Theorem lsslss 13877

Description: The subspaces of a subspace are the smaller subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslss.x	|- X = ( W ↾s U )
lsslss.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lsslss.t	|- T = ( LSubSp ` X )

Assertion

Ref	Expression
lsslss	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( V e. T <-> ( V e. S /\ V C_ U ) ) )

Proof of Theorem lsslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsslss.x	. . . 4 |- X = ( W ↾s U )
2		lsslss.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lsslmod 13876	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> X e. LMod )
4		eqid 2193	. . . 4 |- ( X ↾s V ) = ( X ↾s V )
5		eqid 2193	. . . 4 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
6		lsslss.t	. . . 4 |- T = ( LSubSp ` X )
7	4, 5, 6	islss3 13875	. . 3 |- ( X e. LMod -> ( V e. T <-> ( V C_ ( Base ` X ) /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) ) )
8	3, 7	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( V e. T <-> ( V C_ ( Base ` X ) /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) ) )
9	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> X = ( W ↾s U ) )
10		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( Base ` W ) = ( Base ` W ) )
12		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> W e. LMod )
13	10, 2	lssssg 13856	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U C_ ( Base ` W ) )
14	9, 11, 12, 13	ressbas2d 12686	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U = ( Base ` X ) )
15	14	sseq2d 3209	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( V C_ U <-> V C_ ( Base ` X ) ) )
16	15	anbi1d 465	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( ( V C_ U /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) <-> ( V C_ ( Base ` X ) /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) ) )
17		sstr2 3186	. . . . . . 7 |- ( V C_ U -> ( U C_ ( Base ` W ) -> V C_ ( Base ` W ) ) )
18	13, 17	mpan9 281	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> V C_ ( Base ` W ) )
19	18	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( ( W ↾s V ) e. LMod <-> ( V C_ ( Base ` W ) /\ ( W ↾s V ) e. LMod ) ) )
20	1	oveq1i 5928	. . . . . . 7 |- ( X ↾s V ) = ( ( W ↾s U ) ↾s V )
21		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> U e. S )
22		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> V C_ U )
23		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> W e. LMod )
24		ressabsg 12694	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. S /\ V C_ U /\ W e. LMod ) -> ( ( W ↾s U ) ↾s V ) = ( W ↾s V ) )
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( ( W ↾s U ) ↾s V ) = ( W ↾s V ) )
26	20, 25	eqtrid 2238	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( X ↾s V ) = ( W ↾s V ) )
27	26	eleq1d 2262	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( ( X ↾s V ) e. LMod <-> ( W ↾s V ) e. LMod ) )
28		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( W ↾s V ) = ( W ↾s V )
29	28, 10, 2	islss3 13875	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( V e. S <-> ( V C_ ( Base ` W ) /\ ( W ↾s V ) e. LMod ) ) )
30	29	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( V e. S <-> ( V C_ ( Base ` W ) /\ ( W ↾s V ) e. LMod ) ) )
31	19, 27, 30	3bitr4d 220	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( ( X ↾s V ) e. LMod <-> V e. S ) )
32	31	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( ( V C_ U /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) <-> ( V C_ U /\ V e. S ) ) )
33	32	biancomd 271	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( ( V C_ U /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) <-> ( V e. S /\ V C_ U ) ) )
34	8, 16, 33	3bitr2d 216	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( V e. T <-> ( V e. S /\ V C_ U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3153   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   ↾_s cress 12619   LModclmod 13783   LSubSpclss 13848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-subg 13240  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494  df-lmod 13785  df-lssm 13849

This theorem is referenced by:  lsslsp  13925