Theorem lsslss 14385

Description: The subspaces of a subspace are the smaller subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslss.x	|- X = ( W ↾s U )
lsslss.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lsslss.t	|- T = ( LSubSp ` X )

Assertion

Ref	Expression
lsslss	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( V e. T <-> ( V e. S /\ V C_ U ) ) )

Proof of Theorem lsslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsslss.x	. . . 4 |- X = ( W ↾s U )
2		lsslss.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lsslmod 14384	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> X e. LMod )
4		eqid 2229	. . . 4 |- ( X ↾s V ) = ( X ↾s V )
5		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
6		lsslss.t	. . . 4 |- T = ( LSubSp ` X )
7	4, 5, 6	islss3 14383	. . 3 |- ( X e. LMod -> ( V e. T <-> ( V C_ ( Base ` X ) /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) ) )
8	3, 7	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( V e. T <-> ( V C_ ( Base ` X ) /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) ) )
9	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> X = ( W ↾s U ) )
10		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( Base ` W ) = ( Base ` W ) )
12		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> W e. LMod )
13	10, 2	lssssg 14364	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U C_ ( Base ` W ) )
14	9, 11, 12, 13	ressbas2d 13141	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U = ( Base ` X ) )
15	14	sseq2d 3255	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( V C_ U <-> V C_ ( Base ` X ) ) )
16	15	anbi1d 465	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( ( V C_ U /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) <-> ( V C_ ( Base ` X ) /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) ) )
17		sstr2 3232	. . . . . . 7 |- ( V C_ U -> ( U C_ ( Base ` W ) -> V C_ ( Base ` W ) ) )
18	13, 17	mpan9 281	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> V C_ ( Base ` W ) )
19	18	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( ( W ↾s V ) e. LMod <-> ( V C_ ( Base ` W ) /\ ( W ↾s V ) e. LMod ) ) )
20	1	oveq1i 6023	. . . . . . 7 |- ( X ↾s V ) = ( ( W ↾s U ) ↾s V )
21		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> U e. S )
22		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> V C_ U )
23		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> W e. LMod )
24		ressabsg 13149	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. S /\ V C_ U /\ W e. LMod ) -> ( ( W ↾s U ) ↾s V ) = ( W ↾s V ) )
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( ( W ↾s U ) ↾s V ) = ( W ↾s V ) )
26	20, 25	eqtrid 2274	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( X ↾s V ) = ( W ↾s V ) )
27	26	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( ( X ↾s V ) e. LMod <-> ( W ↾s V ) e. LMod ) )
28		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( W ↾s V ) = ( W ↾s V )
29	28, 10, 2	islss3 14383	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( V e. S <-> ( V C_ ( Base ` W ) /\ ( W ↾s V ) e. LMod ) ) )
30	29	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( V e. S <-> ( V C_ ( Base ` W ) /\ ( W ↾s V ) e. LMod ) ) )
31	19, 27, 30	3bitr4d 220	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ V C_ U ) -> ( ( X ↾s V ) e. LMod <-> V e. S ) )
32	31	pm5.32da 452	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( ( V C_ U /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) <-> ( V C_ U /\ V e. S ) ) )
33	32	biancomd 271	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( ( V C_ U /\ ( X ↾s V ) e. LMod ) <-> ( V e. S /\ V C_ U ) ) )
34	8, 16, 33	3bitr2d 216	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( V e. T <-> ( V e. S /\ V C_ U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3198   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13072   ↾_s cress 13073   LModclmod 14291   LSubSpclss 14356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-iress 13080  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-sca 13166  df-vsca 13167  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-sbg 13578  df-subg 13747  df-mgp 13924  df-ur 13963  df-ring 14001  df-lmod 14293  df-lssm 14357

This theorem is referenced by:  lsslsp  14433