Theorem ressabsg 12694

Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ressabsg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → ((𝑊 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵))

Proof of Theorem ressabsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		simp2 1000	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3	1, 2	ssexd 4169	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → 𝐵 ∈ V)
4		ressressg 12693	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → ((𝑊 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s (𝐴 ∩ 𝐵)))
5	3, 4	syld3an2 1296	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → ((𝑊 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s (𝐴 ∩ 𝐵)))
6		sseqin2 3378	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
7	2, 6	sylib 122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
8	7	oveq2d 5934	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝑊 ↾s (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑊 ↾s 𝐵))
9	5, 8	eqtrd 2226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → ((𝑊 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∩ cin 3152   ⊆ wss 3153  (class class class)co 5918   ↾_s cress 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626

This theorem is referenced by:  subsubm  13055  subsubg  13267  subsubrng  13710  subsubrg  13741  lsslss  13877