Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qnumdenbi Unicode version

Theorem qnumdenbi 11859
 Description: Two numbers are the canonical representation of a rational iff they are coprime and have the right quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qnumdenbi numer denom

Proof of Theorem qnumdenbi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4566 . . . 4
3 qredeu 11767 . . . 4
5 fveq2 5414 . . . . . . 7
6 fveq2 5414 . . . . . . 7
75, 6oveq12d 5785 . . . . . 6
87eqeq1d 2146 . . . . 5
95, 6oveq12d 5785 . . . . . 6
109eqeq2d 2149 . . . . 5
118, 10anbi12d 464 . . . 4
1211riota2 5745 . . 3
132, 4, 12syl2anc 408 . 2
14 op1stg 6041 . . . . . 6
15 op2ndg 6042 . . . . . 6
1614, 15oveq12d 5785 . . . . 5
17163adant1 999 . . . 4
1817eqeq1d 2146 . . 3
19143adant1 999 . . . . 5
20153adant1 999 . . . . 5
2119, 20oveq12d 5785 . . . 4
2221eqeq2d 2149 . . 3
2318, 22anbi12d 464 . 2
24 riotacl 5737 . . . . . . 7
25 1st2nd2 6066 . . . . . . 7
263, 24, 253syl 17 . . . . . 6
27 qnumval 11852 . . . . . . 7 numer
28 qdenval 11853 . . . . . . 7 denom
2927, 28opeq12d 3708 . . . . . 6 numer denom
3026, 29eqtr4d 2173 . . . . 5 numer denom
3130eqeq1d 2146 . . . 4 numer denom
32313ad2ant1 1002 . . 3 numer denom
33 qnumcl 11855 . . . . 5 numer
34 qdencl 11856 . . . . 5 denom
35 opthg 4155 . . . . 5 numer denom numer denom numer denom
3633, 34, 35syl2anc 408 . . . 4 numer denom numer denom
37363ad2ant1 1002 . . 3 numer denom numer denom
3832, 37bitrd 187 . 2 numer denom
3913, 23, 383bitr3d 217 1 numer denom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 962   wceq 1331   wcel 1480  wreu 2416  cop 3525   cxp 4532  cfv 5118  crio 5722  (class class class)co 5767  c1st 6029  c2nd 6030  c1 7614   cdiv 8425  cn 8713  cz 9047  cq 9404   cgcd 11624  numercnumer 11848  denomcdenom 11849 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-sup 6864  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-fl 10036  df-mod 10089  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-dvds 11483  df-gcd 11625  df-numer 11850  df-denom 11851 This theorem is referenced by:  qnumdencoprm  11860  qeqnumdivden  11861  divnumden  11863  numdensq  11869
 Copyright terms: Public domain W3C validator