Theorem restsn 12820

Description: The only subspace topology induced by the topology { (/) }. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
restsn	|- ( A e. V -> ( { (/) } ↾t A ) = { (/) } )

Proof of Theorem restsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn0top 12729	. . . 4 |- { (/) } e. Top
2		elrest 12563	. . . 4 |- ( ( { (/) } e. Top /\ A e. V ) -> ( x e. ( { (/) } ↾t A ) <-> E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) ) )
3	1, 2	mpan 421	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. ( { (/) } ↾t A ) <-> E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) ) )
4		0ex 4109	. . . . 5 |- (/) e. _V
5		ineq1 3316	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> ( y i^i A ) = ( (/) i^i A ) )
6		0in 3444	. . . . . . 7 |- ( (/) i^i A ) = (/)
7	5, 6	eqtrdi 2215	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( y i^i A ) = (/) )
8	7	eqeq2d 2177	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( x = ( y i^i A ) <-> x = (/) ) )
9	4, 8	rexsn 3620	. . . 4 |- ( E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) <-> x = (/) )
10		velsn 3593	. . . 4 |- ( x e. { (/) } <-> x = (/) )
11	9, 10	bitr4i 186	. . 3 |- ( E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) <-> x e. { (/) } )
12	3, 11	bitrdi 195	. 2 |- ( A e. V -> ( x e. ( { (/) } ↾t A ) <-> x e. { (/) } ) )
13	12	eqrdv 2163	1 |- ( A e. V -> ( { (/) } ↾t A ) = { (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   i^i cin 3115   (/)c0 3409   {csn 3576  (class class class)co 5842   ↾_t crest 12556   Topctop 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-rest 12558  df-top 12636  df-topon 12649

This theorem is referenced by: (None)