Theorem restsn 12388

Description: The only subspace topology induced by the topology { (/) }. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
restsn	|- ( A e. V -> ( { (/) } ↾t A ) = { (/) } )

Proof of Theorem restsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn0top 12297	. . . 4 |- { (/) } e. Top
2		elrest 12166	. . . 4 |- ( ( { (/) } e. Top /\ A e. V ) -> ( x e. ( { (/) } ↾t A ) <-> E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) ) )
3	1, 2	mpan 421	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. ( { (/) } ↾t A ) <-> E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) ) )
4		0ex 4063	. . . . 5 |- (/) e. _V
5		ineq1 3275	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> ( y i^i A ) = ( (/) i^i A ) )
6		0in 3403	. . . . . . 7 |- ( (/) i^i A ) = (/)
7	5, 6	eqtrdi 2189	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( y i^i A ) = (/) )
8	7	eqeq2d 2152	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( x = ( y i^i A ) <-> x = (/) ) )
9	4, 8	rexsn 3575	. . . 4 |- ( E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) <-> x = (/) )
10		velsn 3549	. . . 4 |- ( x e. { (/) } <-> x = (/) )
11	9, 10	bitr4i 186	. . 3 |- ( E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) <-> x e. { (/) } )
12	3, 11	syl6bb 195	. 2 |- ( A e. V -> ( x e. ( { (/) } ↾t A ) <-> x e. { (/) } ) )
13	12	eqrdv 2138	1 |- ( A e. V -> ( { (/) } ↾t A ) = { (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418   i^i cin 3075   (/)c0 3368   {csn 3532  (class class class)co 5782   ↾_t crest 12159   Topctop 12203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-rest 12161  df-top 12204  df-topon 12217

This theorem is referenced by: (None)