Theorem restsn 13059

Description: The only subspace topology induced by the topology { (/) }. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
restsn	|- ( A e. V -> ( { (/) } ↾t A ) = { (/) } )

Proof of Theorem restsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn0top 12968	. . . 4 |- { (/) } e. Top
2		elrest 12590	. . . 4 |- ( ( { (/) } e. Top /\ A e. V ) -> ( x e. ( { (/) } ↾t A ) <-> E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) ) )
3	1, 2	mpan 422	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. ( { (/) } ↾t A ) <-> E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) ) )
4		0ex 4117	. . . . 5 |- (/) e. _V
5		ineq1 3322	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> ( y i^i A ) = ( (/) i^i A ) )
6		0in 3451	. . . . . . 7 |- ( (/) i^i A ) = (/)
7	5, 6	eqtrdi 2220	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( y i^i A ) = (/) )
8	7	eqeq2d 2183	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( x = ( y i^i A ) <-> x = (/) ) )
9	4, 8	rexsn 3628	. . . 4 |- ( E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) <-> x = (/) )
10		velsn 3601	. . . 4 |- ( x e. { (/) } <-> x = (/) )
11	9, 10	bitr4i 186	. . 3 |- ( E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) <-> x e. { (/) } )
12	3, 11	bitrdi 195	. 2 |- ( A e. V -> ( x e. ( { (/) } ↾t A ) <-> x e. { (/) } ) )
13	12	eqrdv 2169	1 |- ( A e. V -> ( { (/) } ↾t A ) = { (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1349   e. wcel 2142   E.wrex 2450   i^i cin 3121   (/)c0 3415   {csn 3584  (class class class)co 5857   ↾_t crest 12583   Topctop 12874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-rest 12585  df-top 12875  df-topon 12888

This theorem is referenced by: (None)