Theorem ressipg 13387

Description: The inner product is unaffected by restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
resssca.1	|- H = ( G ↾s A )
ressip.2	|- ., = ( .i ` G )

Assertion

Ref	Expression
ressipg	|- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> ., = ( .i ` H ) )

Proof of Theorem ressipg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resssca.1	. 2 |- H = ( G ↾s A )
2		ressip.2	. 2 |- ., = ( .i ` G )
3		ipslid 13373	. 2 |- ( .i = Slot ( .i ` ndx ) /\ ( .i ` ndx ) e. NN )
4		ipndxnbasendx 13374	. 2 |- ( .i ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )
5		simpl 109	. 2 |- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> G e. X )
6		simpr 110	. 2 |- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> A e. V )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	resseqnbasd 13275	1 |- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> ., = ( .i ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   ↾_s cress 13202   .icip 13284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-ltxr 8309  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-ip 13297

This theorem is referenced by: (None)