Theorem restsn 14033

Description: The only subspace topology induced by the topology { (/) }. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
restsn	|- ( A e. V -> ( { (/) } ↾t A ) = { (/) } )

Proof of Theorem restsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn0top 13942	. . . 4 |- { (/) } e. Top
2		elrest 12713	. . . 4 |- ( ( { (/) } e. Top /\ A e. V ) -> ( x e. ( { (/) } ↾t A ) <-> E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) ) )
3	1, 2	mpan 424	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. ( { (/) } ↾t A ) <-> E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) ) )
4		0ex 4142	. . . . 5 |- (/) e. _V
5		ineq1 3341	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> ( y i^i A ) = ( (/) i^i A ) )
6		0in 3470	. . . . . . 7 |- ( (/) i^i A ) = (/)
7	5, 6	eqtrdi 2236	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( y i^i A ) = (/) )
8	7	eqeq2d 2199	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( x = ( y i^i A ) <-> x = (/) ) )
9	4, 8	rexsn 3648	. . . 4 |- ( E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) <-> x = (/) )
10		velsn 3621	. . . 4 |- ( x e. { (/) } <-> x = (/) )
11	9, 10	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) <-> x e. { (/) } )
12	3, 11	bitrdi 196	. 2 |- ( A e. V -> ( x e. ( { (/) } ↾t A ) <-> x e. { (/) } ) )
13	12	eqrdv 2185	1 |- ( A e. V -> ( { (/) } ↾t A ) = { (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   E.wrex 2466   i^i cin 3140   (/)c0 3434   {csn 3604  (class class class)co 5888   ↾_t crest 12706   Topctop 13850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-rest 12708  df-top 13851  df-topon 13864

This theorem is referenced by: (None)