Theorem ressvscag 13288

Description: .s is unaffected by restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resssca.1	|- H = ( G ↾s A )
ressvsca.2	|- .x. = ( .s ` G )

Assertion

Ref	Expression
ressvscag	|- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> .x. = ( .s ` H ) )

Proof of Theorem ressvscag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resssca.1	. 2 |- H = ( G ↾s A )
2		ressvsca.2	. 2 |- .x. = ( .s ` G )
3		vscaslid 13267	. 2 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
4		vscandxnbasendx 13263	. 2 |- ( .s ` ndx ) =/= ( Base ` ndx )
5		simpl 109	. 2 |- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> G e. X )
6		simpr 110	. 2 |- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> A e. V )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	resseqnbasd 13177	1 |- ( ( G e. X /\ A e. V ) -> .x. = ( .s ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6021   ↾_s cress 13104   .scvsca 13185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-ltxr 8222  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-5 9208  df-6 9209  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-sets 13110  df-iress 13111  df-vsca 13198

This theorem is referenced by:  islss3  14415