Theorem flqcl 10303

Description: The floor (greatest integer) function yields an integer when applied to a rational (closure law). For a similar closure law for real numbers apart from any integer, see flapcl 10305. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqcl	|- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Proof of Theorem flqcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9654	. . 3 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
2		flval 10302	. . 3 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
4		qbtwnz 10281	. . 3 |- ( A e. QQ -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
5		riotacl 5865	. . 3 |- ( E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. QQ -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2266	1 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   E!wreu 2470   class class class wbr 4018   ` cfv 5235   iota_crio 5850  (class class class)co 5895   RRcr 7839   1c1 7841   + caddc 7843   < clt 8021   <_ cle 8022   ZZcz 9282   QQcq 9648   |_cfl 10298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958  ax-arch 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-q 9649  df-rp 9683  df-fl 10300

This theorem is referenced by:  flqlelt  10306  flqcld  10307  qfraclt1  10310  qfracge0  10311  flqidm  10315  flqidz  10316  flqge0nn0  10323  flqge1nn  10324  flqaddz  10327  flqzadd  10328  flqmulnn0  10329  ceilqval  10336  flqleceil  10347  flqeqceilz  10348  intqfrac2  10349  flqdiv  10351  modqfrac  10367  flqmod  10368  intqfrac  10369  modqmulnn  10372