Theorem restsn 14500

Description: The only subspace topology induced by the topology { (/) }. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
restsn	|- ( A e. V -> ( { (/) } ↾t A ) = { (/) } )

Proof of Theorem restsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn0top 14409	. . . 4 |- { (/) } e. Top
2		elrest 12948	. . . 4 |- ( ( { (/) } e. Top /\ A e. V ) -> ( x e. ( { (/) } ↾t A ) <-> E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) ) )
3	1, 2	mpan 424	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. ( { (/) } ↾t A ) <-> E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) ) )
4		0ex 4161	. . . . 5 |- (/) e. _V
5		ineq1 3358	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> ( y i^i A ) = ( (/) i^i A ) )
6		0in 3487	. . . . . . 7 |- ( (/) i^i A ) = (/)
7	5, 6	eqtrdi 2245	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( y i^i A ) = (/) )
8	7	eqeq2d 2208	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( x = ( y i^i A ) <-> x = (/) ) )
9	4, 8	rexsn 3667	. . . 4 |- ( E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) <-> x = (/) )
10		velsn 3640	. . . 4 |- ( x e. { (/) } <-> x = (/) )
11	9, 10	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. y e. { (/) } x = ( y i^i A ) <-> x e. { (/) } )
12	3, 11	bitrdi 196	. 2 |- ( A e. V -> ( x e. ( { (/) } ↾t A ) <-> x e. { (/) } ) )
13	12	eqrdv 2194	1 |- ( A e. V -> ( { (/) } ↾t A ) = { (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   i^i cin 3156   (/)c0 3451   {csn 3623  (class class class)co 5925   ↾_t crest 12941   Topctop 14317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-rest 12943  df-top 14318  df-topon 14331

This theorem is referenced by: (None)