Theorem restsn 14974

Description: The only subspace topology induced by the topology {∅}. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
restsn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})

Proof of Theorem restsn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn0top 14883	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Top
2		elrest 13392	. . . 4 ⊢ (({∅} ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ({∅} ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
3	1, 2	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ ({∅} ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
4		0ex 4221	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5		ineq1 3403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∩ 𝐴) = (∅ ∩ 𝐴))
6		0in 3532	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∩ 𝐴) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2280	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∩ 𝐴) = ∅)
8	7	eqeq2d 2243	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 = ∅))
9	4, 8	rexsn 3717	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 = ∅)
10		velsn 3690	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
11	9, 10	bitr4i 187	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {∅})
12	3, 11	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ ({∅} ↾t 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {∅}))
13	12	eqrdv 2229	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2512   ∩ cin 3200  ∅c0 3496  {csn 3673  (class class class)co 6028   ↾_t crest 13385  Topctop 14791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-rest 13387  df-top 14792  df-topon 14805

This theorem is referenced by: (None)