Theorem flqcl 10724

Description: The floor (greatest integer) function yields an integer when applied to a rational (closure law). For a similar closure law for real numbers which are either rational or irrational, see flapcl 10727. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqcl	|- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Proof of Theorem flqcl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 10040	. . 3 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
2		flval 10723	. . 3 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
4		qbtwnz 10702	. . 3 |- ( A e. QQ -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
5		riotacl 6057	. . 3 |- ( E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. QQ -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2315	1 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E!wreu 2530   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   iota_crio 6040  (class class class)co 6088   RRcr 8184   1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366   <_ cle 8367   ZZcz 9653   QQcq 10034   |_cfl 10719

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654  df-q 10035  df-rp 10071  df-fl 10721

This theorem is used by:  flapcl  10727  flqlelt  10728  flqcld  10730  qfraclt1  10733  qfracge0  10734  flqidm  10740  flqidz  10741  flqge0nn0  10748  flqge1nn  10749  flqaddz  10752  flqzadd  10753  flqmulnn0  10754  fldiv4lem1div2  10762  ceilqval  10763  flqleceil  10774  flqeqceilz  10775  intqfrac2  10776  flqdiv  10778  modqfrac  10794  flqmod  10795  intqfrac  10796  modqmulnn  10799  ppiqsval  16257  ppiqfi  16259  chtqfl  16275  efchtqdvds  16282  ppiqfl  16283  ppiqp1le  16284  ppiqeq0  16297  ppiqub  16310  chtqub  16313