Theorem ressabsg 13281

Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ressabsg	|- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s B ) )

Proof of Theorem ressabsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> A e. X )
2		simp2 1025	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> B C_ A )
3	1, 2	ssexd 4249	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> B e. _V )
4		ressressg 13280	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. _V /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s ( A i^i B ) ) )
5	3, 4	syld3an2 1321	. 2 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s ( A i^i B ) ) )
6		sseqin2 3439	. . . 4 |- ( B C_ A <-> ( A i^i B ) = B )
7	2, 6	sylib 122	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( A i^i B ) = B )
8	7	oveq2d 6065	. 2 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( W ↾s ( A i^i B ) ) = ( W ↾s B ) )
9	5, 8	eqtrd 2265	1 |- ( ( A e. X /\ B C_ A /\ W e. Y ) -> ( ( W ↾s A ) ↾s B ) = ( W ↾s B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   i^i cin 3209   C_ wss 3210  (class class class)co 6049   ↾_s cress 13205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1re 8220  ax-addrcl 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-inn 9237  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-iress 13212

This theorem is referenced by:  subsubm  13688  subsubg  13906  subsubrng  14351  subsubrg  14382  lsslss  14521