eqtrd 2222	1 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   i^i cin 3143   C_ wss 3144  (class class class)co 5897   ↾_s cress 12516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1re 7936  ax-addrcl 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-inn 8951  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-iress 12523

This theorem is referenced by:  subsubm  12950  subsubg  13153  subsubrng  13578  subsubrg  13609  lsslss  13714