Theorem ressipg 13050

Description: The inner product is unaffected by restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
resssca.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressip.2	⊢ , = (·𝑖‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressipg	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → , = (·𝑖‘𝐻))

Proof of Theorem ressipg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resssca.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressip.2	. 2 ⊢ , = (·𝑖‘𝐺)
3		ipslid 13036	. 2 ⊢ (·𝑖 = Slot (·𝑖‘ndx) ∧ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ)
4		ipndxnbasendx 13037	. 2 ⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
5		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝑋)
6		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	resseqnbasd 12938	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → , = (·𝑖‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ‘cfv 5272  (class class class)co 5946   ↾_s cress 12866  ·_𝑖cip 12947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-5 9100  df-6 9101  df-7 9102  df-8 9103  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-sets 12872  df-iress 12873  df-ip 12960

This theorem is referenced by: (None)