Theorem lsslss 14718

Description: The subspaces of a subspace are the smaller subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslss.x	|- X = ( W ↾s U )
lsslss.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lsslss.t	|- T = ( LSubSp ` X )

Assertion

Ref	Expression
lsslss	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( V e. T <-> ( V e. S /\ V C_ U ) ) )

Proof of Theorem lsslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsslss.x	. . . 4 |- X = ( W ↾s U )
2		lsslss.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lsslmod 14717	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> X e. LMod )
4		eqid 2238	. . . 4 |- ( X ↾s V ) = ( X ↾s V )
5		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
6		lsslss.t	. . . 4 |- T = ( LSubSp ` X )
7	4, 5, 6	islss3 14716	. . 3 |- ( X e. LMod -> ( V e. T <-> ( V C_ ( Base ` X ) /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) ) )
8	3, 7	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( V e. T <-> ( V C_ ( Base ` X ) /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) ) )
9	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> X = ( W ↾s U ) )
10		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( Base ` W ) = ( Base ` W ) )
12		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> W e. LMod )
13	10, 2	lssssg 14697	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U C_ ( Base ` W ) )
14	9, 11, 12, 13	ressbas2d 13422	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U = ( Base ` X ) )
15	14	sseq2d 3278	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( V C_ U <-> V C_ ( Base ` X ) ) )
16	15	anbi1d 469	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( ( V C_ U /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) <-> ( V C_ ( Base ` X ) /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) ) )
17		sstr2 3255	. . . . . . 7 |- ( V C_ U -> ( U C_ ( Base ` W ) -> V C_ ( Base ` W ) ) )
18	13, 17	mpan9 281	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> V C_ ( Base ` W ) )
19	18	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( ( W ↾s V ) e. LMod <-> ( V C_ ( Base ` W ) /\ ( W ↾s V ) e. LMod ) ) )
20	1	oveq1i 6095	. . . . . . 7 |- ( X ↾s V ) = ( ( W ↾s U ) ↾s V )
21		simplr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> U e. S )
22		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> V C_ U )
23		simpll 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> W e. LMod )
24		ressabsg 13430	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. S /\ V C_ U /\ W e. LMod ) -> ( ( W ↾s U ) ↾s V ) = ( W ↾s V ) )
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( ( W ↾s U ) ↾s V ) = ( W ↾s V ) )
26	20, 25	eqtrid 2283	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( X ↾s V ) = ( W ↾s V ) )
27	26	eleq1d 2307	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( ( X ↾s V ) e. LMod <-> ( W ↾s V ) e. LMod ) )
28		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( W ↾s V ) = ( W ↾s V )
29	28, 10, 2	islss3 14716	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( V e. S <-> ( V C_ ( Base ` W ) /\ ( W ↾s V ) e. LMod ) ) )
30	29	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( V e. S <-> ( V C_ ( Base ` W ) /\ ( W ↾s V ) e. LMod ) ) )
31	19, 27, 30	3bitr4d 220	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( ( X ↾s V ) e. LMod <-> V e. S ) )
32	31	pm5.32da 456	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( ( V C_ U /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) <-> ( V C_ U /\ V e. S ) ) )
33	32	biancomd 271	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( ( V C_ U /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) <-> ( V e. S /\ V C_ U ) ) )
34	8, 16, 33	3bitr2d 216	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( V e. T <-> ( V e. S /\ V C_ U ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   ↾_s cress 13353   LModclmod 14623   LSubSpclss 14689

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-sbg 13810  df-subg 13973  df-mgp 14218  df-ur 14263  df-ring 14302  df-lmod 14625  df-lssm 14690

This theorem is used by:  lsslsp  14766