Theorem restsn 14348

Description: The only subspace topology induced by the topology {∅}. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
restsn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})

Proof of Theorem restsn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn0top 14257	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Top
2		elrest 12857	. . . 4 ⊢ (({∅} ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ({∅} ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
3	1, 2	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ ({∅} ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
4		0ex 4156	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5		ineq1 3353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∩ 𝐴) = (∅ ∩ 𝐴))
6		0in 3482	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∩ 𝐴) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2242	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∩ 𝐴) = ∅)
8	7	eqeq2d 2205	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 = ∅))
9	4, 8	rexsn 3662	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 = ∅)
10		velsn 3635	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
11	9, 10	bitr4i 187	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {∅})
12	3, 11	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ ({∅} ↾t 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {∅}))
13	12	eqrdv 2191	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473   ∩ cin 3152  ∅c0 3446  {csn 3618  (class class class)co 5918   ↾_t crest 12850  Topctop 14165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-rest 12852  df-top 14166  df-topon 14179

This theorem is referenced by: (None)