Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  restsn GIF version

Theorem restsn 12388
 Description: The only subspace topology induced by the topology {∅}. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
restsn (𝐴𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})

Proof of Theorem restsn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sn0top 12297 . . . 4 {∅} ∈ Top
2 elrest 12166 . . . 4 (({∅} ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥 ∈ ({∅} ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦𝐴)))
31, 2mpan 421 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ ({∅} ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦𝐴)))
4 0ex 4063 . . . . 5 ∅ ∈ V
5 ineq1 3275 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝐴) = (∅ ∩ 𝐴))
6 0in 3403 . . . . . . 7 (∅ ∩ 𝐴) = ∅
75, 6eqtrdi 2189 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝐴) = ∅)
87eqeq2d 2152 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → (𝑥 = (𝑦𝐴) ↔ 𝑥 = ∅))
94, 8rexsn 3575 . . . 4 (∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦𝐴) ↔ 𝑥 = ∅)
10 velsn 3549 . . . 4 (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
119, 10bitr4i 186 . . 3 (∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {∅})
123, 11syl6bb 195 . 2 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ ({∅} ↾t 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {∅}))
1312eqrdv 2138 1 (𝐴𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   ∩ cin 3075  ∅c0 3368  {csn 3532  (class class class)co 5782   ↾t crest 12159  Topctop 12203 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-rest 12161  df-top 12204  df-topon 12217 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator