ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  restsn Unicode version

Theorem restsn 12933
Description: The only subspace topology induced by the topology 
{ (/) }. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
restsn  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (/) }t  A )  =  { (/)
} )

Proof of Theorem restsn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sn0top 12842 . . . 4  |-  { (/) }  e.  Top
2 elrest 12573 . . . 4  |-  ( ( { (/) }  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  ( { (/) }t  A )  <->  E. y  e.  { (/) } x  =  ( y  i^i  A ) ) )
31, 2mpan 422 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( {
(/) }t  A )  <->  E. y  e.  { (/) } x  =  ( y  i^i  A
) ) )
4 0ex 4114 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
5 ineq1 3321 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  A )  =  ( (/)  i^i  A ) )
6 0in 3449 . . . . . . 7  |-  ( (/)  i^i 
A )  =  (/)
75, 6eqtrdi 2219 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  A )  =  (/) )
87eqeq2d 2182 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  =  ( y  i^i 
A )  <->  x  =  (/) ) )
94, 8rexsn 3625 . . . 4  |-  ( E. y  e.  { (/) } x  =  ( y  i^i  A )  <->  x  =  (/) )
10 velsn 3598 . . . 4  |-  ( x  e.  { (/) }  <->  x  =  (/) )
119, 10bitr4i 186 . . 3  |-  ( E. y  e.  { (/) } x  =  ( y  i^i  A )  <->  x  e.  {
(/) } )
123, 11bitrdi 195 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( {
(/) }t  A )  <->  x  e.  {
(/) } ) )
1312eqrdv 2168 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( { (/) }t  A )  =  { (/)
} )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   E.wrex 2449    i^i cin 3120   (/)c0 3414   {csn 3581  (class class class)co 5850   ↾t crest 12566   Topctop 12748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-rest 12568  df-top 12749  df-topon 12762
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator