ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flapcl Unicode version

Theorem flapcl 9999
Description: The floor (greatest integer) function yields an integer when applied to a real number apart from any integer. For example, an irrational number (see for example sqrt2irrap 11764) would satisfy this condition. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
flapcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A. n  e.  ZZ  A #  n )  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem flapcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flval 9996 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
21adantr 272 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A. n  e.  ZZ  A #  n )  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
3 apbtwnz 9998 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A. n  e.  ZZ  A #  n )  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
4 riotacl 5710 . . 3  |-  ( E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  -> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  e.  ZZ )
53, 4syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A. n  e.  ZZ  A #  n )  ->  ( iota_ x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  e.  ZZ )
62, 5eqeltrd 2192 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A. n  e.  ZZ  A #  n )  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   E!wreu 2393   class class class wbr 3897   ` cfv 5091   iota_crio 5695  (class class class)co 5740   RRcr 7583   1c1 7585    + caddc 7587    < clt 7764    <_ cle 7765   # cap 8306   ZZcz 9008   |_cfl 9992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-fl 9994
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator