ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ressipg GIF version

Theorem ressipg 12657
Description: The inner product is unaffected by restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
resssca.1 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝐴)
ressip.2 , = (Β·π‘–β€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
ressipg ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ , = (Β·π‘–β€˜π»))

Proof of Theorem ressipg
StepHypRef Expression
1 resssca.1 . 2 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝐴)
2 ressip.2 . 2 , = (Β·π‘–β€˜πΊ)
3 ipslid 12643 . 2 (·𝑖 = Slot (Β·π‘–β€˜ndx) ∧ (Β·π‘–β€˜ndx) ∈ β„•)
4 ipndxnbasendx 12644 . 2 (Β·π‘–β€˜ndx) β‰  (Baseβ€˜ndx)
5 simpl 109 . 2 ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
6 simpr 110 . 2 ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 4, 5, 6resseqnbasd 12546 1 ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ , = (Β·π‘–β€˜π»))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888   β†Ύs cress 12476  Β·π‘–cip 12555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-7 8996  df-8 8997  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-iress 12483  df-ip 12568
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator