Theorem axcaucvglemcl 7914

Description: Lemma for axcaucvg 7919. Mapping to N. and R.. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcaucvglemcl.n	|- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
axcaucvglemcl.f	|- ( ph -> F : N --> RR )

Assertion

Ref	Expression
axcaucvglemcl	|- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( iota_ z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. ) e. R. )

Distinct variable groups:   z, F   J, l, u, z   y, l, u   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, u, l)   F( x, y, u, l)   J( x, y)   N( x, y, z, u, l)

Proof of Theorem axcaucvglemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pitonn 7867	. . . . . 6 |- ( J e. N. -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
2		axcaucvglemcl.n	. . . . . 6 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
3	1, 2	eleqtrrdi 2283	. . . . 5 |- ( J e. N. -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. N )
4		axcaucvglemcl.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : N --> RR )
5	4	ffvelcdmda 5668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. e. N ) -> ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) e. RR )
6	3, 5	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) e. RR )
7		elrealeu 7848	. . . 4 |- ( ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) e. RR <-> E! z e. R. <. z , 0R >. = ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) )
8	6, 7	sylib 122	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> E! z e. R. <. z , 0R >. = ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) )
9		eqcom 2191	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) <-> ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. )
10	9	reubii 2676	. . 3 |- ( E! z e. R. <. z , 0R >. = ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) <-> E! z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. )
11	8, 10	sylib 122	. 2 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> E! z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. )
12		riotacl 5862	. 2 |- ( E! z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. -> ( iota_ z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. ) e. R. )
13	11, 12	syl 14	1 |- ( ( ph /\ J e. N. ) -> ( iota_ z e. R. ( F ` <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) = <. z , 0R >. ) e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   E!wreu 2470   <.cop 3610   |^|cint 3859   class class class wbr 4018   -->wf 5228   ` cfv 5232   iota_crio 5847  (class class class)co 5892   1oc1o 6429   [cec 6552   N.cnpi 7291   ~Q ceq 7298   <Q cltq 7304   1Pc1p 7311   +P. cpp 7312   ~R cer 7315   R.cnr 7316   0Rc0r 7317   RRcr 7830   1c1 7832   + caddc 7834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-irdg 6390  df-1o 6436  df-2o 6437  df-oadd 6440  df-omul 6441  df-er 6554  df-ec 6556  df-qs 6560  df-ni 7323  df-pli 7324  df-mi 7325  df-lti 7326  df-plpq 7363  df-mpq 7364  df-enq 7366  df-nqqs 7367  df-plqqs 7368  df-mqqs 7369  df-1nqqs 7370  df-rq 7371  df-ltnqqs 7372  df-enq0 7443  df-nq0 7444  df-0nq0 7445  df-plq0 7446  df-mq0 7447  df-inp 7485  df-i1p 7486  df-iplp 7487  df-enr 7745  df-nr 7746  df-plr 7747  df-0r 7750  df-1r 7751  df-c 7837  df-1 7839  df-r 7841  df-add 7842

This theorem is referenced by:  axcaucvglemf  7915  axcaucvglemval  7916