Theorem divclap 8565

Description: Closure law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divclap	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) e. CC )

Proof of Theorem divclap

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divvalap 8561	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) = ( iota_ x e. CC ( B x. x ) = A ) )
2		receuap 8557	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> E! x e. CC ( B x. x ) = A )
3		riotacl 5806	. . 3 |- ( E! x e. CC ( B x. x ) = A -> ( iota_ x e. CC ( B x. x ) = A ) e. CC )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( iota_ x e. CC ( B x. x ) = A ) e. CC )
5	1, 4	eqeltrd 2241	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 967   = wceq 1342   e. wcel 2135   E!wreu 2444   class class class wbr 3976   iota_crio 5791  (class class class)co 5836   CCcc 7742   0cc0 7744   x. cmul 7749   # cap 8470   / cdiv 8559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560

This theorem is referenced by:  recclap  8566  divcanap2  8567  divcanap1  8568  divap0b  8570  div23ap  8578  div12ap  8581  divmulasscomap  8583  div11ap  8587  divsubdirap  8595  divmuldivap  8599  divdivdivap  8600  divcanap5  8601  divmuleqap  8604  divcanap6  8606  divdiv32ap  8607  dmdcanap  8609  ddcanap  8613  divsubdivap  8615  div2negap  8622  divclapzi  8634  divclapi  8641  divclapd  8677  nndivtr  8890  halfcl  9074  sqdivap  10509  cjdivap  10837  absdivap  10998  sinf  11631  efi4p  11644  dvrecap  13218