ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqcl Unicode version

Theorem flqcl 10014
Description: The floor (greatest integer) function yields an integer when applied to a rational (closure law). For a similar closure law for real numbers apart from any integer, see flapcl 10016. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqcl  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )

Proof of Theorem flqcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qre 9385 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
2 flval 10013 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
4 qbtwnz 9997 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
5 riotacl 5712 . . 3  |-  ( E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  -> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  e.  ZZ )
64, 5syl 14 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( iota_ x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  e.  ZZ )
73, 6eqeltrd 2194 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   E!wreu 2395   class class class wbr 3899   ` cfv 5093   iota_crio 5697  (class class class)co 5742   RRcr 7587   1c1 7589    + caddc 7591    < clt 7768    <_ cle 7769   ZZcz 9022   QQcq 9379   |_cfl 10009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-q 9380  df-rp 9410  df-fl 10011
This theorem is referenced by:  flqlelt  10017  flqcld  10018  qfraclt1  10021  qfracge0  10022  flqidm  10026  flqidz  10027  flqge0nn0  10034  flqge1nn  10035  flqaddz  10038  flqzadd  10039  flqmulnn0  10040  ceilqval  10047  flqleceil  10058  flqeqceilz  10059  intqfrac2  10060  flqdiv  10062  modqfrac  10078  flqmod  10079  intqfrac  10080  modqmulnn  10083
  Copyright terms: Public domain W3C validator